Примене ставова подударности на круг by Jasmina Micić

1

2017-03-02 10:54:04 UTC

Љубомир Матовић

1. Израчунати угао између тангенте и тетиве кружнице, ако тетива дели кружницу на два дела, у размери 3:7.

2017-03-02 17:36:52 UTC

Јована Малишић

Радила сам мало другачије од Љубомира. Jа сам радила преко лукова.

Добија се да је централни угао α=108 степени. Одатле су периферијски и тангенцијални 54 степени.

2.

jasmina_micic — 2017-03-02 20:51:00 UTC

Предложите доказ!

3.

jasmina_micic — 2017-03-02 20:56:24 UTC

Трогао ABC је уписан у круг k. Знајући углове α, β и γ, овог троугла, израчунати углове троугла који образују тангенте на круг k у тачкама A,B,C.

4.

jasmina_micic — 2017-03-02 21:04:58 UTC

Нека су K,L,M тачке у којима уписани круг додирује странице BC, CA, AB троугла ABC . Доказати да је AM=AL=s-a, BM=BK=s-b, CK=CL=s-c (s - полуобим троугла, AB=c, BC=a, CA=b).

5.

jasmina_micic — 2017-03-02 21:29:30 UTC

У кругу k(O,r) конструисана је тетива AB. На правој линији AB одређена је тачка C тако да је A-B-C и BC=r. права CO сече круг у тачки D тако да је C-O-D. Доказати да је угао AOD три пута већи од угла ACD.

6.

jasmina_micic — 2017-03-02 21:53:46 UTC

Из тачке С ван круга k(O,r)конструисане су тангентне дужи CA и CB на круг k. Права из А, нормална на ВС, сече ОС у тачки D . Доказати да је АD=r .

7.

jasmina_micic — 2017-03-02 21:57:51 UTC

У темену В конструисана је тангента t круга описаног око троугла ABC . Ако права p , паралелна са t , сече странице ВА и ВС, у тачкама D и Е, доказати да је четвороугао АСЕD тетивни.

8.

jasmina_micic — 2017-03-02 22:37:40 UTC

Око круга са центром О описан је четвороугао АВСD. Доказати да су <АОВ и <СОD суплементни углови.

9.

jasmina_micic — 2017-03-02 22:42:09 UTC

Доказати да је многоугао правилан ако испуњава један од следећа два услова:
a) тетивни је и има једнаке странице;
б) тангентни је и има једнаке углове.

10.

jasmina_micic — 2017-03-02 22:46:06 UTC

Нека је АВСD конвексан четвороугао, такав да се кругови уписани у троуглове АВС и АСD додирују. Доказати да је четвороугао тангентан.

2.

2017-03-07 20:21:13 UTC

Jovana Mališić

Uglovi PO₁A i O₁AP su jednaki jer su uglovi jednakokrakog ugla PO1A (jednake stranice, su poluprečnici r₁), označimo ih sa α₁. Takođe su i uglovi O2PB i O2BP jednaki kao uglovi jednakokrakog trougla PO2B (jednake stranice, poluprečnici r₂), označimo ih sa α₂. A traženi ugao APB označimo sa β.

Iz postavke vidimo da je zbir uglova α₁+α₂+β=180.
Iz činjenice da tangenta sa poluprečnikom gradi ugao od 90 stepeni i postavke zadatka zaključujemo: ugao PAB=90 - α₁i ugao PBA=90 - α₂.
Kako je zbir uglova trougla ABP jednak 180 stepeni dobijamo jednačinu i važi da je ugao PAB=90 - α₁i ugao PBA=90 - α₂, dobijamo jednačinu:
90-α₁+90-α₂+β=180
α₁+α₂+β=180
Sabiranjem ove dve jednačine dobijamo:
180+2*β=360
Sređivanjem te jednačine dobijamo:
β=90

3.

2017-03-07 20:59:29 UTC

Jovana Mališić
ugao ALC=180-2*β
ugao BPC=180-2*α
ugao ARB=180-2*γ

5.

2017-03-07 21:24:31 UTC

Jovana Mališić
Po kratkim crtama, rešenje:
BCO=BOC=α (stranice BO i BC trougla BCO su jednake)
Izrazimo ABO preko α (spoljašnji ugao trougla BCO) i dobijemo da je ABO=2*α.
AOB=180-2*α₁(ugao jednakokrakog trougla ABO, gde su uglovi ABO i BAO jednaki)
AOD=β
Ζbir uglova α, β i AOB je 180 stepeni. Nakon što AOB izrayimo preko ABO, a ABO preko α dobićemo:
β+α+180-4*α=180
Sređivanjem toga dobićemo:
β=3*α

6.

2017-03-07 21:53:39 UTC

Jovana Mališić

Trouglovi OBC i OCA su podudarni (SUS)

Odatle su uglovi BOC i D₁OA jednaki. Takođe važi i da su uglovi BOD₁ i OD₁A jednaki kao naizmenični uglovi.

Odatle sledi da su i ugli D1Oa i OD₁A jednaki, a trougao OD₁A jednakokraki.

Što automatski znači da su stranice AO i D₁A jednake.

2017-03-18 08:30:09 UTC

2017-03-19 18:54:08 UTC

3.Zadatak
Kljucna je teorema o tangentnom i tetivnom uglu kao i definicija tangentne duzi.
Tina Mihajlovic

2017-03-19 20:14:08 UTC

4.Zadatak
Analogno ovom, resavaju se i ostali primeri zadatka.
Milica Vasovic

5

2017-03-19 20:42:52 UTC

Milica Vasovic

8.

2017-03-19 21:48:22 UTC

Milica Vasovic