Учителю математики посвящаем... by

Бенуа Мандельброт: отец фрактальной геометрии

katrojkova — 2023-10-22 11:09:39 UTC

Само слово «фрактал» появилось благодаря гениальному ученому Бенуа Мандельброту (Benoît B. Mandelbrot).

Он сам придумал этот термин в семидесятых годах прошлого века, позаимствовав слово fractus из латыни, где оно буквально означает «ломанный» или «дробленный». Что же это такое? Сегодня под словом «фрактал» чаще всего принято подразумевать графическое изображение структуры, которая в более крупном масштабе подобна сама себе.

Математическая база для появления теории фракталов была заложена за много лет до рождения Бенуа Мандельброта, однако развиться она смогла лишь с появлением вычислительных устройств. В начале своей научной деятельности Бенуа работал в исследовательском центре компании IBM. В то время сотрудники центра трудились над передачей данных на расстояние. В ходе исследований ученые столкнулись с проблемой больших потерь, возникающих из-за шумовых помех. Перед Бенуа стояла сложная и очень важная задача — понять, как предсказать возникновение шумовых помех в электронных схемах, когда статистический метод оказывается неэффективным.

Просматривая результаты измерений шума, Мандельброт обратил внимание на одну странную закономерность — графики шумов в разном масштабе выглядели одинаково. Идентичная картина наблюдалась независимо от того, был ли это график шумов за один день, неделю или час. Стоило изменить масштаб графика, и картина каждый раз повторялась.

При жизни Бенуа Мандельброт неоднократно говорил, что он не занимается формулами, а просто играет с картинками. Этот человек мыслил очень образно, а любую алгебраическую задачу переводил в область геометрии, где, по его словам, правильный ответ всегда очевиден.

Неудивительно, что именно человек с таким богатым пространственным воображением стал отцом фрактальной геометрии. Ведь осознание сути фракталов приходит именно тогда, когда начинаешь изучать рисунки и вдумываться в смысл странных узоров-завихрений.

Фрактальный рисунок не имеет идентичных элементов, но обладает подобностью в любом масштабе. Построить такое изображение с высокой степенью детализации вручную ранее было просто невозможно, на это требовалось огромное количество вычислений. Например, французский математик Пьер Жозе Луи Фату (Pierre Joseph Louis Fatou) описал это множество более чем за семьдесят лет до открытия Бенуа Мандельбротом. Если же говорить про принципы самоподобия, то о них упоминалось еще в трудах Лейбница и Георга Кантора.

katrojkova — 2023-10-22 11:18:13 UTC

Фрактал (от латинского «fractus» - разбитый, дробленый, сломанный) представляет собой сложную геометрическую фигуру, которая составлена из нескольких бесконечной последовательности частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком, и повторяется при уменьшении масштаба.

Есть и другие определения фракталов.

Фрактал — это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба.

Фрактал — самоподобное множество нецелой размерности.

Гастон Морис Жюлиа - создатель первого рисунка фрактала

katrojkova — 2023-10-22 11:31:55 UTC

Один из первых рисунков фрактала был графической интерпретацией множества Мандельброта, которое родилось благодаря исследованиям Гастона Мориса Жюлиа (Gaston Maurice Julia).

Этот французский математик задался вопросом, как будет выглядеть множество, если построить его на основе простой формулы, проитерированной циклом обратной связи. Если объяснить «на пальцах», это означает, что для конкретного числа мы находим по формуле новое значение, после чего подставляем его снова в формулу и получаем еще одно значение. Результат — большая последовательность чисел.

Чтобы получить полное представление о таком множестве, нужно проделать огромное количество вычислений — сотни, тысячи, миллионы. Вручную это сделать было просто нереально. Но когда в распоряжении математиков появились мощные вычислительные устройства, они смогли по-новому взглянуть на формулы и выражения, которые давно вызывали интерес. Мандельброт был первым, кто использовал компьютер для просчета классического фрактала. Обработав последовательность, состоящую из большого количества значений, Бенуа перенес результаты на график. Вот что он получил.

https://3dnews.ru/assets/external/illustrations/2013/08/27/754657/6.png

Впоследствии это изображение было раскрашено (например, один из способов окрашивания цветом — по числу итераций) и стало одним из самых популярных изображений, какие только были созданы человеком.

https://3dnews.ru/assets/external/illustrations/2013/08/27/754657/7.jpg

Как гласит древнее изречение, приписываемое Гераклиту Эфесскому, «В одну и ту же реку нельзя войти дважды». Оно как нельзя лучше подходит для трактования геометрии фракталов. Как бы детально мы ни рассматривали фрактальное изображение, мы все время будем видеть схожий рисунок.

