Limite di funzione by Francesca Benvenuti

1 Limiti di funzione

fra97benve — 2017-02-02 19:56:23 UTC

L’operazione di limite si può estendere dalle successioni alle funzioni. Serve a studiare il comportamento di una funzione quando la variabile indipendente si avvicina ad un valore fissato oppure diventa molto grande o molto piccola. Consideriamo, come caso tipico, un intervallo I, un punto c ∈ I e una funzione f a valori reali definita in I o al pi`u in I \ {c}.
I può essere: limitato o illimitato; chiuso o aperto.
c può essere interno ad I oppure uno dei suoi estremi (eventualmente +∞ o −∞).

2 Definizione

fra97benve — 2017-02-02 19:59:48 UTC

Sia f come sopra. Si dice che il limite per x tendente a c di f(x) è l e si scrive limx→c f(x) = l se per ogni successione {xn} tale che xn ∈ I \ {c} e tale che lim n→+∞ xn = c si ha lim n→+∞ f(xn) = l. Se l = 0 f si dice infinitesima per x → c. Se l = ±∞ f si dice infinita per x → c. Se esiste limx→c f(x) = l, esso `e unico.
Nella scrittura limx→c f(x) = l può accadere che l ∈ R (limite finito);
l = ±∞ (limite infinito); c ∈ R (limite al finito); c = ±∞ (limite all’infinito); Allora abbiamo da esaminare quattro situazioni:
1 limite finito all’infinito;
2 limite infinito all’infinito;
3 limite infinito al finito;
4 limite finito al finito.

3 Limite finito all'infinito

fra97benve — 2017-02-02 20:05:12 UTC

Es: lim x→−∞ e x = 0. Interpretazione geometrica: f ha un asintoto orizzontale di equazione y = l (l ∈ R) per x → +∞ se lim x→+∞ f(x) =l. f ha un asintoto orizzontale di equazione y = l (l ∈ R) per x → −∞ se lim x→−∞ f(x) = l.

4 Limite infinito all'infinito

fra97benve — 2017-02-02 20:09:06 UTC

Es: lim x→+∞ log1/2 x = −∞. In questo caso può esistere una retta obliqua a cui il grafico di f si avvicina quando x diventa sempre più grande (o pi`u piccolo).

5 Limite infinito al finito

fra97benve — 2017-02-02 20:11:10 UTC

Es: lim x→0 1 x 2 = +∞. Talvolta il comportamento di una funzione `e diverso se x si avvicina a c ∈ R da destra (x > c) invece che da sinistra (x < c). Esempio: f(x) = 1 x . Per descrivere questo tipo di situazione si introducono i concetti di limite destro e limite sinistro.

6 Limite desto +

fra97benve — 2017-02-02 20:13:11 UTC

c ∈ R, l ∈ R ∗ , f : I \ {c} → R.
Si dice che il limite destro di f(x) per x tendente a c è l e si scrive lim x→c+ f(x) = l se per ogni successione {xn} tale che xn ∈ I \ {c}, xn > c definitivamente e tale che lim n→+∞ xn = c si ha lim n→+∞ f(xn) = l.

7 Limite sinistro

fra97benve — 2017-02-02 20:14:45 UTC

c ∈ R, l ∈ R ∗ , f : I \ {c} → R. Si dice che il limite sinistro di f(x) per x tendente a c `e l e si scrive lim x→c− f(x) = l se per ogni successione {xn} tale che xn ∈ I \ {c}, xn < c definitivamente e tale che lim n→+∞ xn = c si ha lim n→+∞ f(xn) = l.

8 Relazione tra limite, limite destro e limite sinistro

fra97benve — 2017-02-02 20:17:37 UTC

Sono equivalenti:
esiste limx→c f(x) = l; esistono lim x→c− f(x) = l = lim x→c+ f(x).

9Asintoti verticali

fra97benve — 2017-02-02 20:18:55 UTC

Interpretazione geometrica del limite infinito al finito: f ha un asintoto verticale di equazione x = c se lim x→c+ f(x) = −∞ o lim x→c+ f(x) = +∞ oppure se lim x→c− f(x) = −∞ o limx→c− f(x) = +∞

10 funzioni continue

fra97benve — 2017-02-02 20:21:43 UTC

f : I → R, I ⊂ R intervallo. Sia c ∈ I. Si dice che f `e continua in c se esiste limx→c f(x) = f(c). Si dice che f `e continua in I se `e continua in ciascun punto di I. Una funzione non continua in un un punto c si dice discontinua in c

11 discontinuità

fra97benve — 2017-02-02 20:23:29 UTC

Sia f : I → R, I ⊂ R intervallo. Sia c ∈ I. Si dice che f ha una discontinuit`a a salto in c se esistono lim x→c− f(x) = l1 ∈ R lim x→c+ f(x) = l2 ∈ R l1 6= l2. In tal caso il salto di f in c `e dato da l2 − l1. Si dice che f `e continua da destra in c se esiste lim x→c+ f(x) = f(c). Si dice che f `e continua da sinistra in c se esiste lim x→c− f(x) = f(c).

12 Casi in cui i limiti sono +∞ o −∞

fra97benve — 2017-02-02 20:26:37 UTC

a + ∞ = +∞
a − ∞ = −∞
+∞ + ∞ = +∞
−∞ − ∞ = −∞
a · ∞ = ∞, (a diverso 0)
a/ 0 = ∞, (a diverso 0)
a /∞ = 0
Il segno di ∞ va determinato con la usuale regola dei segni.
Forme di indecisione:
+∞ − ∞; 0 · ∞; ∞/∞; 0/0 .

13 Lim funzioni elementari

fra97benve — 2017-02-02 20:31:30 UTC

Funzioni potenza: limx→x0 x α = x α 0 ∀α ∈ R, x0 ∈ (0, +∞);

lim x→0+ x α = 0 se α > 0 o +∞ se α < 0;
lim x→+∞ x α = +∞ se α >0 o 0 se α < 0
Funzione esponenziale: limx→x0 a x = a x0 ∀x0 ∈ R, a ∈ (0, +∞)
lim x→−∞ a x = ( +∞ se 0 < a < 1 o 0 se a > 1
lim x→+∞ a x = 0 se 0 < a < 1 o +∞ se a > 1.
Funzione logaritmo:
limx→x0 loga x = loga x0 ∀x0 ∈ (0, +∞), a ∈ (0, +∞), a diverso da 1
lim x→0 loga x = +∞ se 0 < a < 1 o −∞ se a > 1
lim x→+∞ loga x = −∞ se 0 < a < 1 o +∞ se a > 1
Funzioni trigonometriche:
limx→x0 sen x = sen x0 ∀x0 ∈ R
limx→x0 cos x = cos x0 ∀x0 ∈ R
limx→x0 tg x = tg x0 ∀x0 ∈ R, x0 6 diverso da π/2 + kπ, k ∈ Z