(Funció real de variable real)

f : R → R

x → y = f (x)

y = f ( x)→ La variable dependent y està en funció de la variable independent x.

Hi ha diferents formes de representar una funció. Les principals són:

• Mitjançant un enunciat (verbal o escrit).

• Mitjançant una expressió algebraica (algèbrica).

• Mitjançant una taula de valors.

• Mitjançant un gràfic.

Quan un nombre x es relaciona amb un altre nombre y mitjançant una funció f, ho expressarem: y = f ( x) i direm que y és la imatge de x per la funció f. De la mateixa manera podem dir que x és una antiimatge de y per la funció f.

Com calcular la imatge d’una funció?

Si necessitem calcular la imatge vol dir que hem de calcular la y i tenim un valor conegut de la x.

Com calcular la imatge d’una funció a partir de la seva expressió algebraica?

Per calcular la imatge d’una funció f, a partir de la seva expressió algebraica, només cal substituir el valor de la x a l’expressió y = f ( x) i calcular.

Com calcular la imatge d’una funció a partir de la seva gràfica?

Per calcular la imatge d’una funció f, a partir de la seva gràfica, s’han de seguir els següents passos:

1r – Busquem sobre l’eix d’abscisses (eix horitzontal) el valor de la x.

2n – Tracem una recta vertical fins que intersequi amb la gràfica de la funció f.

3r – Busquem quina ordenada té aquest punt d’intersecció traçant una recta horitzontal fins a

l’eix d’ordenades (eix vertical).

Com calcular les antiimatges d’una funció?

Si necessitem calcular les antiimatges vol dir que hem de calcular les x i tenim un valor conegut de la y. Ens podem trobar diferents casos: que no existeixi antiimatge, que tingui només una o que tingui més d’una antiimatge.

Com calcular les antiimatge s d’una funció a partir de la seva expressió algebraica?

Per calcular les antiimatges d’una funció f, a partir de la seva expressió algebraica, cal substituir el valor de la y a l’expressió y = f ( x) i resoldre l’equació resultant. La quantitat d’antiimatges dependrà del nombre de solucions que tingui l’equació a resoldre.

Com calcular les antiimatge s d’una funció a partir de la seva gràfica?

Per calcular les antiimatges d’una funció f, a partir de la seva gràfica, s’han de seguir els següents passos:

1r – Busquem sobre l’eix d’ordenades (eix vertical) el valor de la y.

2n – Tracem una recta horitzontal fins que intersequi amb la gràfica de la funció f.

(Pot tenir una, més d’una o cap intersecció).

3r – Busquem quina abscissa té cada punt d’intersecció traçant una recta vertical fins a l’eix

d’abscisses (eix horitzontal).

TIPUS DE FUNCIONS

Funció afí

Les funcions afins són les funcions que tenen la següent expressió algebraica:

f (x) = m⋅x + n on m, n ∈ R , m ≠ 0 i n ≠ 0

m → És el pendent de la recta n → Ordenada a l’origen.

Les funcions afins són funcions polinòmiques de grau 1, el seu domini és tots els reals Dom(f ) = R i el seu recorregut també Rec(f ) = R.

La seva gràfica és una línia recta inclinada que passa pel punt (0 , n) , és a dir, que talla l’eix d’ordenades en y = n.

Si m > 0 la funció és creixent i si m < 0 la funció és decreixent.

Podem calcular el pendent de la recta a partir de la fórmula: m =Δy:Δx

Funció lineal

Les funcions lineals són les funcions que tenen la següent expressió algebraica:

f (x) = m⋅x on m ∈ R i m ≠ 0

m → És el pendent de la recta.

Les funcions afins són funcions polinòmiques de grau 1, el seu domini és tots els reals Dom(f ) = R i el seu recorregut també Rec(f ) = R.

La seva gràfica és una línia recta inclinada que passa pel punt (0 , n) , és a dir, que talla l’eix d’ordenades en y = n.

Si m > 0 la funció és creixent i si m < 0 la funció és decreixent.

Podem calcular el pendent de la recta a partir de la fórmula: m =Δy:Δx

Les relacions de proporcionalitat directa entre dues magnituds x i y es representen mitjançant funcions lineals.

Funció constant

Les funcions constants són les funcions que tenen la següent expressió algebraica:

f(x)=k on k∈ R (constant)

Les funcions constants són funcions polinòmiques de grau zero, el seu domini és tots els reals

Dom(f ) = R i el seu recorregut només està format per un valor Rec(f ) = {k }

La seva gràfica és una línia recta horitzontal que talla l’eix d’ordenades en y = k.

Taxa de variació mitjana

Sigui una funció f(x) i dos punts A=(a,f(a)) i B=(b,f(b)) de la seva gràfica.

La taxa de variació mitjana d'una funció f(x) entre dos valors x=a i x=b ( amb a<b)  és:

TVM [a,b]=f(b)-f(a) : b-a

Intervals de curvatura (concava/convexa)

• Si f ''(x_o) >0 → la funció és còncava en l'interval que conté x_o (U)

• Si f ''(x_o) <0 → la funció és convexa en l'interval que conté x_o (∩)

Els vectors es poden representar amb lletres, amb una fletxa damunt

Un vector té les següents propietats:

-Punt d'aplicació, és l'origen del segment.

