Clasificación de los diferentes tipos de funciones by PAULA ANDREA CEPEDA GARCIA

FUNCIONES ESPECIALES

paucepeda — 2022-10-13 12:49:08 UTC

Es una función matemática particular, que por su importancia en el campo del análisis matemático, análisis funcional, la física y otras aplicaciones, posee nombres y designaciones más o menos establecidos.

FUNCIONES ALGEBRAICAS

eyamaya — 2022-10-13 13:00:59 UTC

Son aquellas funciones formadas por expresiones algebraicas, es decir, formadas por un conjunto de números y variables relacionados entre sí por operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación).

TIPOS DE FUNCIONES ESPECIALES

paucepeda — 2022-10-13 13:18:32 UTC

-Función constante
-Función idéntica
-Función Valor Absoluto
-Función escalonada

FUNCIÓN CONSTANTE

paucepeda — 2022-10-13 13:18:50 UTC

TIPOS DE FUNCIONES ALGEBRAICAS

eyamaya — 2022-10-13 13:19:11 UTC

FUNCIÓN IDÉNTICA

paucepeda — 2022-10-13 13:29:54 UTC

Es la función cuya ecuación es f(x)=x
Su gráfica es una recta que pasa por el punto (0,0) y está a 45° del eje x y del eje y.
Se llama función identidad porque y es igual a x siempre.
El dominio y rango de la función idéntica es R.

FUNCION POLINOMICA

eyamaya — 2022-10-13 13:34:53 UTC

Es una relacion que para cada valor de entrada proporciona un valor que se calcula con un polinomio.

El dominio son todos los numeros realeas , ademas son continuas en todas sus funciones .
El Rango será todo el conjunto de los números reales.

las de grado cero son rectas horizontales
las de grado uno son rectas oblicuas
las de grado dos son parábolas cuyo eje es paralelo al de ordenadas

FUNCION LINEAL

eyamaya — 2022-10-13 14:09:54 UTC

Todas las funciones de la forma f(x)= ax+b , donde b son numeros reales y a debe ser diferente de 0.

El dominio de una función f ( x ) es el conjunto de todos los valores para los cuales la función está definida.
El rango de la función es el conjunto de todos los valores que f toma.

-La grafica de estas funciones siempre debe ser una linea recta
-Los valores de m y n son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y n es el punto de corte de la recta con el eje y.

FUNCION CUADRATICA

eyamaya — 2022-10-13 14:25:31 UTC

La función cuadratura tiene la forma de f(x) = ax2+bx+c.
Se caracteriza porque los valores del rango de la función bajan y luego de haber pasado por el centro de la función vuelven a subir o viceversa, esto dependerá de la dirección de la función.

El dominio de función cuadrática f ( x ) es el conjunto de los valores de x para los cuales la función esta definida.
El rango es el conjunto de todos los valores de salida (valores de f ).

-La función cuadrática siempre estará comprendida en el primer y cuarto cuadrante de una gráfica. Esto es debido a que para cualquier valor de X introducido a la función, esta devolverá un valor positivo siempre.

-La función cuadrática forma una parábola simétrica con el eje vertical.

FUNCION CUBICA

eyamaya — 2022-10-13 14:29:57 UTC

Una función cúbica es una función polinomial TERCER GRADO . Puede ser escrita en la forma f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d , donde a, b, c y d son números reales y a ≠ 0. También puede ser escrita como f ( x ) = a ( x + b ) 3 + c , donde a, b y c son números reales y a ≠ 0.

Su dominio son todos los reales
Su rango son todos los reales

La función es de tercer grado, es decir el máximo exponente es 3.
Es una función impar.
El termino independiente es la intercepción con el eje Y.
Tiene un punto de inflexión que divide a la función en dos partes: una cóncava y una convexa.

FUNCION IDENTIDAD

eyamaya — 2022-10-13 14:35:42 UTC

Una función identidad es una función en la que la imagen de cualquier elemento es ese mismo elemento: f(x)=x

El dominio y rango de esta función son todos los reales.

Son de primer grado pues son en línea recta.
Todas deben pasar, obligatoriamente, por el origen.
Son, a la vez, funciones biyectivas e inyectivas.
Poseen pendiente, 1 creciente.
Son funciones continuas.

FUNCION RACIONAL

eyamaya — 2022-10-13 14:39:09 UTC

Las funciones racionales son funciones que son representadas como fracciones de dos polinomios,

f(x)=P(x)/Q(x), en donde el cociente es irreducible y Q(x) es diferente de cero.

El dominio y rango es el conjunto de todos los números reales excepto 0.