Желающие посмотреть, как будет выглядеть изображение пространства Мандельброта при многократном увеличении, могут сделать это, загрузив анимационный GIF.

Георг Кантор, Джузеппе Пеано

katrojkova — 2023-10-22 11:45:34 UTC

Первые идеи фрактальной геометрии возникли в XIX веке. Георг Кантор с помощью простой рекурсивной (повторяющейся) процедуры превратил линию в набор несвязанных точек. Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками.

Джузеппе Пеано нарисовал особый вид линии. На первом шаге он брал прямую линию и заменял ее на 9 отрезков длинной в 3 раза меньшей, чем длинна исходной линии. Далее он делал то же самое с каждым отрезком получившейся линии. И так до бесконечности. Ее уникальность в том, что она заполняет всю плоскость. Доказано, что для каждой точки на плоскости можно найти точку, принадлежащую линии Пеано. Кривая Пеано и пыль Кантора выходили за рамки обычных геометрических объектов. Они не имели четкой размерности. Пыль Кантора строилась вроде бы на основании одномерной прямой, но состояла из точек. А кривая Пеано строилась на основании одномерной линии, а в результате получалась плоскость.

Типы фракталов

katrojkova — 2023-10-22 12:02:18 UTC

ТИПЫ ФРАКТАЛОВ

Фракталы делятся на группы. Самые большие группы это:

v геометрические фракталы

v алгебраические фракталы

v системы итерируемых функций

v стохастические фракталы

Геометрические фракталы

Именно с них и начиналась история фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется «затравка» - набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к ней применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем (по крайней мере, в уме) бесконечное количество преобразований - получим геометрический фрактал. Классические примеры геометрических фракталов - Снежинка Коха, Лист, Драконова ломаная, Треугольник Серпинского.

Алгебраические фракталы

Вторая большая группа фракталов - алгебраические. Свое название они получили за то, что их строят, на основе алгебраических формул иногда весьма простых. Методов получения алгебраических фракталов несколько. Один из методов - многократный расчет функции. Расчет продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится - на экран выводится точка.

katrojkova — 2023-10-22 12:23:39 UTC

В математике множество Мандельброта — это фрактал, определённый как множество точек c на комплексной плоскости, для которых итеративная последовательность

не уходит в бесконечность.
Z₀=0
Z_n+1=Z_n²+c

Вацлав Серпинский

katrojkova — 2023-10-22 12:30:48 UTC

Фрактальная геометрия

В 1917 году Серпинский впервые упомянул о треугольнике Серпинского в работе «Сведения о множествах, дополняющих кривую Пеано». В 1920 году он опубликовал работу «Множество Кантора и аналогичные ему множества», в которой впервые упоминается о ковре Серпинского. Он активно исследовал фракталы в последующие годы и создал множество фрактальных конструкций, таких как квадратный фрактал и множество «серпинского».

Треугольник Серпинского

katrojkova — 2023-10-22 12:46:54 UTC

Треугольник Серпинского — это фрактал, который получается из треугольника путем рекурсивного деления его на меньшие треугольники. На каждом шаге берется каждый треугольник и заменяется на еще три равносторонних треугольника меньшего размера. Этот процесс повторяется до бесконечности для каждого из меньших треугольников, которые остались.

Геометрический способ построения треугольника:

постройте равносторонний треугольник;
разделите его на четыре равносторонних треугольника и удалите тот, который находится в центре;
повторяйте те же действия с остальными треугольниками до бесконечности.

Результатом повторного выполнения одного и того же действия будет фрактал. Он будет выглядеть одинаково даже при увеличении изображения. Это узор, который повторяется внутри самого себя.

Давайте рассмотрим математические свойства этого фрактала. Если площадь первого треугольника — A, то, разделив треугольник на четыре части и сохранив только три из них, получим оставшуюся площадь:

(3/4)A

если повторять те же действия снова и снова, каждый раз разделяя треугольники на четыре части и сохраняя только три из них, по n-му шагу мы получим следующую формулу.

