https://padlet.com/lucianasci14/ba91puclmoytsf4e en-us 2022-11-22 08:17:08 UTC 2022-11-22 08:34:47 UTC hello@padlet.com lucianasci14 https://padlet.com/lucianasci14/ba91puclmoytsf4e/wish/2393790596 OBJETIVOS:
- Apresentar breve conceito de estruturas algébricas ;
- Identificar um conjunto munido de uma operação binária como grupo;
- Demonstrar a estrutura de um grupo;
- Exemplificar através de exercícios resolvidos;
TEORIA DOS GRUPOS
A Teoria dos Grupos faz parte de uma área da Matemática que denominamos de Estruturas Algébricas e se constitui em uma importante ferramenta para o estudo de simetrias, além de possuir muitas aplicações em Física Matemática. 
O conceito de grupo é, seguramente, uma das ideias centrais da Matemática. Certamente existem poucos ramos matemáticos nos quais os grupos não sejam empregados implicitamente ou explicitamente. Teoria quântica, estrutura atômica e molecular e cristalografia são apenas algumas das áreas das ciências nas quais a ideia de grupo como uma medida de simetria tem sido utilizada com grande importância. FONTE: Vieira; Alves (2009)

De modo geral, um grupo é definido por meio de leis que combinam seus elementos. Neste tópico, vamos estudar essas leis que classificam um conjunto enquanto grupo e analisar alguns exemplos.
DEFINIÇÃO DE GRUPO
Seja G um conjunto não vazio, no qual uma operação binária qualquer, que representaremos por , está definida. Esse conjunto G é chamado de grupo em relação a esta operação se, para arbitrários elementos a, b, c ∈ G, as seguintes propriedades forem válidas:
I- Fechamento: O conjunto G é fechado em relação à operação considerada se a b = c então c ∈ H;
II- Associativa: (a b) c = a (b c);
III- Existência do Elemento Neutro: Existe e ∈ G tal que: a e a= a;
IV- Existência de Inversos: Para cada a ∈ G, existe a* ∈ G, tal que: a  a* = a*  a =e.
Com relação à propriedade IV, usa-se a notação a* para simbolizar um elemento que operado com a, resultará no elemento identidade da operação em questão. Assim, se o grupo for aditivo, a operação envolvida será a adição e, consequentemente, a* será (–a), ou seja, na adição a + (-a) = (-a) + a = 0, que é elemento neutro aditivo. 
Atente também com relação ao símbolo utilizado para operação binária. Na definição de Grupo, representamos simbolicamente a operação binária envolvida por (○). Assim, para a ○ b, lemos: “a operação b”, e, para indicar que ao par (a, b) corresponde c, escrevemos a ○ b = c. 
Assim, o símbolo ○ pretende designar qualquer operação binária envolvida. Se o grupo for aditivo, ○ representará a operação de adição e será expresso por “+”; da mesma forma, se o grupo for multiplicativo,  representará a operação de multiplicação e será expresso por “⋅”.
Por fim, de forma simplificada, podemos dizer que um grupo é um conjunto não vazio G munido de uma operação fechada, associativa, admitindo elemento neutro e inverso para cada um de seus elementos.
EXEMPLO: 
Vamos considerar o conjunto G = {-1, 1} e a operação binária multiplicação usual.

Através da tabela operatória, podemos averiguar se as quatro propriedades que definem em grupo são válidas para o conjunto G:


I- Fechamento: Todos os elementos resultantes da operação de multiplicação pertencem a G, logo, G é fechado para esta operação binária.
II- Associativa: Observe, pela tabela, que a propriedade associativa também se verifica. Como G possui dois elementos, teríamos 16 possibilidades de associá-los (8 pela direita e 8 pela esquerda). Todavia, como o conjunto G é formado por números inteiros e a associatividade é válida para o produto de números inteiros, por restrição, é válida também para G.
III- Existência do Elemento Identidade: O elemento neutro multiplicativo é 1.
IV- Existência de Inverso: O inverso de -1 é -1, pois -1 ⋅ (-1) = 1 que é o elemento identidade. Da mesma forma, o inverso de 1 é 1.
Verificamos assim que G é um grupo em relação à multiplicação usual, pois verifica as quatro propriedades apresentadas na definição de grupo.

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