Corpos Redondos by Samantha Eufrásio Rocha

Definição

samanthaeufrasiorocha07 — 2021-02-26 20:49:15 UTC

Chamamos de corpos redondos os sólidos geométricos que possuem suas superfícies curvas. Eles também são conhecidos como sólidos de revolução, por serem construídos a partir da rotação de uma figura plana.

Quais são os corpos redondos?

samanthaeufrasiorocha07 — 2021-02-26 20:53:31 UTC

> Cone

samanthaeufrasiorocha07 — 2021-02-26 20:55:26 UTC

O cone é um sólido de revolução caracterizado por ter um círculo como base. Esse sólido geométrico é construído a partir da rotação de um triângulo. Um cone pode ser reto, quando a sua altura 🤬 no centro da circunferência que forma a base, ou oblíquo, quando a sua altura não coincide com o centro da base.

> Cilindro

samanthaeufrasiorocha07 — 2021-02-26 20:58:52 UTC

O cilindro é caracterizado por ter duas bases circulares de mesmo raio. Assim como o cone, o cilindro pode ser classificado como reto ou oblíquo.

> Esfera

samanthaeufrasiorocha07 — 2021-02-26 21:24:05 UTC

Diferente dos sólidos anteriores, a esfera não possui uma base circular. Ela é construída a partir da rotação de uma semicircunferência.

< Área do cone >

samanthaeufrasiorocha07 — 2021-02-26 21:29:29 UTC

Vamos iniciar pela área da base:

A_b= πr²

Para calcular a área lateral, precisamos conhecer ou encontrar o valor da geratriz g do cone. Ela pode ser calculada pelo teorema de Pitágoras:

g² = r²+ h²

Já a área lateral que é um setor circular é calculada por:

A_l=π·r·g

Então, a área total do cone é a soma de A_b + A_l:

A_T= r(πr + g)

< Área do cilindro >

samanthaeufrasiorocha07 — 2021-02-26 21:31:18 UTC

Para calcular a área total, é necessário calcular a área da base e a área lateral.

A_T = 2A_b + A_L

Como a base é um círculo, então:

A_b= πr²

Já a área lateral é um retângulo que possui base igual ao comprimento do círculo e altura h, logo a área lateral é:

A_L= 2πrh

Substituindo na área total, podemos calcular essa área pela fórmula:

A_T= 2πr (r + h)

< Área da Esfera >

samanthaeufrasiorocha07 — 2021-02-26 21:36:57 UTC

A área total da esfera pode ser calculada por:

A_T= 4πr²

< Volume do Cone >

samanthaeufrasiorocha07 — 2021-02-26 21:39:51 UTC

O volume do cone é a terça parte da multiplicação entre a área da base e a altura:

V = 1/3 π.r². h

< Volume do Cilindro >

samanthaeufrasiorocha07 — 2021-02-26 21:43:50 UTC

Para calcular o volume do cilindro, precisamos conhecer o valor da sua altura e o comprimento do raio de sua base:

V = πr²·h

< Volume da Esfera >

samanthaeufrasiorocha07 — 2021-02-26 21:46:06 UTC

Para calcular o volume da esfera é necessário conhecer somente o raio:

V_e = 4.п.r³/3

O que é o cilindro?

samanthaeufrasiorocha07 — 2021-02-26 21:51:15 UTC

Um cilindro é uma figura geométrica espacial, ou seja, só pode ser definida no espaço tridimensional. Sua definição formal é a seguinte: dados dois planos paralelos α e β, um círculo C no plano α e uma reta r secante a esses planos, um cilindro é o conjunto de segmentos paralelos a r que possuem como extremidade o círculo C no plano α e algum ponto do plano β.

Classificações dos Cilindros

samanthaeufrasiorocha07 — 2021-02-26 21:53:33 UTC

Um cilindro pode ser classificado como reto ou oblíquo, dependendo de seu formato. Para definir essa classificação, imagine o segmento paralelo à reta r, da definição do cilindro, cujas extremidades são o centro do círculo C e o plano β. Esse segmento de reta é chamado de eixo do cilindro.

