EDAD: 29 años

CARRERA: Administración de empresas

Mis expectativas del curso:

• aprender a resolver problemas de la vida cotidiana por medio de funciones, limites y derivadas.

• desarrollar la capacidad de aplicar ejercicios matemáticos en una organización.

• lograr ampliar este conocimiento en mi vida laborar y personal.

Quien soy:

Mi nombre es ingrid cecilia rivera lara nacida en la ciudad de cali y residente actual en el municipio de canalete cordoba, Soy una persona muy comprensiva y respetuosa con muchas ganas de aprender y seguir adelante en mi carrera como administradora, me gusta hacer amigos y llevármela bien con la persona que me rodean, también me gusta leer y pasar tiempo junto a mi familia, me gusta ignorar y aprender día a día cosas diferentes para aplicar en mi vida cotidiana.

X ( variable independiente ) un único valor del segundo conjunto F(x) ( variable dependiente).

Por ejemplo, la función f(x) = 3x² + 1 es la que a cada número le asigna el cuadrado del número multiplicado por 3 y luego sumado 1.

Así f(2) = 3*2² + 1= 3*4 + 1 = 12 + 1 = 13

Dominio y rango en una función:

El dominio de una función f ( x ) es el conjunto de todos los valores para los cuales la función está definida, y el rango de la función es el conjunto de todos los valores que f toma.

Ejemplo 1:

El dominio de la función

f ( x ) = 1/ x

es todos los números reales excepto el cero (ya que en x = 0, la función no está definida: la división entre cero no está permitida!).

El rango también es todos los números reales excepto el cero. Puede ver que hay algún punto en la curva para cada valor de y excepto para y = 0.

CONTINUIDAD DE UNA FUNCION:

Se dice que una función es continua en todo su dominio cuando se puede recorrer toda la gráfica sin tener que levantar la mano, cuando no hay huecos o espacios entre sus gráficas, si algo de esto se llega a presentar se dice que la función es descontinua.

una función f(x) es continua en un punto a, si y sólo, si se verifican las condiciones siguientes:

• La función existe en a.

• Existe límite de f(x) cuando x tiende a a.

• El valor de la función en el punto y el límite en dicho punto son iguales:

  
  

  Lim F(x) = F (a)

  x-> a

  
  

CRECIMIENTO DE UNA FUNCION

se dice que una función es creciente cuando al aumentar la X, la Y también aumenta o viceversa.

Una función es creciente entre a y b si para cualquier par de puntos x₁ y x₂ del intervalo tales que x₁<x₂, se cumple que f(x₁) < f(x₂). Es decir, es creciente en [a,b] si al aumentar la variable independiente x, aumenta la variable dependiente y.

DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION

Una función es decreciente entre a y b si para cualquier par de puntos x₁ y x₂ del intervalo tales que x₁<x₂, se cumple que f(x₁) > f(x₂). Es decir, es decreciente en [a,b] si al aumentar la variable independiente x, disminuye la variable dependiente y.

INTERCEPTO DE UNA FUNCIÓN

Los intercepto de la función son los puntos en donde la gráfica toca los ejes de coordenadas. Estos puntos, que son de la forma (a,0) y (0,b), son los puntos de la función más fáciles de identificar y por lo tanto frecuentemente queremos encontrarlos porque nos proveen información útil en aplicaciones de la vida real.

Cómo se calcula el intercepto?

Para encontrar los interceptos en el eje de X, dada una función cualquiera, debemos sustituir f(x) o Y por cero. Una vez sustituido el valor de f(x) debemos despejar la X para encontrar los valores que hacen cero a la función.

Para que exista el límite de una función, los límites laterales deben ser iguales.

Lim F(x)=L

x-> a

Así decimos que lim x2 =1 cuando :

X->a

X->1 , X->1

Esto es x+6=-x

Resuelva para X

x+6=-x. g(-3)=-(-3) =3

2x+6=0

2x=-6

x=-3

La función lineal es una función matemática de la forma f(x) = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b es el punto de corte con el eje y. En administración, esta función se

utiliza para representar relaciones lineales entre variables

La función cuadrática es una función matemática de la forma f(x) = ax^2 + bx + c, donde a,

b y c son constantes. En administración, esta función se utiliza para modelar situaciones en las que la variable dependiente tiene una relación cuadrática con la variable independiente.