(3/4)ⁿA

Это означает, что каждый шаг имеет меньшую площадь, чем предыдущий, и стремится к нулю, если продолжать до бесконечности.

Несмотря на это, все, что находится внутри этого треугольника, может поместиться на кончике пальца. На 62 шаге площадь заштрихованной области составит всего 3,45 х 10^-9 см^2. Это слишком мало для того, чтобы увидеть ее невооруженным глазом или отобразить на экране компьютера.

Ковёр Серпинского

katrojkova — 2023-10-22 12:51:14 UTC

Ковёр Серпинского (квадрат Серпинского) - предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1916 г. фрактал, один из двумерных аналогов канторовского множества исключенных средних третей. Сам термин ковер (gasket) принадлежит Мандельброту.

Строится ковер Серпинского следующим образом.
Вначале берётся квадрат со стороной равной единице, затем каждая сторона квадрата делится на три равные части, а весь квадрат, соответственно, на девять одинаковых квадратиков. Из полученной фигуры вырезается центральный квадрат. Затем такой же процедуре подвергается каждый из 8 оставшихся квадратиков и т. д.

Губка Менгера

katrojkova — 2023-10-22 12:59:17 UTC

Губка Менгера — геометрический фрактал, один из трёхмерных аналогов ковра Серпинского.

Построение

Куб C₀с ребром 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из куба C₀ удаляются центральный куб и все прилежащие к нему по двумерным граням кубы этого подразделения. Получается множество C₁, состоящее из 20 оставшихся замкнутых кубов «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из кубов первого ранга, получим множество C₂, состоящее из 400 кубов второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность, пересечение членов которой есть губка Менгера.

C₀⊃C₁⊃⋯⊃C_n⊃…

Множество Жюлиа

katrojkova — 2023-10-22 13:03:10 UTC

Множество Жюлиа - это множество таких точек комплексной плоскости, что при многократном применении такого отображения, они не покидают некоторой заведомо установленной области.

Построение Множества Жюлиа
Теорема которая нам понадобится звучит следующим образом:

пусть дан некоторый квадратичный полином вида f(z) = z² + c
обозначим
тогда для некоторой точки и n > 0 выполняется следующие условие
т.е. если модуль n-ой итерации больше R, то итерации функции f расходятся, это эквивалентно тому, что точка z₀ входит в бассейн аттрактора к бесконечности, откуда следует, что z₀ не является точкой заполненного множества Жюлиа

Помимо самого алгоритма, из этой теоремы можно сделать вывод, что все множество Жюлиа находится внутри шара радиуса R с центром в начале координат.
PS: примерно тут любители дизайна и золотых сечений, мистики и оккультики, заметят, что при f(z) = z² + 1, порог R равен золотому сечению о_0

Алгоритм

Выбираем с для задания полинома f(z) = z² + с
Вычисляем R для заданного полинома f(z) = z² + с
Выбираем параметр maxIter для обозначения максимальной итерации, очевидно чем он выше, тем лучше точность, тем медленнее алгоритм
Генерируем массив цветов, всего maxIter штук, скажем от менее яркого к более яркому, мы будем обозначать цветом, то на сколько далеко точка расположена от множества Жюлиа
Для каждой точки вычисляем является ли она частью заполненного множества Жюлиа или нет, а так же номер итерации на которой порог был превышен
если |z| > R то используем первый цвет, далее используем тот свет, на каком номере итерации был превышен порог

Кривая Коха

katrojkova — 2023-10-22 13:06:22 UTC

Кривая Коха – это фрактальная кривая, которая получается из простой линии путем последовательного замены каждого ее отрезка равносторонним треугольником.

Процесс её построения выглядит следующим образом:
Берем единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. в результате образуется ломанная, состоящая из четырех звеньев длины 1/3
На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев.
И так далее.....