Quando o eixo do cilindro é perpendicular às suas bases, dizemos que o cilindro é reto.

Quando o eixo do cilindro não é perpendicular às suas bases, dizemos que o cilindro é oblíquo.

A imagem a seguir mostra um exemplo de cilindro reto e outro de cilindro oblíquo.

Secções do Cilindro

samanthaeufrasiorocha07 — 2021-02-26 21:56:27 UTC

Elas podem ser transversais ou meridianas. Vamos aprender mais sobre elas?

Uma secção transversal é um a intersecção entre um sólido geométrico e um plano paralelo a uma de suas bases.
Uma secção meridiana é a intersecção de um cilindro com um plano que contém seu eixo.

Secção Transversal

samanthaeufrasiorocha07 — 2021-02-26 22:00:02 UTC

A figura formada pela secção transversal de um cilindro sempre será um círculo congruente a uma de suas bases.

Observe a secção transversal do cilindro na figura a seguir.

Secção Meridiana

samanthaeufrasiorocha07 — 2021-02-26 22:01:27 UTC

Na imagem a seguir, é possível verificar que a secção meridiana do cilindro é igual a um paralelogramo.
Se o cilindro for reto, esse paralelogramo será retangular.

Um cilindro cuja seção meridiana é um quadrado é chamado de cilindro equilátero.

Geratriz de um cone

samanthaeufrasiorocha07 — 2021-02-26 22:04:48 UTC

Além dos elementos já citados, existe outro elemento importante no cone, que é a geratriz. Chamamos de geratriz do cone qualquer segmento que parte do vértice e vai de encontro à circunferência da base.

A geratriz é o segmento de reta AV na imagem. Note que ele é a hipotenusa do triângulo AVC, logo podemos estabelecer uma relação pitagórica entre o raio, a altura e a geratriz.

g² = r² + h²

Observe a imagem abaixo:
Onde:
g → geratriz do cone

r→ raio da base

h→ altura

O que é um cone?

samanthaeufrasiorocha07 — 2021-02-26 22:05:05 UTC

O cone é um sólido geométrico conhecido como sólido de revolução. Bastante presente no nosso cotidiano, ele é conhecido como sólido de revolução por ser construído a partir da rotação de um triângulo.

A base dele é sempre uma circunferência. Além da base em si, outro elemento importante é o raio r da circunferência, conhecido como raio da base do cone. Além disso, há o vértice do cone (V) e a altura (h), que, por definição, é o segmento que sai do vértice e é perpendicular à base, ou seja, forma um ângulo de 90º.

Classificações dos Cones

samanthaeufrasiorocha07 — 2021-02-26 22:11:29 UTC

De acordo com as suas características, podemos classificar o cone em dois casos: reto ou oblíquo.
Como caso particular de cone reto, há os cones equiláteros.

Cones Retos

samanthaeufrasiorocha07 — 2021-02-26 22:13:18 UTC

O cone é conhecido como reto quando seu eixo coincide com a altura do cone, ou seja, o segmento que liga o vértice ao centro da circunferência da base é perpendicular ao plano que contém a base do cone.

Cones Equiláteros

samanthaeufrasiorocha07 — 2021-02-26 22:14:14 UTC

Um cone reto é conhecido como equilátero quando o seu diâmetro é igual à sua geratriz.
Note que o triângulo abaixo AVB é um triângulo equilátero, ou seja, todos os lados são congruentes, o que significa que a sua geratriz é congruente ao diâmetro da base e que, por consequência, o comprimento da geratriz é igual a duas vezes o comprimento do raio da base.

Cones Oblíquos

samanthaeufrasiorocha07 — 2021-02-26 22:16:23 UTC

Um cone é conhecido como oblíquo quando o segmento que liga o vértice com o centro da sua base não coincide com a altura do cone.
Quando o vértice não está alinhado com o centro da base, o segmento que liga o vértice ao centro da circunferência não é mais a altura como no cone reto.