Vector (física)

-Mòdul, expressa el valor numèric de la magnitud vectorial. Es representa per la longitud del segment, sempre en valor absolut.

-Direcció, que és la del segment. A la recta que conté el vector se l'anomena línia d'acció.

-Sentit, distingeix dos sentits sobre la línia d'acció.

Es diu que dos vectors són concurrents quan tenen el mateix punt d'aplicació.

Vector pot ser Lliure V=(4,3) o Fixe AB=(4,3).

Un vector oposat a un altre és el que té el mateix punt d'aplicació, mòdul i direcció però sentit contrari. Així el vector oposat a v és -v

La fórmula per determinar la magnitud d'un vector:

|v| =√(x2 + y2)

Operacions que podem utilitzar amb vectors:

· Suma

V=(v1,v2)

W=(w1,w2)

V+W=(v1,v2)+(w1,w2)=(v1+w1,v2+w2)

· Resta

U-V=(u1,u2)-(v1,v2)=(u1-v1,u2-v2)

· Multiplicació per un escalar
a·V=a·(v1,v2)=(a·v1,a·v2)

El pendent de la recta

m=tan(a)=Δy:Δx=v₂:v₁

Equació de la recta

L’equació d’una recta es pot expressar de diferents maneres. Farem sevir l’equació que més ens convingui per tal de fer els càlculs més fàcilment o segons les dades disponibles.

Equació vectorial:

(x,y)=(p₁,p₂)+k·(v₁,v₂)

Equació paramètriques

x=p₁+k·v₁

y=p₂+k·v₂

Equació contínua

x-p₁:v₁ = y-p₂:v₂

Equació general

Ax+By+C=0

(A,B)=(v₂-v₁) → v=(-B,A)

Equació punt-pendent

y-p₂=m·(x-p₁)

m=v₂:v₁ ; v=(1,m)

Equació explícita

y=m·x+n

m=v₂:v₁ ; v=(1,m)

Les possibles posicions relatives de dues rectes al pla són:

Rectes Paral·leles

Dues rectes al pla són paral·leles si els vectors directors son proporcionals, és a dir, tenen el mateix pendent i no tenen cap punt en comú.

Rectes Secants

Dues rectes al pla son secants si els vectors directors

no son proporcionals, és a dir, els pendents de les rectes son diferents. En aquests cas, les rectes només tenen un punt en comú i podem distingir entre rectes secants obliqües (no formen angles rectes) i rectes secants perpendiculars (formen angles rectes).

Rectes Coincidents

Dues rectes al pla són coincidents si els vectors directors son proporcionals, és a dir, tenen el mateix pendent i tots els punts són comuns.

Donades les equacions de dues rectes al pla, r i s , els passos a seguir per saber la seva posició relativa son:

1r – Calcular el pendent de les dues rectes, directament o a partir del vectors directors. Podem calcular els pendents, a partir del vectors directors, fent servir la fórmula: m=v2:v1

2n – Si els pendents son diferents (mr ≠ ms) les rectes son secants. En aquest cas, comprovarem si es compleix la igualtat mr =−1:ms. En cas afirmatiu, les rectes secants son perpendiculars. En cas contrari, les rectes secants son obliqües.

3r – Si els pendents són iguals (mr = ms) buscarem les coordenades d’un punt d’una de les rectes i comprovarem si aquest punt compleix l’equació de l’altra recta. En cas afirmatiu, les rectes son coincidents. En cas contrari, les rectes son paral·leles.

Una inequació és una desigualtat entre dues expressions algebraiques. Les solucions de la

inequació són aquell conjunt de valors que fan veritat la desigualtat.

Hi ha quatre tipus de desigualtats:

• < → "Més petit que"

• > → "Més gran que"

• ≤ → "Més petit o igual que"

• ≥ → "Més gran o igual que"

Les solucions d’una inequació es poden expressar de tres maneres:

• mitjançant una desigualtat,

• gràficament,

• mitjançant intervals.

INEQUACIONS DE 1r GRAU AMB UNA INCÒGNITA

Una inequació és de 1r grau amb una incògnita, x, si la podem acabar expressant d’una de les següents formes:

a·x<b o a·x>b o a·x≤b o a·x≥b on a,b∈R

INEQUACIONS DE 2n GRAU AMB UNA INCÒGNITA

Una inequació és de 2n grau amb una incògnita, x, si la podem acabar expressant d’una de les següents formes:

ax²+bx+c<0

ax²+bx+c>0

ax²+bx+c≥0

ax²+bx+c≥0 on a,b,c∈R

Mètode de resolució:

1. Expressem la inequació de 2n grau en una de les formes indicades anteriorment

2. Canviem la desigualtat per una igualtat i solucionem l’equació de 2n grau

3. Representem sobre la recta real les solucions donades (si en té) i dibuixem la paràbola "somrient" (si a > 0) o "trista" (si a < 0)

4. Trobem les solucions a partir de la interpretació del tipus d’inequació i la representació

realitzada.