Канторово множество

katrojkova — 2023-10-22 13:23:41 UTC

Канторово множество — один из простейших фракталов, подмножество единичного отрезка вещественной прямой, которое является классическим примером дисконтинуума в математическом анализе

Из единичного отрезка C₀=[0,1] удалим среднюю треть, то есть интервал (1/3,2/3). Оставшееся точечное множество обозначим через C₁. Множество C₁=[0,1/3]∪[2/3,1] состоит из двух отрезков; удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть, и оставшееся множество обозначим через C₂. Повторив эту процедуру опять, удаляя средние трети у всех четырёх отрезков, получаем C₃. Дальше таким же образом получаем последовательность замкнутых множеств C₀⊃C₁⊃C₂⊃….
Пересечение называется канторов
i=0

C= ⋂ Ci
∞

Наше Творчество

katrojkova — 2023-10-22 13:50:33 UTC

Наше творчество

katrojkova — 2023-10-22 13:51:17 UTC

Наше творчество

katrojkova — 2023-10-22 13:51:52 UTC

Наше творчество

katrojkova — 2023-10-22 13:53:04 UTC

Наше творчество

katrojkova — 2023-10-22 13:53:50 UTC

katrojkova — 2023-10-22 13:55:00 UTC

Применение

katrojkova — 2023-10-22 13:57:40 UTC

Фракталы широко применяются:

1) в компьютерной графике (для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и т. п.);

2) в физике (при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п.);

3) в нефтехимии (при моделировании пористых материалов);

4) в биологии (для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов);

5) как визуальные и оптические заставки к всевозможным программным плеерам (например, Win amp, Windows Media Player и т. д.);

6) в качестве графических заставок к операционным системам («трубопровод», «вечный двигатель» и т. п.);

7) в качестве графических заставок в телевизионных рекламных роликах;

8) при создании графических оболочек компьютерных игр и т. д.;

"Если был бы я учителем математики..."

katrojkova — 2023-10-23 17:43:42 UTC

katrojkova — 2023-10-23 17:48:40 UTC

Артём Морозов: "Если бы я был учителем, то точно был бы учителем математики. Я бы заинтересовывал учеников, был душой компании, грамотно и весело учил своему предмету. К каждому ученику находил свой подход. Следил за успеваемостью каждого ученика."

katrojkova — 2023-10-23 17:50:46 UTC

katrojkova — 2023-10-23 17:52:19 UTC

Вика Лапшина: "Если бы я была учителем математики, я бы обратила максимальное внимание на исследования и научные теории, делая уроки увлекательными и необычными. Кроме того, я бы старалась научить своих учеников критическому мышлению и рефлексии. Я бы организовывала дискуссионные группы, где можно было бы обсуждать интересные математические задачи."

katrojkova — 2023-10-23 17:53:47 UTC

katrojkova — 2023-10-23 17:55:54 UTC

katrojkova — 2023-10-23 18:01:09 UTC

Катя Рожкова: "Если бы я была учителем математики, я бы стремилась создать в классе такую атмосферу, где каждый ученик чувствовал бы себя уверенно и увлеченным в моём предмете. Я бы применяла разные методы обучения, чтобы позволить каждому ученику найти свой подход к пониманию математики. Помогала каждому моему ученику разобраться в теме которая ему не понятна, давала бы дополнительные задания."

katrojkova — 2023-10-23 18:03:42 UTC

katrojkova — 2023-10-23 18:15:31 UTC

Рита Волвянкина: "Если бы я была учителем ,я брала бы пример с учителя математики, которая учит меня. Я была бы доброй, справедливой, а, главное, хорошо знала бы свой предмет.

Кто плохо разбирается в какой - то теме?

Если бы мой ученик подошёл ко мне с вопросом по предмету, я бы ответила на него с радостью. Так как для меня, если бы я была учителем, было бы важно, чтобы ученики были заинтересованы, если они расстраивались из-за своих ошибок, я бы их поддерживала и не давала отступать."

katrojkova — 2023-10-23 18:31:15 UTC

История нашей школы в лицах учителей математики

katrojkova — 2023-10-23 18:31:40 UTC

katrojkova — 2023-10-23 18:34:34 UTC

katrojkova — 2023-10-23 18:35:36 UTC

katrojkova — 2023-10-23 18:36:40 UTC

katrojkova — 2023-10-23 18:41:26 UTC

katrojkova — 2023-10-23 18:49:10 UTC

Артем Кузнецов: "Если бы я был учителем математики, я бы придумал особенную схему ведения уроков, чтобы абсолютно всем было интересно и понятно. В игровой и соревновательной форме дети решали бы задачи и примеры. Думаю, что игровой азарт положительно повлияет на интерес и результат изучения математики."

katrojkova — 2023-10-23 18:50:46 UTC

Рубрика по выбору участников конкурса "Фрактал"

katrojkova — 2023-10-23 18:52:42 UTC