Note que o eixo do cone, na imagem abaixo , não é perpendicular à base. Nesse caso suas geratrizes não são todas congruentes, logo não é possível encontrar o seu comprimento pelo teorema de Pitágoras, não existindo fórmulas específicas para a geratriz nem para o volume e a sua área total.

O que é uma esfera?

samanthaeufrasiorocha07 — 2021-02-26 22:18:44 UTC

A esfera é um sólido geométrico estudado na geometria espacial, sendo classificada como um corpo redondo. Essa forma é bastante comum no dia a dia, como podemos vê-la na bola de futebol, nas pérolas, no globo terrestre, em alguns frutos, entre outros exemplos.

Considerando O a origem e r o raio, a esfera é o conjunto de pontos que estão a uma distância igual ou menor que a distância entre o raio e a origem. Além do raio, a esfera possui elementos importantes, como os polos, o equador, o meridiano e os paralelos. Podemos também dividir a esfera em partes como o cunho e o fuso esférico. A área total e o volume de uma esfera são calculados por fórmulas específicas que dependem apenas do valor do raio dessa figura.

Elementos de uma Esfera

samanthaeufrasiorocha07 — 2021-02-28 00:04:37 UTC

Conhecemos como esfera todos os pontos no espaço que estão a uma distância igual ou menor que o raio da sua origem, por isso dois elementos importantes dessa figura são o raio r e a origem O. A esfera é classificada como um corpo redondo por conta do formato da sua superfície.

Outros Elementos > parte 2

samanthaeufrasiorocha07 — 2021-02-28 00:15:16 UTC

Outros elementos importantes para a esfera são os polos, equador, paralelos e meridiano.

Polos: representados pelos pontos P₁e P₂, são os pontos de encontro da esfera com o eixo central.

Outros Elementos > parte 4

samanthaeufrasiorocha07 — 2021-02-28 00:18:24 UTC

Equador: a maior circunferência que conseguimos ao interceptar a esfera por um plano na horizontal. O equador divide a esfera em duas partes iguais conhecidas como hemisférios.

Outros Elementos > parte 3

samanthaeufrasiorocha07 — 2021-02-28 00:19:48 UTC

Paralelos: qualquer circunferência que conseguimos ao interceptar a esfera por um plano na horizontal. O equador, que mostramos anteriormente, é um caso particular de paralelos e o maior deles.

Outros Elementos > Parte 1

samanthaeufrasiorocha07 — 2021-02-28 00:22:24 UTC

Meridiano: a diferença entre meridiano e paralelos é que o primeiro é obtido na vertical, mas também é uma circunferência contida na esfera e obtida pela interceptação de um plano.

Partes de uma Esfera - 1

samanthaeufrasiorocha07 — 2021-02-28 00:25:54 UTC

Podemos dividir a esfera em partes, conhecidas como fuso, quando consideramos somente a sua superfície, ou como cunha, quando consideramos o sólido.

Fuso esférico

O fuso é a superfície formada pela rotação de uma semicircunferência quando essa rotação (θ) é menor que 360º, ou seja, quando 0 < θ < 360º.
Como o fuso é parte da superfície de uma esfera, calculamos a sua área, que pode ser deduzida por regra de três, gerando a seguinte fórmula:

Af = p.r².a /90 (a em graus)
ou
Af = 2.r².a (a em radianos)

Partes de uma Esfera - 2

samanthaeufrasiorocha07 — 2021-02-28 00:26:42 UTC

Cunha esférica

Chamamos de cunha esférica o sólido geométrico formado pela rotação de um semicírculo, quando essa rotação é menor que 360º, ou seja, 0 < θ < 360º.

Como a cunha é um sólido geométrico, calculamos o seu volume, o que, assim como a área do fuso, pode ser feito por meio de uma regra de três, que gera a fórmula:

Vc = p. r³. a°/ 270°

Agora que você já está sabendo sobre os corpos redondos, aqui a baixo vai umas listas de exercício!!! \o/

samanthaeufrasiorocha07 — 2021-02-28 00:33:59 UTC