يمكن تعريف كثيرات الحدود على أنّها عبارة عن تعبيرات رياضية تتكون من متغيرات ومعاملات، بالإضافة إلى عمليات الجمع والطرح والضرب والأسس غير السالبة، وهي تعد جزءاً هاماً من علم الرياضيات والجبر؛ فهي تستخدم في كل المجالات الرياضية تقريباً للتعبير عن الأعداد كنتيجة للعمليات الرياضية، ومن الأمثلة على كثيرات الحدود: 3س2-2س+5، -7. س+3، ومن التعابير التي لا تعد من كثيرات الحدود: 6س-2+2س-3، جتا(س2-1)، وهي التعابير التي تضم عمليات أخرى غير الجمع والطرح والضرب والأسس غير السالبة.

لها دوراً كبيراً في الحياة إذ أنها تستخدم في كثير من المجالات التطبيقية وذلك بغرض تسهيل العملية الحسابية وتجنب الأخطاء والنواتج غير الدقيقة. فهي كثيراً ما تستخدم في الجوانب الاقتصادية وذلك لمعرفة حساب المتغيرات التي تطرأ على العملية الاقتصادية مثل حساب المنصرفات والتكاليف الشهرية أو السنوية وكذلك لمعرفة مدى الخسارة أو النجاح للعملية وبعض المتغيرات الأخرى. لذا فإن الكثير من مصانع وشركات الإنتاج تفضل نظام المصفوفات لرصد وحساب سلعها الإنتاجية خاصة تلك المصانع التي تتألف من مجموعات ووحدات لإنتاج سلع مختلفة في آن واحد، ولأن المصفوفة تتكون من صفوف وأعمدة لذا فهي الطريقة المثلى لتمثيل الوحدات أو المجموعات الإنتاجية وسلعها. وكذلك نجد دور المصفوفات في الجوانب والتطبيقات الفيزيائية مثل تمثيل الدارات الكهربائية لمعرفة وحساب التيار الساري أو معرفة الفولتية أو أي متغير فيزيائي آخر من الدائرة وكذلك تستخدم في التطبيقات الميكانيكية لحساب القوى، كما أن المصفوفات تدخل في عمليات التشفير وإرسال الرسائل المشفرة لحفظ البيانات، وفي كثير من المجالات التطبيقية الأخرى.

الذي قدم العمليات الجبرية التي تنظم إيجاد حلول للمعادلات الخطية والتربيعية. والكلمة (الجبر) مأخوذة من اللغة العربية، ومعنى علم الجبر في قاموس المعاني: (فَرْعٌ مِنَ الرِّيَاضِيَّاتِ يَقُومُ عَلَى إِحْلاَلِ الرُّمُوزِ مَحَلَّ الأَعْدَادِ المجْهُولَةِ أَوِ الْمَعْلُومَةِ ).[1]

علم الجبر

Algebra

غير معرف

إيفاريست جالويس-محمد بن موسى الخوارزمي

نظرية الزمر-نظرية المجال-نظرية الحلقة

العالم المسلم الخوارزمي مؤسس علم الجبر

ويشكل علم الجبر أحد الفروع الثلاثة الأساسية في الرياضيات إضافة إلى الهندسة الرياضية والتحليل الرياضي ونظرية الأعداد والتباديل والتوافيق. ويهتم هذا العلم بدراسة البنى الجبرية والتماثلات بينها، والعلاقات والكميات.

والجبر هو مفهوم أوسع وأشمل من الحساب أو الجبر الابتدائي. فهو لا يتعامل مع الأرقام فحسب، بل يصوغ التعاملات مع الرموز والمتغيرات والفئات كذلك. ويصوغ الجبر البدهيات والعلاقات التي بواسطتها يمكن تمثيل أي ظاهرة في الكون. ولذا يعتبر من الأساسيات المنظمة لطرق البرهان.

مبرهنة في الجبر الخطي تعطي حلا لمجموعة معادلات خطية أو ما يدعى بجملة المعادلات الخطية بدلالة المحددات .[1][2][3] دعيت نسبة إلى العالم غابرييل كرامر (1704-1752)م .

حسابيا تعتبر هذه الطريقة غير فعالة جدا لذلك فهي نادرة الاستخدام سيما في التطبيقات التي تتضمن العديد من المعادلات . ولذلك يستخدم عادة في حل جمل المعادلات المتعددة طريقة غاوس.

