Geometría Moderna by Ashley M. Carballo

Inicio

ashleycarballo14_ — 2018-03-25 18:48:30 UTC

Los planos E y F se intersecan en AB formando un ángulo diedro. En F, CD es la mediatriz del segmento AB. También, el segmento CK es perpendicular con E. Dado que el segmento AC es perpendicular con el segmento BC, la medida del ángulo CBK=30 y BC=6, determínense la medida del ángulo C-AB-K y el Área del triángulo ABK.

2.

ashleycarballo14_ — 2018-03-25 19:16:44 UTC

Primero graficamos la figura(No necesariamente debe de estar a escala).

3.

ashleycarballo14_ — 2018-03-25 19:26:59 UTC

Analizamos el gráfico
Centremos la atención en el triángulo BCK  el cual posee medidas de ángulos internos 30-60-90.

4.

ashleycarballo14_ — 2018-03-25 19:39:22 UTC

Aplicamos el teorema (30-60-90) al triángulo BCK.
El cual nos dice:

"si un ángulo agudo de un triángulo rectángulo tiene medida 30 entonces la longitud del lado opuesto es la mitad de la longitud de la hipotenusa".

En el triángulo BCK se representa:
k=6 así que b vale la mitad de k por lo tanto b=3.
O bien: k=2b y b=k/2.

5.

ashleycarballo14_ — 2018-03-25 20:02:27 UTC

Conociendo los valores de k y b podemos encontrar la hipotenusa:
Hip=C₁+C₂c²=k²+b²c²=2b+k/2
2c²=2b+k
√2c²=√(2b+k)
2c=√(2b+k)
c=√(2b+k)/2 _lqqd

ashleycarballo14_ — 2018-03-25 20:17:13 UTC

6.

ashleycarballo14_ — 2018-03-25 20:35:14 UTC

Ahora analicemos el triángulo ABC.
-Es isósceles.
El segmento CD es la mediatriz del segmento AB  por lo cual el segmento BD es congruente con el segmento DA, lo que quiere decir que BD=DA.
El segmento AB es congruente al segmento BC√2.
AB=BC√2
a=k y b=k

7.

ashleycarballo14_ — 2018-03-25 20:54:41 UTC

Conociendo los datos de los triángulos BCK y ABC podemos encontrar las áreas.
A_ABK=(cb*cb)/2
A_ABK=(cb)²/2
A_ABK=((√(2b+k)/2)(k/2))²/2
A_ABK=((√(2b+k)/2)²(k/2)²)/2
A_ABK=(((2b+k)/4)(k²/4))/2
A_ABK=((2bk²+k³)/16)/2/1
A_ABK=((2bk²+k³)/32
A_ABK=(k²(2b+k))/32 _lqqd
A_ABC=(a*b)/2
A_ABC=(k*k)/2
A_ABC=k²/2 _lqqd

8.

ashleycarballo14_ — 2018-03-25 21:50:17 UTC

Proseguimos, encontremos el ángulo diedro aplicando la ley del coseno.
Cos∝=A_ABK/A_ABCCos∝=((k²(2b+k))/32)/(k²/2)
Cos∝=((k²(2b+k))/32)*(2/k²)
Cos∝=(2k²(2b+k))/32k²∝=Cos^-1(2k²(2b+k))/32k²_lqqd

9.

ashleycarballo14_ — 2018-03-25 22:28:19 UTC

Comprobación
Encontradas las fórmulas sustituyamos si
k=6 y b=3
c=√(2b+k)/2
c=√(2(3)+6)/2
c=√3
A_ABK=(k²(2b+k))/32
A_ABK=(6²(2(3)+6))/32
A_ABK=27/2
A_ABK=13.5
A_ABC=k²/2
A_ABC=6²/2
A_ABC=18
∝=Cos^-1(2k²(2b+k))/32k²∝=Cos^-1(2(6)²(2(3)+6))/32(6)²∝=41.4096

Fin

ashleycarballo14_ — 2018-03-25 23:03:59 UTC

Autores:
Ashley Michell Carballo Campos.
Oscar Francisco Mercado Mercado.
Ian Antony Saenz Gutierrez.
César Augusto Montalván Morales.
Gabriel Valentin Miranda Guadamuz.
Coautora:
Luisa Massiel Mercado Gutierrez.

ashleycarballo14_ — 2018-03-25 23:10:22 UTC

ashleycarballo14_ — 2018-03-25 23:15:03 UTC