Por ejemplo, se puede utilizar para analizar los costos totales en función del nivel de producción.

Ejemplos Aplicado a la Administración - Función Cuadrática:

a) El gerente de una tienda de electrodomésticos desea determinar cuántos televisores

debe tener en stock para maximizar las utilidades y tienes la siguiente función de

utilidad cuadrática.

U(x)= -0.2x^2 + 20x – 500

Donde:

U(x) es la utilidad en dólares

X es la cantidad de televisores en stock

La forma general de una función cuadrática es f ( x ) = ax 2 + bx + c . La gráfica de una función cuadrática es una parábola , un tipo de curva de 2 dimensiones.

¿Qué situaciones de la vida cotidiana se pueden modelar con una función cuadratica?

FUNCIONES CUADRÁTICAS Muchas situaciones cotidianas se pueden modelar mediante una función cuadrática. Por ejemplo, la altura de un cuerpo que cae respecto del tiempo, la ganancia obtenida según la cantidad de artículos vendidos, entre otras.

Lim f(x)=l

x->a

Donde lim es la manera abreviada de escribir límite. f(x) es la función en estudio y X->a se lee " cuando x tiende al valor a en la función.

Por lo general cuando evaluamos un límite nos encontramos con indeterminaciónes o valores qué en matematicas no conocemos , sin embargo gracias a la álgebra podremos eliminar estas indeterminaciónes y así obtener resultados para ellos

Sean f(x) y g(x) dos funciones definidas en un mismo intervalo en donde está el valor a del límite y k una constante.

• Unicidad del límite:

  cuando el límite existe, el límite es único.

Lim + f(x)= lim -f(x)= lim f(x)=L

x->a. x->a. x->a

*Propiedad de la suma:

el límite de la suma es la suma de los límites.

1. (a)f(a).

2. límx→af(x)límx→af(x).

3. límx→af(x)=f(a).

Estas tres condiciones son necesarias también para la continuidad de una función de dos variables.

Una indeterminación o forma indeterminada es una expresión algebraica que a veces aparece en el cálculo de límites y cuyo valor no se puede predecir, depende de la función del límite a calcular. Por ejemplo, si una función tiende a 5/∞ 5 / ∞ , entonces su límite es 0 0 .

.- Límites indeterminados 0/0

        A.- Factorización

1.- Cuando el límite indeterminado es 0/0 y la tendencia es a cero, se realiza un factor común, como se muestra en el siguiente ejemplo: 

comportamiento de funciones en situaciones límite.

En matemáticas, los límites son un concepto fundamental que se utiliza para describir el comportamiento de una función o secuencia a medida que se acerca a un valor particular, sin necesariamente llegar a ese valor.

Los límites son esenciales en diversas ramas de las matemáticas y tienen aplicaciones significativas en la administración y otros campos

Un límite se expresa típicamente como "el límite de f(x) cuando x tiende a 'a'". Cuando x se acerca a 'a', el límite describe cómo se comporta f(x) en ese acercamiento. Puede acercarse

de manera continua o acercarse indefinidamente a un valor específico, o bien, no tener un

límite definido.

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎

Desde una perspectiva geométrica, la derivada de una función es la pendiente de la recta tangente al punto donde se ubica x.

En términos matemáticos, la derivada de una función puede expresarse de la siguiente forma:

f'(x)=lim f(x+h)-f(x)

h->0 ----------

h

En la fórmula, x es el punto en el que la variable toma el valor de x. Asimismo, h es cualquier número. Este luego se igualará a cero pues, como vemos en la imagen superior, debemos calcular el límite de la función cuando h se acerca a cero.

La derivada de la función f en x=c es el límite de la pendiente de la línea secante de x=c a x=c+h cuando h tiende a 0. Simbólicamente, este es el límite de [f(c)-f(c+h)]/h cuando h→0.

    Si dos cantidades están relacionadas entre sí, entonces cuando una de ellas cambia con el tiempo, la otra cambiará también. Por lo tanto sus razones de cambio (con respecto al tiempo) están relacionadas entre sí. Por ello a este tipo de situaciones se les llama razones de cambio relacionadas.

