Es la hipérbola una curva cónica, abierta, plana y de dos ramas definida como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a otros dos fijos, denominados focos, es constante, e igual a la magnitud del eje mayor.

Conociendo los vértices y los focos.

Graduamos el eje mayor arbitrariamente a partir de uno de los focos y en sentido opuesto al centro obteniendo 1, 2, 3… Trazamos circunferencias con centro en F1 y radios 1A, 2A, 3A…. y circunferencias de centro F2 y radios 1B, 2B, 3B…, los puntos de intersección de circunferencia correspondientes, son puntos de la hipérbola. Operamos de igual modo para la rama izquierda de la curva que debe ser simétrica de la derecha.

Conociendo los vértices y un punto de la curva.

Conocido los vértices y el punto P de la hipérbola, trazamos un paralelogramo rectángulo que pase por P y A, dividiendo sus lados BP y AP en idéntico número arbitrario de partes iguales. Unimos con el vértice opuesto C las divisiones efectuadas en el segmento BP y con el vértice A las del segmento AP, las intersecciones correspondientes determinan puntos de la curva. Trazamos el resto de la rama derecha de igual modo a partir de un punto P’ simétrico del anterior respecto al eje mayor y la rama izquierda de la hipérbola por simetría.

Como en la elipse, el punto simétrico (M) de uno de los focos (F1), respecto de la recta tangente, está sobre la intersección del radio vector que une el punto T de tangencia dado con el otro foco (F2) y la circunferencia focal trazada con centro en dicho foco (F2, no dibujada). La recta tangente es por tanto bisectriz de los radios vectores que concurren en T o mediatriz del segmento MF1.

Desde un punto exterior.

Como en la elipse, trazamos una circunferencia auxiliar de centro en P dado, que pase por uno de los focos (F1), que cortará a la circunferencia focal (radio AB) trazada con centro en el otro foco (F2) en X e Y, que como sabemos son los puntos simétricos del foco F1 respecto de las rectas tangentes. Trazamos las mediatrices de los segmentos XF1 e YF1 y obtenemos las rectas tangentes buscadas. Los puntos de tangencia se encuentran en la intersección de la curva y la prolongación de los segmentos XF2 e YF2.

Paralelas a una dirección dada

Trazamos la circunferencia focal de centro en uno de los focos (F2) y por el otro foco una recta perpendicular a la dirección r dada que cortará a la circunferencia en los puntos X e Y, simétricos de F1 si tomamos como ejes de simetría las rectas tangentes solución. Las mediatrices de los segmentos XF1 e YF1 son las tangentes buscadas. Los puntos de tangencia se encuentran intersección de la hipérbola y las prolongaciones de los segmentos XF2 e YF2.