numeri razionali by MARIA SCARINGELLA

i numeri razionali: le frazioni

2020-12-29 11:00:34 UTC

Sono costituiti da due parti: nominatore “a” e denominatore “b”, SEMPRE diverso da 0, divisi dalla linea di frazione, che indica la divisione: a
—
b
Il loro quoziente, dunque può essere:
- un numero intero: 9/3
- un numero decimale: 5/2
- un numero periodico:
^semplice: 1/3
^misto: 35/24

Sono una coppia di numeri naturali o interi, infatti facendo riferimento ai NUMERI RAZIONALI RELATIVI, ci riferiamo ai comunemente chiamati numeri razionali.
Sono frazioni costituite da denominatore e numeratore come numeri interi, costituiti da segno e valore assoluto
Esempio:
+6
____
-5
La frazione finale possiede un solo segno, negativo o positivo, in base alla regola dei segni della divisione. In questo caso abbiamo: — 6/5.

Dunque due frazioni possono essere:

-discordi: segno diverso
+6/7 e -2/9
-concordi: segno uguale -1/2 e -3/5

le frazioni si dividono in
-proprie: con a-improprie: con a>b
-apparenti: con a multiplo di b
- equivalenti: con a/b = c/d

Esempio: 10/15=2/3
2/3 é una frazione ridotta ai minimi termini, quindi nominatore e denominatore sono numeri primi fra due loro, dunque non hanno più divisori in comune.

10/15 é costituita da multipli di 2 e 3 secondo n=5

Ridotta ai minimi termini, dividendo quindi per 5, ossia il MCD tra i denominatore e numeratore, otteniamo la frazione di partenza 2/3, per cui le due frazioni sono EQUIVALENTI

Utilizzo delle diagonali:

NUMERI DECIMALI

2020-12-29 11:17:26 UTC

-dalla frazione al numero decimale
esempio: 428/100= 400+20+8/100= 400/100+20/100+8/100= 4+2x1/100+8x1/100= 4,28;
possiamo anche dividere il numeratore e il denominatore.
4,28 è un numero decimale composto da una parte intera e una decimale( decimi,centesimi,millesimi..) .
-tutte le frazioni con denominatore una potenza di dieci si chiamano decimali;
-il numero decimale può essere periodico e a sua volta semplice( 4,5656...) o misto (3,444...) ;
-dal numero decimale alla frazione
~finito: 3,45=3+4/10+5/100= 300+40+5/100= 345/100
~periodico:
-numeratore : differenza tra numero senza virgola e numero formato dalle cifre non periodiche;
-denominatore : ha come cifre tanto 9 quante sono le cifre del periodo seguite da tanti 0 quante sono le cifre dell’anti periodo ;
esempi:
1) 5,67 (6,7 periodici)= 567-5/99=562/99;
2) 0,457( 7 periodico) =457-45/900=412/900.

L'insieme Q

2020-12-29 11:42:39 UTC

I numeri razionali fanno parte dell'insieme Q

Esso si divide in vari sottoinsiemi:

*Q- ossia il sottoinsieme dei numeri razionali negativi (-)
Esempio: -4/9

*Q+ ossia il sottoinsieme dei numeri razionali positivi(+)
Esempio: +3/4

Q+ é Q- formano Il sottoinsieme dei numeri razionali relativi.

*Numeri razionali assoluti: costituisce la classe di equivalenza, quindi contiene le frazioni equivalenti fra loro

Frazioni ridotte a denominatore comune

2020-12-29 12:19:06 UTC

si tratta di frazioni EQUIVALENTI a quelle date, ma che possiedono lo stesso denominatore, costituito dal MCD dei denominatori delle frazioni date

77812323 — 2020-12-30 14:02:53 UTC

POTENZA IN Q
Una potenza è una moltiplicazione ripetuta tante volte quante indicate dall'esponente.
Data una frazione a/b elevata ad n (numero naturale) avremo come numeratore a elevato ad n e come denominatore b elevato ad n

CASI PARTICOLARI
1)Se una frazione viene elevata a 0 quindi n=0 il risultato sarà sempre 1
2)Se una frazione viene elevata a 1 quindi n=1 il risultato resterà invariato
3)in caso di un esponente negativo la frazione avrà per base il suo *reciproco e come esponente il valore assoluto
*il reciproco di una frazione si ottiene spostando il numeratore al posto del denominatore e il denominatore al posto del numeratore