Una persona de 1.80 metros de altura se aleja de un poste de alumbrado de 6 metros de altura con una velocidad de 1 m/s. ¿Con qué rapidez crece la sombra de la persona?

    Observa la siguiente animación. En ella observarás como cambia la sombra que una persona proyecta sobre el piso, cuando esa persona se aleja de la fuente luminosa.

Como habrás observado, la longitud de la sombra depende de la distancia de la persona al poste. Puesto que la distancia x cambia con el tiempo, también la longitud de la sombra s cambia con el tiempo. La razón de cambio de la longitud de la sombra con respecto al tiempo, depende de la velocidad con la que la persona se aleja del poste. A esto le llamamos razones de cambio relacionadas. Enseguida, se muestran los cálculos necesarios para encontrar la razón de cambio de la sombra del ejemplo anterior.

La relación entre x y s es:

1.8 6

 == 

s(t) s(t) + x(t)

Despejando a s(t) obtenemos:

 s(t) = (0.428571) x(t) 

Derivando con respecto al tiempo obtenemos s'(t):

 s'(t) = (0.428571) x'(t) 

Sustituyendo el valor de x'(t)=1. obtenemos: 

s'(t) = 0.428571

La razón de cambio de s con respecto a t es: 

s'(t)= 0.428571 cuando x'(t)= 1

RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO:

Nuestro día a día nos enfrenta a diversas razones de cambio de situaciones sociales, económicas y naturales, entre otras, en las cuales deseamos saber cuál es el valor más grande o el más pequeño (el máximo y el mínimo, respectivamente), su crecimiento o su disminución en un período de tiempo determinado. Se trata de problemas en los cuales estudiamos fenómenos relacionados con la variación de una magnitud que depende de otra, por lo cual es necesaria una descripción y una cuantificación de dichos cambios por medio de gráficas, tablas y modelos matemáticos.

RAZON DE CAMBIO INSTANTÁNEA:

La razón de cambio instantánea también se denomina segunda derivada y hace referencia a la velocidad con la cual cambia la pendiente de una curva en un momento determinado. No olvidemos que la razón de cambio muestra la proporción en la que cambia una variable con respecto a otra o, desde un punto de vista gráfico, la pendiente de una curva.

La interpretación geométrica de la derivada es la pendiente de la recta tangente en el punto . A medida que la función crece lo hace también la pendiente de su tangente. Eso significa que la derivada representa la razón de cambio de una variable respecto a otra.

Interpretación geométrica de la derivada:

EJEMPLO:

Calcula el punto de la función donde la derivada es cero, si la función es 2x2+3x−2.

Solucion:

En este caso, debemos de derivar primero la función:

ddx(2x2+3x−2)=4x+3

Ahora, encontrar donde es cero; para ello, igualamos a cero:

4x+3=0

Y esto sucede cuando:

x=−34

Este es un punto crítico.

Encuentra el punto crítico de la función x3−3x y decide si este es un máximo o un mínimo.

Solución:

Primero, debemos derivar la función:

ddx(x3−3x).

Esto nos da:

3x2−3

Para encontrar el punto crítico, debemos saber cuándo la derivada es cero; al igualar a cero:

3x2−3=0

Despejando x:

x2=1

x1=+1

x2=−1

Ahora, tenemos dos candidatos a puntos críticos. En este caso, debemos evaluar antes y después de los puntos para obtener el signo de la derivada.

Por ejemplo, a la izquierda y derecha de x=1.

3·(0,5)2−3=−2,5

3·(1,5)2−3=3,75

La derivada cambia de negativo a positivo, por lo cual se tiene un mínimo.

Ahora a la izquierda y derecha de x=−1].

3·(−1,5)2−3=3,75

3·(−0,5)2−3=−2,25

En este caso la derivada cambia de positivo a negativo, por lo que se tiene un máximo.

Matematicamente se expresa como la derivada parcial del costo total respecto a la cantidad:

Costo Marginal = ∂Costo Total / ∂Cantidad

CMg = ∂CT / ∂Q

El costo marginal es un concepto fundamental en la teoría microeconómica, debido a que se utiliza para determinar la cantidad de producción de las empresas y los precios de los productos.