Son discontinuas en los valores de xx que son las raíces del denominador.
Tienen asíntotas verticales en cada raíz del denominador que no lo sea del numerador.
Tiene asíntotas horizontales si el grado del numerador es menor o igual que el denominador.
Tiene asíntotas oblicuas si el grado del numerador es uno más que el del denominador.

FUNCION INVERSA

eyamaya — 2022-10-13 14:43:11 UTC

Una función inversa es una función que revierte el efecto de la función original.

El dominio de la función inversa , es el rango de f y recíprocamente.
El rango de es el dominio de f.

Para determinar si una función

tiene inversa tenemos que observar sus pares y

ver si es inyectiva.

Se determina de la siguiente forma:

1-Cuando la función viene dada por una lista de pares: Cuando la función viene definida por una propiedad, se Complicara y no siempre se determinara si la función tiene inversa.

2-Mediante la representación gráfica:Basta con observar que la función se inyectiva

FUNCION EXPOTENCIAL

eyamaya — 2022-10-13 14:45:21 UTC

Las funciones exponenciales son funciones que tienen a la variable como el exponente de una base. Estas funciones tienen la forma general F(x)=bx, en donde b es la base de la función exponencial.

El dominio de la función exponencial es el conjunto de todos los números reales.
El rango es el conjunto de todos los números reales positivos.

Su recorrido es (0, +∞) .
Son funciones continuas.
Como a⁰ = 1 , la función siempre pasa por el punto (0, 1).
La función corta el eje Y en el punto (0, 1) y no corta el eje X.
Como a¹ = a , la función siempre pasa por el punto (1, a).
Si a > 1 la función es creciente, si 0 < a < 1 la función es decreciente.
Son siempre concavas.
El eje X es una asíntota horizontal.

FUNCION LOGARITMICA

eyamaya — 2022-10-13 14:47:01 UTC

Una función logarítmica está formada por un logaritmo con base b. En su forma más simple, la función logarítmica tiene la forma f(x)=logb(x).

El dominio es el conjunto de todos los números reales positivos.
El rango es el conjunto de todos los números reales.

Su recorrido es R: Im(f) = R .
Son funciones continuas.
Como log_a1 = 0 , la función siempre pasa por el punto (1, 0) .
La función corta el eje X en el punto (1, 0) y no corta el eje Y.
Como log_aa = 1 , la función siempre pasa por el punto (a, 1) .
Si a > 1 la función es creciente. Si 0 < a < 1 la función es decreciente.
Son convexas si a > 1 .
Son concavas si 0 < a < 1 .
El eje Y es una asíntota vertical.

FUNCIONES TRIGOMETRICAS

eyamaya — 2022-10-13 14:49:44 UTC

Las funciones trigonométricas son funciones que son obtenidas de diferentes relaciones de los tres lados de un triángulo rectángulo. Las seis funciones trigonométricas principales son seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente.
El dominio es todos los números reales excepto los valores donde el sin x es igual a 0, esto es, los valores πn para todos los enteros n .
El rango de la función es todos los números reales.

Seno: El seno de un ángulo es definido como la razón entre el lado opuesto (O) y la hipotenusa (H).sin⁡(θ)=OH.

Coseno: El coseno de un ángulo es definido como la razón entre el lado adyacente (O) y la hipotenusa (H). cos⁡(θ)=A/H

Cosecante: La cosecante es la razón trigonométrica recíproca del seno. La cosecante es definida como la razón entre la hipotenusa (H) y el lado opuesto (H). csc⁡(θ)=H/O.

Secante: La secante es la razón trigonométrica recíproca del coseno. La cosecante es definida como la razón entre la hipotenusa (H) y el lado adyacente. sec⁡(θ)=H/A

Cotangente: La cotangente es la razón trigonométrica recíproca de la tangente. La cotangente es definida como la razón entre el lado adyacente y el lado opuesto (O).cot⁡(θ)=A/O

FUNCIONES PARES E IMPARES

eyamaya — 2022-10-13 14:52:03 UTC

Las funciones pares son simétricas respecto al eje y: f(x)=f(-x).
Las funciones impares son simétricas respecto a los ejes x y y: f(x)=-f(-x).

La única función que es tanto par como impar es la función constante Cero definida por f(x) = 0, para cualquier valor real de x.
La suma de una función par y una impar no necesariamente es par o impar.
La suma de dos funciones par es una función par, y todo múltiplo de una función par es una función par. En resumen es función par, donde f y g son funciones pares, σ y τ están en ℝ.
La suma de dos funciones impares es una función impar, y todo múltiplo constante de una función impar es una función impar. O sea es función impar, donde f y g son funciones impares, δ y κ están en ℝ.
El producto de dos funciones pares es una función par.

FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS

eyamaya — 2022-10-13 14:53:12 UTC

Las funciones definidas a trozos o también conocidas como funciones por partes, son funciones que tienen diferentes expresiones dependiendo del intervalo en el que se encuentra la variable independiente.

