Tema 02 - TEORÍA DE CONJUNTOS by Jorge M. Pacheco S.

1.1 Conceptos básicos de conjuntos.

ociosaturno — 2019-02-17 02:54:26 UTC

Definición: el conjunto se define como una colección de objetos que tiene cierta característica en particular. De igual manera, podemos definir a un conjunto como una lista definida de objetos.

Notación:

Para referirnos a un conjunto designaremos letras mayúsculas A, B, C, X, Y; y para referirnos a los elementos que componen un conjunto utilizaremos letras minúsculas a, b, c, x, y. para indicar que < p pertenece a A> utilizaremos la notación pϵA.
€: Símbolo de pertenencia

Definición de conjuntos:

Por comprensión.

Consiste en dar la prioridad o regla que caracteriza o deben cumplir los elementos del conjunto.

Ejemplo:
A= {x: tal que x es un vocal}

Una letra usualmente “x” se utiliza para designar un elemento tipo del conjunto, los “dos puntos” se leen como “tal que”.

Otro ejemplo:

B= {x: x es un entero y x>0}

B= {x: x es un entero, x>0}

Puede utilizarse o

Por extensión.

Consiste en dar una lista de todos los elementos del conjunto, separando por comas y encerrados entre llaves.

Ejemplo:
A= {a, e, i, o, u}

Cuando no es posible dar la lista de todos los elementos, con frecuencia se especifica el conjunto escribiendo.

A= {1, 2,3……}

Donde se supone que se sobreentiende lo que queremos decir, que los elementos del conjunto son los números enteros positivos. Igualdad de conjuntos.

Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si ambos tienen los mismos elementos.

Ejemplo:

F= {1, 2, 2, 1,6/3}

F= {2,1}

E=F

Observe que un conjunto no depende de la forma en que se muestran sus elementos. Un conjunto sigue siendo el mismo si se reordenan o repiten sus elementos.

Otro ejemplo:

G= {x: Primeros números naturales }

H= {1,2}

G=H

1.2 Simbología

ociosaturno — 2019-02-17 02:58:15 UTC

| {} | Las llaves (abrir y cerrar) se usan para referirse a un conjunto y delimitar sus elementos. Por ejemplo el conjunto vacío {}, el conjunto de los primeros 5 números naturales {1,2,3,4,5}

| ∈ | Para indicar si un objeto pertenece al conjunto.

| ∉ | Para indicar si un objeto no pertenece al conjunto.

| | | Se llama pipe o barra vertical, se usa en lugar de las palabras “tal que”.

| n (C) | Cardinalidad del conjunto C. La letra C, puede variar: A, B, es importante recordar que las mayúsculas se usan para representar conjuntos.

| U | Conjunto Universo.

| Φ | Conjunto Vacío. También se pueden usar las llaves {}, el símbolo para el vacío.

| ⊆ | “Subconjunto de”, también como “es un conjunto de”, es decir, el conjunto se considera elemento de otro conjunto.

| ⊂ | Subconjunto propio de, también como “es un conjunto propio de”, es decir, el conjunto se considera elemento de otro conjunto

| ∩ | Intersección de conjuntos.

| ∪ | Unión de Conjuntos.

| ‘ | (A’ ) Complemento del conjunto A. También se usa la línea arriba

| … | Los elementos del conjunto, continúan.

| ∼ | No (negación). También se usa.

| ∧ | Y, conjunción.

| ∨ | O, disyunción.

| ⇔ | Si y sólo si.

| | Entonces. Si “a” entonces “b”
Ejemplo:

2.1 Representación gráfica Diagrama de Venn

ociosaturno — 2019-02-17 03:19:16 UTC

Un Diagrama de Venn, llamado así en honor a su creador, John Venn; es una ilustración usada en la teoría de conjuntos.

Estos diagramas son usados para mostrar gráficamente la agrupación de cosas o elementos en conjuntos, representando cada conjunto mediante un círculo o un óvalo. La posición en el plano de dichos círculos muestra la relación entre los conjuntos.

Venn fue el primero en formalizar su uso del mismo ofreciendo un mecanismo de generalización para los mismos.

Por ejemplo, si los círculos de los conjuntos A y B se solapan, se muestra un área común a ambos conjuntos que contiene todos los elementos contenidos a la vez en A y en B. Si el círculo del conjunto A aparece dentro del círculo de otro B, es que todos los elementos de A también están contenidos en B.

2.2 Diagrama de dos conjuntos

ociosaturno — 2019-02-17 03:22:43 UTC

El diagrama de Venn representado se puede describir como la relación entre el conjunto A y el conjunto B.

El área combinada de ambos conjuntos recibe el nombre de unión de los conjuntos A y B.

Ejemplo:

Supóngase que: El conjunto A (el círculo anaranjado) representa a todas las criaturas vivas con solo dos piernas.

El conjunto B (el círculo azul) contiene a todas las criaturas que pueden volar.

El área donde ambos círculos se superponen (que recibe el nombre de intersección entre A y B, o intersección A con B) contendría por tanto todas las criaturas que, al mismo tiempo, pueden volar y tienen sólo dos piernas motrices.

3.1 Relaciones entre conjuntos y elementos

ociosaturno — 2019-02-17 18:30:04 UTC

Para entender las relaciones entre los conjuntos, debes comprender primero como se relacionan estos con los elementos.

Relación de pertenencia

Para comenzar, debes entender la relación entre los conjuntos y los elementos que lo conforman. Cuando un objeto es uno de los elementos de un conjunto decimos que pertenece al conjunto.

Es posible representar gráficamente la relación de pertenencia por medio de diagramas de Venn dibujando el elemento dentro de un circulo que representa el conjunto.

Se usa el símbolo que se muestra en la parte izquierda de la siguiente figura, como el símbolo de la pertenencia. Si queremos representar que cierto objeto no pertenece a determinado conjunto, usaremos el mismo símbolo atravesado por una línea, como se muestra en la figura de abajo a la derecha.

ociosaturno — 2019-02-17 18:34:54 UTC

En el ejemplo siguiente se puede ver el conjunto unitario , el cual está conformado por el elemento . Los símbolos del lado derecho representan de forma escrita lo mismo que el diagrama de Venn.

ociosaturno — 2019-02-17 18:39:13 UTC

La expresión 1 ∈ E se lee como: “1 pertenece a E” o “1 está en E”. Se puede apreciar también que "a no está en el conjunto E" , la expresión a ∉ E debe leerse como “a no pertenece a E” o “a no está en E”.

Mira el siguiente ejemplo, en la imagen se muestra el conjunto D conformado por los elementos c, d, y a. Para decir que estos elementos pertenecen al conjunto D se usara la expresión siguiente: “ c, d, a ∈ D”, que se lee: “, y pertenecen a D”. ¿Ves que los elementos 1,2 y 3 no están en el conjunto D? Para representar esta situación se puede usar la expresión: “1,2,3 ∈ D”, que se lee como “, 1,2 y 3 no pertenecen a D”.