El costo marginal depende de la tecnología utilizada en la producción y de los precios de los insumos y los factores de producción.

El concepto de ingreso marginal plantea la manera como se afectan los ingresos

por cada nueva unidad que se produce y se vende. Esto es, si se asigna la expresión

I(x) a los ingresos que se obtienen al vender x número de artículos, lo que muestra el

ingreso marginal es el ingreso que se obtiene al vender el artículox + 1.

Para conocer el ingreso que se obtiene en la venta de la unidad x + 1 se

resuelve la siguiente resta:

I(x + 1) – I(x) (1)

Lo que se tiene en la expresión anterior son los ingresos de la venta de x

artículos incrementada en 1, menos los ingresos de venta de x artículos.

Como caso particular, si se considera el incremento de unidades de

artículos de la forma x = 1, entonces el incremento del ingreso I se puede

representar como:

I = I(x + x) – I(x) = I(x + 1) – I(x)

Hoy en día es importante que las empresas u organizaciones no subestimen la importancia de las matemáticas en la gestión, ya que pueden facilitar el logro de sus objetivos a corto y largo plazo. Además, la implementación correcta o incorrecta de esta ciencia en las actividades de gestión puede determinar el destino de la organización.

Las matemáticas son una herramienta que nos permite verificar, a través de modelos gráfico-numéricos, los efectos que pueden generar las variaciones de los elementos o factores que intervienen en los fenómenos y sucesos que se presentan a lo largo de nuestra vida. Es por esto por lo que veremos el concepto de función, así como sus diferentes formas de representación.

También se analizarán los tipos de funciones, gráficas y operaciones. Que puede haber entre ellas, para crear bases sólidas que permitan brindar soluciones prácticas a diversos problemas que se presentan en el ámbito administrativo.

Las funciones matemáticas son herramientas esenciales en la administración, utilizadas para modelar relaciones, tomar decisiones estratégicas y optimizar procesos. Dos tipos de funciones comunes en este contexto son las funciones lineales y cuadráticas.

1. Optimización de Recursos:

Las derivadas se utilizan para determinar la cantidad óptima de recursos, como mano de

obra y capital, que se deben asignar a diferentes áreas de una empresa para maximizar la

eficiencia y minimizar los costos.

Las derivadas pueden ayudarte a determinar la cantidad óptima de recursos, como mano de

obra, capital o tiempo, que se deben asignar a diferentes áreas de tu empresa. Esto te permite

maximizar la eficiencia y minimizar los costos.

2. Maximización de Ingresos:

Las derivadas ayudan a determinar la cantidad de productos que se deben producir o vender

para maximizar los ingresos, lo que es esencial en la fijación de precios y la gestión de

productos.

Las derivadas te permiten identificar cuántos productos debes vender o cuál debe ser el

precio óptimo para maximizar los ingresos de tu empresa. Esto es esencial para la fijación

de precios y la gestión de productos.

3. Análisis de Costos:

Se utilizan para analizar cómo cambian los costos en función de la producción o el tiempo,

lo que es fundamental para la gestión de costos y la planificación de inventarios.

Puedes utilizar las derivadas para entender cómo cambian los costos en función de la

producción o el tiempo. Esto te ayuda a controlar los costos y tomar decisiones informadas

sobre la producción y la gestión de inventarios.

4. Toma de Decisiones Estratégicas

Las derivadas ayudan a comprender cómo cambian los indicadores clave de rendimiento

con el tiempo, lo que permite tomar decisiones estratégicas basadas en datos.

Al analizar cómo cambian las variables clave con respecto al tiempo o a otras variables,

puedes ajustar tu estrategia empresarial de manera oportuna. Esto es crucial para adaptarse

a cambios en el entorno empresarial y mantener una ventaja competitiva.

5. Análisis de Mercado:

Se aplican para analizar la elasticidad de la demanda, lo que es fundamental en la fijación

de precios y en la estrategia de marketing.

La elasticidad de la demanda, que se puede analizar con derivadas, te ayuda a comprender

cómo los consumidores responderán a cambios en los precios de tus productos. Esto es

fundamental para la fijación de precios y la estrategia de marketing.

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