I SEGNI + o –
Se una frazione viene elevata ad un esponente PARI essa avrà SEMPRE segno POSITIVO
Se una frazione viene elevata ad un esponente DISPARI essa avrà segno NEGATIVO, solo se base negativa

PROPRIETÀ DELLE POTENZE in Q
Le proprietà delle potenze sono 5 e sono quelle che ritroviamo anche nell’insieme N

Q INSIEME DENSO

77812323 — 2020-12-30 14:22:07 UTC

Una proprietà importante dell'insieme Q che non ritroviamo nè in Z e nè in N è che Q è un insieme Denso, perchè se consideriamo 2 numeri razionali esisterà sempre un numero tra essi compreso.

Proprietà invariantiva

marcocampione06 — 2021-01-03 11:29:47 UTC

Dice: moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore di una frazione per uno stesso numero naturale diverso da zero, si ottiene una frazione equivalente.
m m x a m m : b
__ = _____, ___ = ____,
n n x a n n : b
con n,a,b diversi da 0
Dimostrazione:
m m x a
__ è equivalente a _____,
n n x a
a diverso da 0.
prendiamo m primo numeratore e n x a secondo denominatore.
m x ( n x a ) = associativa
( m x n ) x a = commutativa
( n x m ) x a = associativa
n x ( m x a )
Dimostriamo quindi che le frazioni sono equivalenti.
Questa proprietà viene utilizzata per passare da una frazione a una equivalente.

LE PROPORZIONI

leonardocassone006 — 2021-01-03 14:23:47 UTC

La proporzione è un uguaglianza tra due rapporti, cioè una uguaglianza tra due frazioni equivalenti.
Esempio: 7/9=5/8 si può anche scrivere 7:9=5:8 questo si legge: 7 sta a 9 come 5 sta a 8.
Usiamo dei nomi per indicare i termini della proporzione.
Esempio: 6:9=7:3
- il 6 e il 3 sono gli estremi
- il 9 e il 7 sono i medi
- il 6 e il 7 sono gli antecedenti
- il 9 e il 3 sono i conseguenti.
PROPRIETA'
-proprietà fondamentale:
a:b=c:d = a x d=b x c
7:9=14:18 = 7 x 18=9 x 14= 7/9=14/18
in ogni proporzione il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi.
-proprietà del comporre:
(a+b):a=(c+d):c (10+6):10=(4+2):4
(a+b):b=(c+d):d (10+6):6=(4+2):2
Essa afferma che in una proporzione, la somma del primo e del secondo termine sta al primo termine(o al secondo termine) come la somma del terzo e del quarto termine sta al terzo termine (o al quarto termine).
-proprietà dello scomporre (con a >_ b, c>_ d):
(a-b):a=(c-d):c (10-6):10=(4-2):4
(a-b):b=(c-d):d (10-6):6=(4-2):2
Essa afferma che in una proporzione, la differenza del primo e del secondo termine sta al primo termine (o al secondo termine) come la differenza del terzo e del quarto termine sta al terzo termine (o al quarto termine).
-proprietà del permutare i medi/estremi:
a:c=b:d 10:4=6:2
d:b=c:a 2:6=4:10
Essa afferma che se in una proporzione si scambiano tra loro i medi oppure si scambiano tra loro gli estremi, si ottiene una proporzione equivalente a quella data.
-proprietà dell'invertire:
b:a=d:c 6:10=2:4
Essa afferma che se in una proporzione si scambia ogni antecedente col relativo conseguente, si ottiene una proporzione equivalente a quella data.
Queste proprietà sono utili quando nella proporzione troviamo una incognita x.
Esempio: 22:8=(x+35):x = (22-8):8=(x+35-x):x = 14:8=35:x = 8 x 35/14= 20=x

