Aplicações de EDO's de 1ª Ordem by Vitor Monchelin

Aplicação: Dinâmica de uma população

monchelinvitor — 2024-04-27 13:57:11 UTC

A dinâmica da vida e, em particular, o crescimento populacional é cercado por diversos fenômenos, dentre eles fatores bióticos como a presença de outros organismo e disponibilidade de nutrientes; e fatores abióticos como a temperatura. Nesse sentido, utilizaremos o estudo feito até então sobre Equações Diferenciais de primeira ordem para a determinação e análise de modelos que descrevem o comportamento de uma população em que o número de indivíduos é descrito a partir do tempo. A fim de obter uma modelagem matemática para esse fenômeno, de modo a compreende-lo e entender algumas de suas propriedades é crucial desconsiderar alguns dos fatores envolvidos, de modo a simplificar o processo e, consequentemente, sua análise. A escolha dos fatores de sobrevivência a serem considerados, por outro lado, não pode se dar de modo arbitrário mas tendo em vista a análise que propõe-se fazer da situação, sendo esta escolha a responsável pela determinação do modelo que mais se adequa aos propósitos. Neste tópico, abordaremos especificamente os Modelos Malthusiano e Verhulst que tratam de modelagens mais simples mas que ainda preservam características que nos permitem compreender a natureza e certas propriedades sobre a dinâmica de uma população.

A dinâmica populacional elencou três tipos de indicadores, que funcionariam como padrões a serem analisados: mortalidade, natalidade e fecundidade.

monchelinvitor — 2024-04-27 13:57:11 UTC

Portanto temos que a população em 2016 é de 8077 habitantes. Comparando os resultados:

População prevista pelo modelo de Malthus para 2016 é de 8077 habitantes.
População real de 2016 segundo o IBGE é de 8949habitantes.

Observamos que há uma diferença de 872 habitantes. Ou seja, uma discrepância de 9,75% do valor real, um valor aceitável para cálculos de modelagem matemática.

monchelinvitor — 2024-04-27 13:57:11 UTC

Pierre François Verhulst (nascido em 28 de outubro de 1804 em Bruxelas) foi um matemático belga (então Império Francês) conhecido principalmente por seu trabalho sobre curva logística e crescimento populacional. Ele morreu em 15 de fevereiro de 1849 devido a problemas de saúde que o atormentaram durante toda a vida. Embora não existam registros suficientes sobre sua doença, parece que a causa mais provável foi a tuberculose. Pierre Verhulst nasceu em uma família rica que garantiu que seu filho tivesse uma educação de alta qualidade. O seu ensino secundário foi no Ateneu de Bruxelas que era conhecida por oferecer uma educação muito mais ampla do que outras escolas da época, especialmente em ciências. Quando Verhulst adoeceu, decidiu viajar para Itália na esperança de que a sua saúde melhorasse. Devido às suas opiniões sobre política, foi convidado a deixar Roma, pelo que regressou à Bélgica. Ele trabalhou em faculdades como professor e se tornou presidente da Academia Belga, mas sua saúde piorou nos últimos anos de sua vida.

monchelinvitor — 2024-04-27 13:57:11 UTC

Em 1798, Robert Malthus tentou fazer uma estimativa do crescimento da população mundial. Ele considerou que o crescimento de uma população é proporcional à população em cada instante, isto é, descarta fatores limitantes de crescimento, tal como taxas de natalidade e mortalidade, além de considerar que todos os indivíduos são idênticos, com o mesmo comportamento. Assim, ele criou o primeiro modelo de dinâmica populacional.

Modelo de Verhulst ou Logístico

monchelinvitor — 2024-04-27 13:57:11 UTC

Situação Problema 1:

monchelinvitor — 2024-04-27 13:57:11 UTC

Jaçanã é uma cidade pacata no interior do Rio Grande do Norte e no ano 2000 a população do município era de 7677 habitantes e em 2010 essa população passou para 7925. De acordo o modelo de crescimento populacional de Malthus, qual será a população estimada para 2016?

