Podemos resolver sistemas de equações de 1 grau com três métodos principais, com o método de eliminação, o método de substituição e o método gráfico. Aqui, vamos nos concentrar no método de eliminação e no método de substituição.

Resolução de sistemas de equações de 1 grau com o método de substituição

Podemos seguir os seguintes passos para resolver o sistema por substituição:

Passo 1: Simplifique as equações: Isso inclui remover parênteses, combinar termos semelhantes e remover frações.

Passo 2: Resolva qualquer equação para uma variável. Não importa qual equação ou variável escolhemos.

Passo 3: Substitua a expressão obtida no passo 2 na outra equação. Isso resultará em uma única equação com uma variável.

Passo 4: Resolva a equação obtida no passo 3.

Passo 5: substitua o valor do passo 4 em qualquer uma das outras equações e resolva a outra incógnita.

 

Estatística é uma ciência que estuda a coleta, a organização, a análise e registro de dados por amostras.

Utilizada desde a Antiguidade, quando se registravam os nascimentos e as mortes das pessoas, é um método de pesquisa fundamental para tomar decisões. Isso porque fundamenta suas conclusões nos estudos realizados.

Fases do método estatístico

Para tanto, as fases do método estatístico são:

Aliada à probabilidade, pode ser aplicada nas mais diversas áreas. São exemplos a análise dos dados sociais, econômicos e demográficos. É o que faz o IBGE - Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística.

O IBGE é o órgão que fornece ao nosso país os dados necessários para a definição do modelo de planejamento mais adequado nas políticas públicas.

As Três Áreas da Estatística

As fases do método estatístico fazem parte de três áreas da estatística:

Amostragem — A definição do problema, o planejamento da pesquisa, a coleta e correção dos dados fazem parte desta área. A definição da amostra é uma parte de fundamental importância para o sucesso da pesquisa. A amostra deve ser diversificada e representativa. Uma amostra ruim irá interferir nos resultados de forma não satisfatória.

Estatística Descritiva — Os dados coletados são organizados e diversas medidas são computadas, como as de tendência central (médias) ou variabilidade (desvios, amplitude…). As tabelas de frequência são ferramentas úteis para organização dos dados, assim como os gráficos que ilustram e facilitam a leitura das informações.

Inferência Estatística — Os dados são transformados em informação através das análises e afirmações fornecidas aos questionamentos da pesquisa. A margem de erro também é anunciada.

 

Professora de Matemática e Física

Média, Moda e Mediana são medidas de tendência central utilizadas em estatística.

Média

A média (M_e) é calculada somando-se todos os valores de um conjunto de dados e dividindo-se pelo número de elementos deste conjunto.

Como a média é uma medida sensível aos valores da amostra, é mais adequada para situações em que os dados são distribuídos mais ou menos de forma uniforme, ou seja, valores sem grandes discrepâncias.

Fórmula

Sendo,

M_e: média

x₁, x₂, x₃,..., x_n: valores dos dados

n: número de elementos do conjunto de dados

Moda

A Moda (M_o) representa o valor mais frequente de um conjunto de dados, sendo assim, para defini-la basta observar a frequência com que os valores aparecem.

Um conjunto de dados é chamado de bimodal quando apresenta duas modas, ou seja, dois valores são mais frequentes.

Exemplo

Em uma sapataria durante um dia foram vendidos os seguintes números de sapato: 34, 39, 36, 35, 37, 40, 36, 38, 36, 38 e 41. Qual o valor da moda desta amostra?

Solução

Observando os números vendidos notamos que o número 36 foi o que apresentou maior frequência (3 pares), portanto, a moda é igual a:

M_o = 36

Mediana

A Mediana (M_d) representa o valor central de um conjunto de dados. Para encontrar o valor da mediana é necessário colocar os valores em ordem crescente ou decrescente.

Quando o número elementos de um conjunto é par, a mediana é encontrada pela média dos dois valores centrais. Assim, esses valores são somados e divididos por dois.

Exemplos

1) Em uma escola, o professor de educação física anotou a altura de um grupo de alunos. Considerando que os valores medidos foram: 1,54 m; 1,67 m, 1,50 m; 1,65 m; 1,75 m; 1,69 m; 1,60 m; 1,55 m e 1,78 m, qual o valor da mediana das alturas dos alunos?

Solução

Primeiro devemos colocar os valores em ordem. Neste caso, colocaremos em ordem crescente. Assim, o conjunto de dados ficará:

1,50; 1,54; 1,55; 1,60; 1,65; 1,67; 1,69; 1,75; 1,78

Como o conjunto é formado por 9 elementos, que é um número ímpar, então a mediana será igual ao 5º elemento, ou seja:

M_d = 1,65 m

2) Calcule o valor da mediana da seguinte amostra de dados: (32, 27, 15, 44, 15, 32).

