lim_x→x0 k = k

donde k es una constante perteneciente a los números reales.

• Por ejemplo:

Si f(x)=5, entonces lim_x→9 f(x)= lim_x→9(5)= 5

Así que lógicamente el limite de la función constante es 5 en cualquier punto.

El límite de la función identidad en un punto es igual al valor en ese punto.

Sea la función identidad f(x)=x, donde Df=R entonces:

lim_x→a f(x)= lim_x→a(x)=a

• Por ejemplo:

lim_x→4​(x) = 4

El límite de la función identidad cuando la variable tiende a más infinito o a menos infinito es igual a más infinito y menos infinito respectivamente:

Lim _x→∞ (x)= ∞

Así que observamos que la función de identidad es un ejemplo de función lineal.

El límite de la suma de dos funciones en un punto es igual a la suma del límite de cada función en ese mismo punto por separado.

lim _{x→a [ f(x) +g(x)]}

lim _{x→a f(x) +} lim _{x→a g(x)}

• Por ejemplo, sean dos funciones:

f(x) = x²

g(x)=2x+1

El límite de cada función en x igual a 1 es:

lim _x→1 (x²) = 1² = 1

lim _x→1 (2x+1) = (2)(1) +1 = 3

Por lo tanto, el límite de las dos funciones sumadas en el mismo punto da como resultado: 4

Es decir 1 + 3 = 4.

El límite de la resta (o diferencia) de dos funciones en un punto es equivalente a la resta del límite de cada función en ese mismo punto por separado.

lim _{x→a [ f(x) - g(x)]}

lim _{x→a f(x) -} lim _{x→a g(x)}

• Por ejemplo, sean dos funciones:

f(x) = x²

g(x)=2x+1

El límite de cada función en x igual a 3 es:

lim _x→1 (x²) = 3² = 9

lim _x→1 (2x+1) = (2)(3) +1 = 7

Por lo tanto, el límite de las dos funciones restadas en el mismo punto da como resultado: 2

Es decir 9-7=2.

El límite del producto de dos funciones en un punto es el producto del límite de cada función en ese punto.

lim _x→a [ f(x) * g(x)]

lim _x→a f(x) _* lim _x→a g(x)

• Por ejemplo, sean dos funciones:

f(x) = x³

g(x)=x²-5

El límite de cada función en x igual a 2 es:

lim _x→1   (x³) = 2³=8

lim _x→1 (x²-5) = (2)² - 5 = -1

Así pues, para determinar el límite del producto de las dos funciones no es necesario multiplicarlas entre sí, sino que simplemente tenemos que multiplicar el resultado obtenido de cada límite.

¡¡¡Resuélvelo en la encuesta!!!

El límite del cociente (o división) de dos funciones es igual al cociente de los límites de las funciones.

lim_x→x0  f(x) / g(x) 

lim_x→x0 f(x) /  lím_x→x0 g(x)  

Donde f y g son dos funciones que están definidas en el punto x_0.

• Por ejemplo, sean dos funciones:

f(x) = 5x -1                      g(x)=3^x

El límite de cada función en x igual a 0 es:

lim _x→0 (5x-1) = (5)(0)-1=-1

lim _x→1 (3^x)  = (3)⁰ =1

De modo que el límite de la división de las dos funciones en x=0 se puede hallar fácilmente:

lim_x→x0 f(x) /  lím_x→x0 g(x)  =-1/1 =-1

El límite de una función multiplicada por una constante es igual al producto de dicha constante por el límite de la función.

lim _x→a [ k* f(x)]

k _* lim _x→a  f(x)

·         Por ejemplo, sea:

f(x) = 2x² -12x+10

El límite de la función en x igual a 4 es:

= lim _x→4 (2x² -12x+10)

= lim _x→4 [2* (x² -6x+5)]

= 2 * lim _x→4 (x² -6x+5)

= 2* [4²-(6)(4) + 5]

= 2* (-3) = -6

Ley de límite de una potencia

El límite de cualquier función elevada a un exponente es equivalente a calcular el límite de la función y luego elevar el resultado del límite a dicho exponente.

lim _x→a [ f(x)^k]

[lim _x→a  f(x)]^k

El límite de la función cuadrática se puede calcular hallando el límite de la función lineal y luego elevando el resultado al cuadrado:

lim _x→6 [ x²]

[lim _x→6 x] ²

= [6] ²

=36

El límite de una raíz (o radical) es igual a la raíz del límite.

lim _x→a  ⁿ√f(x)

ⁿ√ lim _x→a  f(x)

Para poder emplear esta propiedad, debes tener en cuenta que, si el índice de la raíz es par, el límite de la función debe ser mayor o igual que 0:

Si n es par → lim _x→a  f(x)≥0

Fíjate como se ha calculado el siguiente límite aplicando esta fórmula:

lim _x→4  ³√x²/2

= ³√ lim _x→4  x²/2

= ³√ (4²/2)

= ³√8

=2