El dominio de una función a trozos, se mira el dominio de cada trozo.
En el Rango debemos fijarnos en el eje de las Y.

Contienen varias formulas, es decir, no se representa con una única función.
Tiene consigo saltos, algunos son saltos finitos y otros infinitos.
Puede tener comportamientos distintos dependiendo el intervalo de estudio.

Las funciones a trozos son un tipo de función que tiene distintos comportamientos, es decir, la misma viene definida por intervalos.

Debido a que la misma se define por trozos es posible que presente puntos de discontinuidad.

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

paucepeda — 2022-10-13 14:57:01 UTC

El valor absoluto se escribe así:
|x|=[x si x>=0
[-x si x<0
El dominio de la función valor absoluto es R y el rango es R+
La función valor absoluto se escribe f(x)=|x|

FUNCION INYECTIVA

eyamaya — 2022-10-13 14:57:26 UTC

Función inyectiva es una función en la que cada elemento del conjunto final (Y) tiene un único elemento del conjunto inicial (X). Estas funciones también son conocidas como uno a uno.

La noción de la correspondencia tiene un papel básico en el concepto de relación y de función.
Si n es un número impar, entonces su dominio es todo el conjunto de los números reales.
Si n resulta ser un número par, el dominio estará entonces formado por los valores que hacen que el radicando sea positivo o cero.

FUNCIÓN ESCALONADA

paucepeda — 2022-10-13 14:57:33 UTC

Es aquella función definida en trozos en un intervalo finito, la cual presenta discontinuidad
Ejemplo: Y=s(x)

FUNCION SOBREYECTIVA

eyamaya — 2022-10-13 15:00:16 UTC

Puede decirse que, en una función sobreyectiva, cada elemento del segundo conjunto (al que podemos llamar Y) cuenta con, al menos, un elemento del primer conjunto (X) al que le corresponde.

En términos formales, la función sobreyectiva se escribe de este modo: f(x) = y. De esta manera, a cada y de Y le corresponde una o más x de X.

La función sobreyectiva supone que el recorrido de la función es el segundo conjunto (Y). Por eso se puede afirmar que en una función sobreyectiva el recorrido y el dominio (conjunto de partida o conjunto de definición) son iguales.

FUNCION BIYECTIVA

eyamaya — 2022-10-13 15:01:49 UTC

Una función biyectiva es una función que es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.

Cada elemento del conjunto de salida le corresponde uno y solo un elemento del conjunto de llegada.
Cada elemento del conjunto de salida tiene una imagen en el conjunto de llegada.

DESCRIPCIÓN DE LAS FUNCIONES

paucepeda — 2022-10-13 15:36:28 UTC

DOMINIO:
1-Son los valores para los cuales ,la función están definidas
2-Son un conjunto de todos los valores de entrada de la función

IMAGEN

paucepeda — 2022-10-13 15:36:46 UTC

Es el rango de valores de f(x) para los cuales existe un valor de x,es decir, son los valor de f(x) en los que existe la función.

SIMETRÍA

paucepeda — 2022-10-13 15:38:23 UTC

Es la conducta de la curva con relación a los ejes de coordenadas.

SIMETRÍA CON RESPECTO AL EJE X

paucepeda — 2022-10-13 15:39:11 UTC

SIMETRÍA CON RESPECTO AL EJE Y

paucepeda — 2022-10-13 15:40:00 UTC

eyamaya — 2022-10-15 15:17:49 UTC

FUNCIONES TRASCENDENTALES

paucepeda — 2022-10-20 00:10:34 UTC

Es una función que no satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes sean a su vez polinomios; esto contrasta con las funciones algebraicas, las cuales satisfacen dicha ecuación.Se dividen en trascendentes elementales y superiores. Las primeras son aquellas que pueden ser expresadas mediante una cantidad finita de operaciones de suma, resta, multiplicación, división, radicación, potenciación a exponentes constantes reales y logaritmación;El segundo grupo abarca aquellas en que no es posible lo anterior. Una función de una variable es trascendente si es independiente en un sentido algebraico de dicha división.

FUNCIÓN EXPONENCIAL

paucepeda — 2022-10-20 00:26:41 UTC

La cual se define

Y=a^x

Dado que a∊ R, a>0 ∧ a≠1

Se observa que x es la variable y el número llamado la base es una constante.

Propiedades:

Y=a^x

1.- El dominio es de todos los números reales

2.- El rango son todos los reales positivos.

3.- La función es creciente cuando a>1n y es decreciente si a<1.

Es un número irracional de los más importante en matemáticas

BASE EXPONENCIAL DECIMAL

paucepeda — 2022-10-20 00:29:52 UTC

Y=10^x
Cuando las base es negativa es alterna la función. No es una función continua, es una sucesión de valores positivos y negativos.