Solução

Primeiro precisamos colocar os dados em ordem, assim temos:

15, 15, 27, 32, 32, 44

Como essa amostra é formada por 6 elementos, que é um número par, a mediana será igual a média dos elementos centrais.

1.ª consulta | 0,90 m
2.ª consulta | 1,30 m
3.ª consulta | 0,85 m
4.ª consulta | 1,05 m
5.ª consulta | 0,98 m
6.ª consulta | 1,35 m
7.ª consulta | 1,12 m
8.ª consulta | 0,99 m
9.ª consulta | 1,15 m

Determine a mediana das alturas das crianças nas consultas.

2)(Enem 2021) O gerente de uma concessionária apresentou a seguinte tabela em uma reunião de dirigentes. Sabe-se que ao final da reunião, a fim de elaborar metas e planos para o próximo ano, o administrador avaliará as vendas com base na mediana do número de automóveis vendidos no período de janeiro a dezembro.

Qual foi a mediana dos dados apresentados?

a) 40,0

b) 42,5

c) 45,0

d) 47,5

e) 50,0


3) Em um cinema a pipoca é vendida em embalagens de três tamanhos. Após a entrada de uma sessão, a gerência fez um levantamento para saber qual das embalagens foi mais vendida.

Em ordem de vendas, esses foram os valores anotados pelo caixa da pipoca.

20,30

17,50

17,50

17,50

20,30

20,30

11,40

11,40

17,50

17,50

11,40

20,30

Com base na moda dos valores, determine que tamanho de pipoca foi a mais vendida.

4) A seguinte tabela mostra os preços nas corridas de moto taxi para diferentes bairros da cidade do Rio de Janeiro, e a quantidade de viagens registradas em um dia, para cada bairro.

BairrosPreçoNúmero de viagensMéier | R$ 20,00 | 3
Madureira | R$ 30,00 | 2
Botafogo | R$ 35,00 | 3
Copacabana | R$ 40,00 | 2

Calcule a média de preços das viagens neste dia.

Entre as alternativas a seguir, assinale aquela que for correta.

a) O aluno 1 conseguiu a melhor média, pois possui as melhores notas iniciais.

b) O aluno 2 conseguiu a melhor média, pois manteve as notas próximas umas das outras.

c) O aluno 1 venceu a aposta, pois sua média foi 7,0.

d) O aluno 2 venceu a aposta, pois sua média foi 7,0.

e) Nenhum aluno venceu a aposta, pois suas médias foram iguais.

Esta lista é composta por exercícios resolvidos sobre estatística, com questões de vestibulares e questões inéditas com os principais conceitos acerca do tema.

1)      (Enem PPL 2022 — reaplicação) Até a Copa de 2010, apenas sete jogadores haviam conseguido o feito de marcar 8 ou mais gols em uma mesma edição da Copa do Mundo. O quadro apresenta os anos das edições da Copa nas quais ocorreram esses feitos, quais foram os jogadores que os realizaram e os respectivos números de gols marcados por cada um deles.

Para facilitar a análise sobre a quantidade de gols marcados por esses artilheiros nas referidas copas, foi calculada a mediana da distribuição dos números de gols marcados por eles nas sete copas especificadas no quadro.

A mediana dessa distribuição é igual a

A) 9,0.

B) 9,7.

C) 10,0.

D) 10,2.

E) 13,0.

2)      (Enem ) Em uma corrida de regularidade, a equipe campeã é aquela em que o tempo dos participantes mais se aproxima do tempo fornecido pelos organizadores em cada etapa. Um campeonato foi organizado em 5 etapas, e o tempo médio de prova indicado pelos organizadores foi de 45 minutos por prova. No quadro, estão representados os dados estatísticos das 5 equipes mais bem classificadas.

Dados estatísticos das equipes mais bem classificadas (em minutos):

Utilizando os dados estatísticos do quadro, a campeã foi a equipe

A) I.

B) II.

C) III.

D) IV.

E) V.

3(Enem) Uma pessoa, ao fazer uma pesquisa com alguns alunos de um curso, coletou as idades dos entrevistados e organizou esses dados em um gráfico.

Qual a moda das idades, em anos, dos entrevistados?