Demonstração da equação do Modelo de Malthus

monchelinvitor — 2024-04-27 13:57:11 UTC

Malthus Thomas

Modelo Exponencial ou Modelo de Malthus Thomas

monchelinvitor — 2024-04-27 13:57:11 UTC

A equação do Modelo de Malthus, considerando uma determinada população P, é descrita pelo problema de valor inicial:

monchelinvitor — 2024-04-27 14:08:04 UTC

monchelinvitor — 2024-04-27 14:09:07 UTC

Resolução:

monchelinvitor — 2024-04-27 14:12:10 UTC

monchelinvitor — 2024-04-27 14:16:00 UTC

Pierre François Verhulst

A equação diferencial separável:

monchelinvitor — 2024-04-27 14:21:53 UTC

Devido as limitações apresentadas no modelo de Malthus, o matemático Verhulst, apresentou uma nova equação supondo que a população irá crescer até um limite máximo sustentável, isto é, ela tende a se estabilizar. Substituindo a constante k por K=a - bp, a e b constantes positivas ,obtêm-se a:

Demonstração do modelo de Verhulst ou Logístico:

monchelinvitor — 2024-04-27 14:23:29 UTC

monchelinvitor — 2024-04-27 14:24:01 UTC

💥 APLICAÇÃO DE E.D.O. 📈 MODELO DE MALTHUS - CRESCIMENTO POPULACIONAL

monchelinvitor — 2024-04-27 14:25:39 UTC

EDO - Função Logística - Modelo de Verhulst

monchelinvitor — 2024-04-27 14:27:12 UTC

Vídeos

monchelinvitor — 2024-04-27 14:28:27 UTC

Situação Problema 2:

monchelinvitor — 2024-04-28 20:04:40 UTC

São colocados em bêquer 4 fêmeas partenogenéticas grávidas ( não há necessidades de fecundação pelo macho) de um microcrustáceo chamado cladócero em condições ideias de alimentação, temperatura, aeração, iluminação e ausência de predadoras. Sabendo-se que essa população atinge o máximo de 700 indivíduos e que em cada 15 dias haviam 400 indivíduos. Determine a população em função do tempo.São colocados em bêquer 4 fêmeas partenogenéticas grávidas ( não há necessidades de fecundação pelo macho) de um microcrustáceo chamado cladócero em condições ideias de alimentação, temperatura, aeração, iluminação e ausência de predadoras. Sabendo-se que essa população atinge o máximo de 700 indivíduos e que em cada 15 dias haviam 400 indivíduos. Determine a população em função do tempo.

Resolução:

monchelinvitor — 2024-04-28 20:05:22 UTC

monchelinvitor — 2024-04-28 20:06:38 UTC

Gráfico:

monchelinvitor — 2024-04-28 20:07:50 UTC

Esboço gráfico dessa população em 15 dias.

monchelinvitor — 2024-04-28 20:10:36 UTC

Curiosidade

monchelinvitor — 2024-04-28 20:13:58 UTC

Sabia que o estudo da dinâmica populacional remonta a períodos anteriores ao século XVIII? As teorias formuladas então, buscavam explicar o crescimento da população e seus impactos na sociedade e na natureza. Curiosamente, para antecipar o futuro das sociedades, os estudiosos identificaram três indicadores-chave: mortalidade, natalidade e fecundidade. Esses elementos se tornaram padrões essenciais para análise até os dias de hoje.

Curiosidade histórica:

monchelinvitor — 2024-04-28 20:15:00 UTC

Você sabia que no passado, a dinâmica populacional era amplamente ligada à preocupação com a explosão demográfica? Os trabalhos de Thomas Malthus destacaram essa problemática, alertando para o crescimento descontrolado da população e a escassez iminente de recursos. No entanto, com o surgimento da Revolução Industrial e avanços tecnológicos na produção e transporte de alimentos, as teorias de Malthus perderam força. Hoje, a discussão mudou drasticamente, com muitos lugares do mundo enfrentando uma "implosão populacional", marcada por quedas nas taxas de fecundidade, especialmente em partes da Europa e no Japão.

Referências:

monchelinvitor — 2024-04-29 13:01:52 UTC

PEREIRA FRANCO, M. Um estudo sobre Equações Diferenciais Ordinárias em Dinâmica Populacional. [s.l: s.n.]. Disponível em: <https://repository.ufrpe.br/bitstream/123456789/3638/1/tcc_marianapereirafranco.pdf>.

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ANTÔNIO, M.; HORIZONTE, J. UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS -ICEX DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICAÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAISÀ DINÂMICA POPULACIONAL DE MINAS GERAIS E DA REGIÃO METROPOLITANA DE BELO HORIZONTE. [s.l: s.n.]. Disponível em: <https://repositorio.ufmg.br/bitstream/1843/EABA-A5UP5E/1/monografia_marcosantonio.pdf>. Acesso em: 24 abr. 2024.

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RAPHAEL, I. et al. DINÂMICA POPULACIONAL E ECONOMIA: UMA APLICAÇÃO COM MODELOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS. [s.l: s.n.]. Disponível em: <https://www.editorarealize.com.br/editora/anais/conapesc/2018/TRABALHO_EV107_MD1_SA10_ID1054_26052018172848.pdf>.

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