La trigonometria studia i metodi per determinare la misura degli elementi di un triangolo (lati e angoli) e trova applicazione in astronomia, meccanica, navigazione e topografia. È preceduta dalla goniometria, che si occupa della misura degli angoli e delle relative funzioni.

Sistema sessagesimale

L'unità di misura è il grado sessagesimale (°), pari alla 360ª parte dell'angolo giro.

Per semplificare i calcoli, si utilizza il radiante, definito come l'angolo al centro che insiste su un arco di lunghezza uguale al raggio della circonferenza.

• L'angolo giro misura 2π rad

• L'angolo piatto misura π rad

• L'angolo retto misura π/2 rad

Cos a°= xb

Sin a°= yb

sinusoide y=sin⁡(x): è una curva che oscilla tra -1 e 1, iniziando da a x=0x . ha un periodo di 2π.

cosinusoide y=cos⁡(x): anche questa curva oscilla tra -1 e 1. anch'essa ha un periodo di 2π e differisce dalla sinusoide di una fase di π/2​, cioè è spostata orizzontalmente rispetto alla sinusoide.

Tan a°= sin a°/ cos a°

Sec a°= 1/cos a°

• una funzione è cosecante di a° quando associa ad a° reciproco del valore di sin a°

Csc a°=1/sin a°

cot a°= cos a°/sin a°

1. Seno:

   • sin(a) = cateto opposto / ipotenusa

2. Coseno:

   • cos(a) = cateto adiacente / ipotenusa

3. Tangente:

   • tan(a) = seno(a) / coseno(a)

4. Cotangente:

   • cot(a) = 1 / tan(a)

   • cot(a) = cos(a) / sin(a)

5. Secante:

   • sec(a) = 1 / cos(a)

6. Cosecante:

   • csc(a) = 1 / sin(a)

Altre formule di angoli particolari:

Per a° = π/6 (30°):

• sin(π/6) = 1/2

• cos(π/6) = √3/2

• tan(π/6) = √3/3

• cot(π/6) = √3

• sec(π/6) = 2√3/3

• csc(π/6) = 2

Per a° = π/4 (45°):

• sin(π/4) = √2/2

• cos(π/4) = √2/2

• tan(π/4) = 1

• cot(π/4) = 1

• sec(π/4) = √2

• csc(π/4) = √2

Per a° = π/3 (60°):

• sin(π/3) = √3/2

• cos(π/3) = 1/2

• tan(π/3) = √3

• cot(π/3) = √3/3

• sec(π/3) = 2

• csc(π/3) = 2√3/3

gli angoli associati sono angoli che, pur essendo diversi, hanno lo stesso valore per le funzioni goniometriche.

esempi:

• Angolo complementare: Se a+b = π/2 (90°), le funzioni goniometriche sono associate come segue:

  • sin(π/2 - a) = cos(a)

  • cos(π/2 - a) = sin(a)

  • tan(π/2 - a) = cot(a)

  • cot(π/2 - a) = tan(a)

  • sec(π/2 - a) = csc(a)

  • csc(π/2 - a) = sec(a)

• Angolo supplementare: Se a+b =π (180°), le funzioni goniometriche sono associate come segue:

  • sin(π - a) = sin(a)

  • cos(π - a) = -cos(a)

  • tan(π - a) = -tan(a)

  • cot(π - a) = -cot(a)

  • sec(π - a) = -sec(a)

  • csc(π - a) = csc(a)

• Formule di duplicazione:

  • sin(2a) = 2 sin(a) cos(a)

  • cos(2a) = cos²(a) - sin²(a) oppure cos(2a) =( 2 cos²(a) - 1 ) oppure cos(2a) = ( 1 - 2 sin²(a) )

  • tan(2a) = (2 tan(a)) / (1 - tan²(a))

• Formule di bisezione:

  • cos(a/2) = ± √(1 + cos(a)) / 2

  • sin(a/2) = ± √(1 - cos(a)) / 2

  • tan(a/2) = ± √(1 - cos(a)) / (1 + cos(a))

• Formule di addizione:

  • sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)

  • cos(a + b) = cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b)

  • tan(a + b) = (tan(a) + tan(b)) / (1 - tan(a) tan(b))

• Formule di sottrazione:

  • sin(a - b) = sin(a) cos(b) - cos(a) sin(b)

  • cos(a - b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)

  • tan(a - b) = (tan(a) - tan(b)) / (1 + tan(a) tan(b))

Formule di Prostaferesi:

1. Somma di seni:
   sin⁡(p)+sin⁡(q)=2sin⁡(p+q/2)cos⁡(p−q/2)

2. Differenza di seni:
   sin⁡(p)−sin⁡(q)=2cos⁡(p+q/2)sin⁡(p−q/2)

3. Somma di coseni:
   cos⁡(p)+cos⁡(q)=2cos⁡(p+q/2)cos⁡(p−q/2)

4. Differenza di coseni:
   cos⁡(p)−cos⁡(q)=−2sin⁡(p+q/2)sin⁡(p−q/2)

Formule di Werner:

1. Prodotto di seno e coseno:
   sin⁡(a)cos⁡(b)=1/2[sin⁡(a+b)+sin⁡(a−b)]

2. Prodotto di coseni:
   cos⁡(a)cos⁡(b)=1/2[cos⁡(a+b)+cos⁡(a−b)]

3. Prodotto di seni:
   sin⁡(a)sin⁡(b)=1/2[cos⁡(a−b)−cos⁡(a+b)]