A) 9

B) 12

C) 13

D) 15

E) 21
  

4)Buscando fazer uma renda extra, Fabrício decidiu fazer bolo no pote em sua casa para vender na escola. Antes de começar a produzir, ele resolveu fazer uma pesquisa de campo para entender qual seriam os sabores preferidos dos seus clientes. Considerando que os potenciais clientes eram os 400 estudantes matriculados e os 22 funcionários da escola, Fabrício foi até lá para realizar a sua pesquisa e obteve a seguinte resposta:

 | Sabor                        | Quantidade
 | Brigadeiro                 | 35
 | Prestígio                    | 40
 | Ninho com morango | 65
 | Paçoca                       | 48
 | Abacaxi com ninho    | 22

Analisando as respostas coletadas, podemos afirmar que:

A) a pesquisa foi realizada com uma amostra de 422 pessoas.

B) a pesquisa foi realizada com uma população de 210 pessoas.

C) a pesquisa foi realizada com uma amostra de 210 pessoas.

D) a pesquisa foi realizada com uma população de 400 pessoas.

5) Dados os números 10, 6, 4, 3 e 9, cinco números de uma lista de 8 números inteiros, o menor valor possível para a mediana desse conjunto é:

A) 3,0

B) 3,5

C) 4,0

D) 6,0

E) 10,0

Um desvio padrão grande significa que os valores amostrais estão bem distribuídos em torno da média, enquanto que um desvio padrão pequeno indica que eles estão condensados próximos da média. Em poucas palavras, quanto menor o desvio padrão, mais homogênea é a amostra.

A Média Ponderada (MP) considera os valores que devem influenciar mais no valor final, os que têm maior peso. Para isso cada elementos do conjunto, é multiplicado por um valor atribuído.

Fórmula da Média Ponderada

Onde:
 são os elementos do conjunto que queremos determinar a média;

são os pesos.

Cada elemento é multiplicado por seu peso e o resultado das multiplicações é somado. Este resultado é dividido pela soma dos pesos.

Os valores dos pesos são atribuídos por quem está calculando a média, conforme a importância ou necessidade das informações.

Como queremos determinar a média do preço, estes são os elementos e, as quantidades de blocos são os pesos.

Portanto, a média ponderada do preço foi de R$ 11,80.

Exemplo 2

Um grupo de pessoas com idades diferentes foram entrevistadas e, suas idades anotadas na tabela. Determine a Média Aritmética Ponderada das idades.

Como queremos a média das idades, estes são os elementos e, a quantidade de pessoas são os pesos.

A Média Ponderada das idades é de, aproximadamente, 36,3 anos.

1)A classificação final de um aluno, num determinado curso é dado pela média ponderada das notas obtidas nas provas de Matemática, Português e Conhecimentos Específicos.

Suponha que as notas de um determinado aluno são as seguintes:

Com base nessas informações, calcule a média ponderada desse aluno e assinale a opção correta.

a) 7.

b) 8.

c) 9.

d) 10.

2) (Enem - ) A avaliação de rendimento de alunos de um curso universitário baseia-se na média ponderada das notas obtidas nas disciplinas pelos respectivos números de créditos, como mostra o quadro:

Quanto melhor a avaliação de um aluno em determinado período letivo, maior sua prioridade na escolha de disciplinas para o período seguinte.

Determinado aluno sabe que se obtiver avaliação “Bom” ou “Excelente” conseguirá matrícula nas disciplinas que deseja. Ele já realizou as provas de 4 das 5 disciplinas em que está matriculado, mas ainda não realizou a prova da disciplina I, conforme o quadro.

Para que atinja seu objetivo, a nota mínima que ele deve conseguir na disciplina I é

a) 7,00.

b) 7,38.

c) 7,50.

d) 8,25.

e) 9,00.

3) 

Um professor de matemática aplica três provas em seu curso (P1 , P2 , P3 ), cada uma valendo de 0 a 10 pontos. A nota final do aluno é a média aritmética ponderada das três provas, sendo que o peso da prova Pn é igual a n2 . Para ser aprovado na matéria, o aluno tem que ter nota final maior ou igual a 5,4. De acordo com esse critério, um aluno será aprovado nessa disciplina, independentemente das notas tiradas nas duas primeiras provas, se tirar na P3 , no mínimo, nota

a) 7,6.

b) 7,9.

c) 8,2.

d) 8,4.

e) 8,6.

1.ª consulta | 0,90 m
2.ª consulta | 1,30 m
3.ª consulta | 0,85 m
4.ª consulta | 1,05 m
5.ª consulta | 0,98 m
6.ª consulta | 1,35 m
7.ª consulta | 1,12 m
8.ª consulta | 0,99 m
9.ª consulta | 1,15 m

Determine a mediana das alturas das crianças nas consultas.

2)(Enem 2021) O gerente de uma concessionária apresentou a seguinte tabela em uma reunião de dirigentes. Sabe-se que ao final da reunião, a fim de elaborar metas e planos para o próximo ano, o administrador avaliará as vendas com base na mediana do número de automóveis vendidos no período de janeiro a dezembro.