OPERAZIONI

2021-01-03 14:34:44 UTC

Addizione e sottrazione
Considerando due frazioni con lo stesso denominatore la loro somma, o differenza, è una frazione che ha per denominatore lo stesso denominatore e per numeratore la somma, o la differenza, dei numeratori. (con denominatore diverso da 0)
Esempio: 5/9+3/9 = 5+3/9 = 8/9
Quando le frazioni hanno, invece, denominatore diverso si ottiene la somma, o la differenza, trasformandole in frazioni equivalenti, quindi con lo stesso minimo comune denominatore.
Esempio: 1/2+3/9
facciamo il mcm(2;9) = 18
quindi scriviamo:
1/2+3/9 = 9+6/18 = 15/18 =(:3) 5/6 ridotta ai minimi termini
In Q valgono le stesse proprietà delle operazioni che valgono nell'insieme Z questo perchè l'insieme Q è interno all'insieme Z.
Per l'addizione: commutativa, associativa, ed esistenza dell'opposto.
Per la sottrazione l'invariantiva. lo 0 è l'elemento neutro.

Moltiplicazione
Il prodotto di due frazioni è una frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori. (con i denominatori diversi da 0)
Esempio: 3/4 x 4/6
In questo caso per scrivere in modo più sintetico possiamo semplificare le frazioni dato che ci sono fattori in comune tra numeratori e denominatori, quindi semplifichiamo il 3 con il 6 e il 4 con il 4.
3/4 x 4/6 = 1 x 1/2 = 1/2
Anche per la moltiplicazione in Q valgono le stesse proprietà dell'insieme Z, che sono commutativa, associativa e distributiva rispetto all'addizione e alla sottrazione, inoltre vale la legge di annullamento del prodotto, 0 è l'elemento assorbente e 1 è l'elemento neutro.
Nell'insieme Q, a differenza che in Z, per ogni numero razionale non nullo esiste un altro numero razionale che moltiplicato per il primo numero dà come prodotto 1. Questo avviene perchè ogni frazione ha una sua reciproca o inversa e il loro prodotto è sempre 1. (il denominatore della reciproca deve essere diverso da 0)
Esempio: 1/5 la sua reciproca è 5
Divisione
Grazie alla frazione reciproca, si ha la divisione tra frazioni, infatti la divisione si definisce come l'operazione inversa della moltiplicazione.
Il quoziente di due frazioni, di cui la seconda diversa da 0, è il prodotto della prima per la reciproca della seconda.
Esempio: 2/3 : 7/5 = 2/3 x 5/7 = 10/21
La divisione, inoltre, è un operazione interna in Q privato di 0, perchè a volte in Z non è possibile svolgerla, mentre in Q è sempre possibile, se si esclude il caso in cui il divisore è 0.
Per questo per la divisione valgono la proprietà invariantiva e la proprietà distributiva a destra rispetto all'addizione.

LE PERCENTUALI

2021-01-03 15:22:51 UTC

La percentuale (simbolo %) è uno strumento matematico di uso comune che descrive la grandezza di una quantità rispetto ad un'altra. La quantità base rappresenta il 100%. Infatti qualora cambi la grandezza di riferimento, cambia immediatamente il numero percentuale.
La percentuale è una frazione avente come denominatore 100
Per esempio possiamo affermare che il 45% (quarantacinque per cento) degli studenti italiani odia la matematica ciò significa che su 100 studenti 45 di essi non hanno un buon rapporto con la matematica.
Questo modo di esprimersi ci ricorda il modo con cui si legge una frazione
60%=60/100, 22%=22/100, 4%=4/100
dimostrato ciò la percentuale è una frazione avente come denominatore 100,
su un dato totale indica quante unità su 100 soddisfano una certa condizione
Ora vediamo come effettuare l’operazione inversa ossia come passare da una frazione alla percentuale corrispondente
OB: calcolare la percentuale corrispondente alla frazione 9/10

SVOLGIMENTO
9/10x100=90 quindi 9/10=90%

CONFRONTO DI NUMERI RAZIONALI

marcocampione06 — 2021-01-04 09:28:49 UTC

I numeri razionali possono essere rappresentati su una retta ordinata, per questo sono anche ordinabili.
Il confronto è immediato: zero è maggiore di ogni numero negativo e minore di ogni numero positivo, se i numeri sono discordi è maggiore quello positivo; per confrontare due numeri razionali concordi, li trasformiamo a stesso denominatore positivo e con i segni al numeratore, numeratore maggiore numero razionale maggiore.