FUNCIONES LOGARÍTMICAS

paucepeda — 2022-10-20 00:34:18 UTC

Se define por:

Y= log_ax

La función logaritmo de base a log_ax como inversa a la función exponencial en base a>1. Es decir el log_ax es el exponente al que se debe elevar para obtener x.

log_ax=y a^y=x

Ejemplo:

Log₃81=4 3⁴=81

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

paucepeda — 2022-10-20 00:38:33 UTC

1.- Los números negativos no poseen logaritmos.

2,. El logaritmo de la base del sistema es la unidad

log_aa =1

3.- El logaritmo de 1 es igual a cero.

4.- los números menores a 1 tienen logaritmos negativos

5.- los números mayores a 1 tienen logaritmos positivos

6.- log_aAB= log_aA+log_aB

7.- log_aA/B= log_aA.- log_aB

8.- log_aAⁿ= n log_aA

Para verificar las propiedades

Los dos Sistemas logarítmicos más usados son:

a.- Logaritmos naturales o neperianos, cuya base se denota comúnmente ln x

ln x= log_ex

El logaritmo natural es el inverso de la función exponencial natural e^x en consecuencia

X=e^lnx ∧ e^u =x donde u=lnx

b.- logaritmos vulgares o Brigg, cuya base es 10, en consecuencia

X=10^logx ∧ 10^u =x donde u=log₁₀x

FUNCIONES

eyamaya — 2022-10-20 00:39:19 UTC

Una función es una relación o correspondencia entre dos magnitudes, de manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda (o ninguno), que llamamos imagen o transformado.

A la función se le suele designar por f y a la imagen por f(x), siendo x la variable independiente.

CARACTERISTICAS:

Para cada valor x del dominio, le corresponde un único valor y del codominio.
Una función es una relación entre dos conjuntos.
Las funciones describen fenómenos de la vida cotidiana.
Se pueden representar gráficamente.
Unicidad: cada valor de x debe tener una sola imagen.
Imagen: son todos los valores de y para los cuales existe un único valor de x tales que y=f(x). Es un subconjunto del codominio.

EJEMPLOS DE LAS PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

paucepeda — 2022-10-20 00:41:04 UTC

1.- Y=ln (x-1)

x-1>0

x >1

Dom (1, +∞)

Se debe tomar esta condición porque en las propiedades. Se refleja, la no existencia de los logaritmos para números negativos y el cero.

2.- Y= (lnx)^1/2

Lnx ≥ 0

e^lnx ≥ e ⁰

x ≥ 1

Dom [1, +∞)

En esta función la primera decisión a tomar es la función irracional exista, por eso el logaritmo debe ser mayor o igual que cero. Despejando la variable a través de la función inversa se llega a la conclusión del dominio debe ser desde uno al infinito positivo.

VARIABLE DEPENDIENTE E INDEPENDIENTE

eyamaya — 2022-10-20 00:47:06 UTC

Variable independiente: es la x, y esta variable no depende de ninguna otra.
Variable dependiente: es la variable que depende del valor de x de la ecuación, es decir es y.

CORRESPONDENCIA EN UNA FUNCION

eyamaya — 2022-10-20 00:51:01 UTC

A cada valor de x le corresponde un valor de y.

A cada uno de los elementos del dominio se asocia, mediante la regla de correspondencia, un solo elemento del codominio, conocido como la imagen.
Dicha imagen es única, en otras palabras, ningún elemento del dominio se asocia a más de un elemento del codominio

DOMINIO , CODOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION

eyamaya — 2022-10-20 01:01:24 UTC

El dominio de la función es el conjunto de todos los valores posibles de la variable independiente. Es decir, el dominio es el valor de todos los valores de x que funcionarán y harán que la función retorne valores reales de y.

El rango de la función es el conjunto de todos los valores posibles de la variable dependiente luego de haber sustituido el dominio. Es decir, el rango son los valores resultantes de y que obtenemos después de haber sustituido todos los posibles valores de x.
El codominio es el conjunto que contiene al rango.

CONJUNTOS DE POSITIVO Y

eyamaya — 2022-10-20 15:25:55 UTC

Conjunto de positividad: son todos los valores de x para los cuales la función es positiva.
Conjunto de negatividad: son todos los valores de x para los cuales la función es negativa.
Conjunto de ceros: son todos los valores de x que anulan la función es decir son aquellos valores que hacen que f(x)=0.

INTERVALO CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO

eyamaya — 2022-10-20 15:29:49 UTC

Intervalo de crecimiento: son los valores de x para los cuales la función crece.
Intervalo de decrecimiento: son aquellos valores de x para los cuales la función decrece.