Um grupo é um conjunto G ≠ ∅ no qual está definida uma operação ∗ que satisfaz às seguintes propriedades: 

·         ∗ é associativa, ou seja, x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z, ∀x, y, z ∈ G

·         ∗ admite elemento neutro, ou seja, ∃e ∈ G tal que x ∗ e = e ∗ x = x, ∀x ∈ G

·         Para cada elemento x ∈ G, ∃x−1 ∈ G tal que x ∗ x−1 = x−1 ∗ x = e

Além disso, se ∗ for comutativa, então o grupo G e´ denominado comutativo ou abeliano.

 

Consideremos o conjunto   com a operação ⊕ definida por  x ⊕ y =  x + y − 5 para quaisquer x, y ∈ . Mostre que G = (  , ⊕) e´ um grupo abeliano.

 

Soluc¸a˜o:   Inicialmente, vamos mostrar que a operac¸a˜o ⊕ e´  associativa, tem ele- mento neutro e todo elemento de G tem inverso.

·         Para quaisquer x, y, z ∈ G, temos:

x ⊕ (y ⊕ z) = x ⊕ (y + z − 5) = x + (y + z − 5) − 5 = x + y + z − 10

(x ⊕ y) ⊕ z = (x + y − 5) ⊕ z = (x + y − 5) + z − 5 = x + y + z − 10 Logo, x ⊕ (y ⊕ z) = (x ⊕ y) ⊕ z.

·         Suponhamos que ⊕ tenha elemento neutro e.  Então e ⊕ x= x para todo  x ∈  o que implica em e + x − 5 = x de onde obtemos e = 5. (Podemos agora comprovar que e = 5 e´ realmente o elemento neutro dessa operação:  e ⊕ x= 5 ⊕ x = 5 + x − 5 = x e x ⊕ e = x + 5 − 5 = x para todo x ∈ .)

·         Dado  x  ∈   ,  vamos determinar  y  =  x⁻¹.  Por definição,  temos  x ⊕ y =  e,  ou seja,  x + y − 5  =  5.   Daí,  obtemos  que  y  =  −x + 10,  isto  e´,  x⁻¹  =  −x + 10. (Comprovando: x ⊕ x⁻¹ = x ⊕ (−x + 10) = x + (−x + 10) − 5 = 5 = e   e x⁻¹ ⊕ x = (−x + 10) ⊕ x = (−x + 10) + x − 5 = 5 = 5. Logo, (−x + 10) e´ realmente o inverso de x com relação a` operação ⊕.)

Agora, vamos mostrar que ⊕ e´ comutativa:

·         x ⊕ y = x + y − 5 = y + x − 5 = y ⊕ x para quaisquer x, y ∈ G.

Fica mostrado assim que (G, ⊕) e´ um grupo abeliano.