Tabela:
Janeiro     25
Fevereiro 20
Março      30
Abril         35
Maio        40
Junho      50
Julho       50
Agosto   35
Setembro 60
Outubro  55
Novembro 70
Dezembro 65

Qual foi a mediana dos dados apresentados?

a) 40,0

b) 42,5

c) 45,0

d) 47,5

e) 50,0


3) Em um cinema a pipoca é vendida em embalagens de três tamanhos. Após a entrada de uma sessão, a gerência fez um levantamento para saber qual das embalagens foi mais vendida.

Em ordem de vendas, esses foram os valores anotados pelo caixa da pipoca.

20,30

17,50

17,50

17,50

20,30

20,30

11,40

11,40

17,50

17,50

11,40

20,30

Com base na moda dos valores, determine que tamanho de pipoca foi a mais vendida.

Qual é a mediana das notas? Considerando que a média escolar é 7,0, a mediana está acima ou abaixo dessa média?

Encontre a mediana do total de medalhas conquistadas pelo Brasil nesses anos.

Utilizaremos como exemplo a figura abaixo, que apresenta a altura de quatro construções (em metros), para calcular o desvio padrão e a variância.

1º passo: calcular a média aritmética dos valores.

Para calcular a média deve-se somar todas as alturas e dividir pelo número de dados apresentados.

Observe na imagem a seguir o quanto cada altura se distancia da média.

Agora, substituímos a média () e os valores do conjunto (X_n) na fórmula de variância.

3º passo: calcular o desvio padrão

Para encontrar o desvio padrão basta tirar 
a raiz quadrada do valor da variância.

DP = Raiz quadrada 35300 m2
DP = 188m

a) 148 – 170 – 155 – 131
b) 86 – 92 – 91 – 95 – 90 – 89 – 94

Qual candidato obteve a melhor média de votos e o menor desvio padrão nas 5 urnas?

Candidato Urna 1Urna 2Urna 3Urna 4Urna 5 Urna
A | 17 | 18 | 21 | 13 | 20
B | 22 | 12 | 19 | 23 | 11

a) Candidato A

b) Candidato B

c) Os dois candidatos

AlunoVolta 1Volta 2Volta 3Volta 4Volta 5
João | 210 m | 198 m | 215 m | 210 m | 196 m
Carlos | 189 m | 190 m | 203 m | 197 m | 192 m
Pedro | 204 m | 201 m | 199 m | 188 m | 193 m

Qual dos alunos obteve o resultado mais regular?

a) João

b) Carlos

c) Pedro

d) Os três tiveram o mesmo resultado.

Em um fenômeno aleatório, as possibilidades de ocorrência de um evento são igualmente prováveis.

Sendo assim, podemos encontrar a probabilidade de ocorrer um determinado resultado através da divisão entre o número de eventos favoráveis e o número total de resultados possíveis:

Sendo:

P(A): probabilidade da ocorrência de um evento A.
n(A): número de casos favoráveis ou, que nos interessam (evento A).
n(Ω): número total de casos possíveis.

O resultado calculado também é conhecido como probabilidade teórica.

Para expressar a probabilidade na forma de porcentagem, basta multiplicar o resultado por 100.

Exemplo 1

Se lançarmos um dado perfeito, qual a probabilidade de sair um número menor que 3?

Resolução

Sendo o dado perfeito, todas as 6 faces têm a mesma chance de caírem voltadas para cima. Vamos então, aplicar a fórmula da probabilidade.

Para isso, devemos considerar que temos 6 casos possíveis (1, 2, 3, 4, 5, 6) e que o evento "sair um número menor que 3" tem 2 possibilidades, ou seja, sair o número 1 ou 2. Assim, temos:

Para responder na forma de uma porcentagem, basta multiplicar por 100.

Portanto, a probabilidade de sair um número menor que 3 é de 33%.

Exemplo 2

O baralho de cartas é formado por 52 cartas divididas em quatro naipes (copas, paus, ouros e espadas) sendo 13 de cada naipe. Dessa forma, se retirar uma carta ao acaso, qual a probabilidade de sair uma carta do naipe de paus?

Solução

Ao retirar uma carta ao acaso, não podemos prever qual será esta carta. Sendo assim, esse é um experimento aleatório.

Neste caso, temos 13 cartas de paus que representam o número de casos favoráveis.

Substituindo esses valores na fórmula da probabilidade, temos:

Ou, multiplicando o resultado por 100:

a) 19/24

b) 17/30

c) 14/27

d) 18/29

7) Para que a soma seja 6 precisamos das seguintes face : (1,5);(2,4); (3,3); (4,2); (5,1) e considerando que o espaço amostral do lançamento do lançamento de dois dados é :