قاعدة كرامر

تعطي القاعدة معادلة خطية .

قاعدة كرامر طريقة مناسبة لحل معادلة تحتوي على متغير واحد فقط بدون الحاجه لحل كل المعادلة .

في العادة لا تدرس قاعدة كرامر بهذه الطريقة , لكن من المفترض أن تكون هذه هي النقطة المهمه .

مثال لقاعدة كرامر :

المطلوب ايجاد قيمة متغير واحد (Z)

2x +   y +   z = 1 

  x –   y + 4z = 0 

  x + 2y – 2z = 3

لإيجاد Z فقط أولا : نوجد المعامل المحدد :

ثم نوجد Dz بإستبدال العمود الثالث بعمود الحل ( 1-0-3) :

ثم بسط المعادلة :

الحل :

z = 2

 فيثاغورس ساموس هو عالم رياضيات يوناني وفيلسوف، ولد في عام 580 ق.م، وتوفي في عام 459 ق.م، واشتهر بنظرية فيثاغورس التي تحمل اسمه، والتي تعدّ من أهم نظريات علم الرياضيات، حيث تعتبر القاعدة الأولية لمعظم النظريات الأخرى، ولا بدّ من الإشارة إلى أنّه ساهم في تطوير الهندسة، ولقب باسم أبي الرياضيات الحديثة.

ليوناردو بيسانو هو بليوناردو فيوناتشي، وهو عالم رياضيات إيطالي، ولد في عام 1170م، وتوفي في 1250م، ويعدّ من علماء الرياضيات الموهبين في العصور الوسطى، حيث نشر نظام الترقيم العربي في أوروبا، واشتهر أيضاً بمتتالية فيوناتشي التي سمّيت باسمه. 

فيلهلم لايبنتز هو عالم رياضيات وفيلسوف ألماني، ولد في عام 1646م، وتوفّي في عام 1716م، كما احتل اسمه مكانة مميّزة في تاريخ الفلسفة والرياضيات، حيث بدأ حياته كمحامٍ، ثم اتجه للفلسفة والرياضيات، واشتهر باختراعه علم التفاضل والتكامل الرياضياتي، كما اخترع عجلة لايبنتز التي استخدمت في المتر الحسابي. 

كارل فريدريش غاوس هو عالم رياضيات وفيزياء ألماني، ولد في عام 1707م، وتوفي في عام 1783م، حيث لقب بأمير الرياضيات، وكانت له العديد من المساهمات، مثل الجبر، ونظرية الأعداد، والإحصاءات، والهندسة التفاضلية، والكهرباء الساكنة، وعلم الفلك.

 ليونارد يولر هو عالم رياضيات وفيزياء سويسري، اشتهر بالرياضيات المعلقة، وله العديد من الاكتشافات المتميزة في حساب التفاضل، والتكامل، ومتناهية الصغر، وعلم المثلثات، كما أن له العديد من المؤلفات التي تبلغ حوالي 80 مؤلفاً.

إقليدس هو عالم رياضيات يوناني، ولد في عام 300 ق.م، وقد اشتهر بكتابه العناصر، ولقب بأبي الهندسة. 

برنارد ريمان هو عالم رياضيات ألماني، ولد في عام 1826م، وتوفي في عام 1866م، وقد اشتهر بالعديد من النظريات التي تتعلق بتابع زيتا ريمان التي تقول أنّ القسم الحقيقي من الجذور العقدية لهذا التابع تساوي نصف دوماً

اسحاق نيوتن هو عالم فيزياء ورياضيات إنجليزي، ولد في عام 1642م، وتوفي في عام 1727م، وقد ساهم في علم البصريات، واشتهر بوضعه ثلاثة قوانين للحركة وقانون الجاذبية، كما قام بصناعة مقراب عكسي عملي.

آلان تورنج هو عالم رياضيات إنجليزي، ولد في عام 1912م، وتوفي في عام 1954م، وهو مؤسّس علم الحاسوب الحديث، وقد اشتهر بالنظرية الرياضيّة للظواهر البيولوجيّة، وبنظريات الذكاء الاصطناعي.

 

رينيه ديكارت هو عالم رياضيات وفيزياء وفيلسوف فرنسي، ولد في عام 1596م، وتوفي في عام 1650م، وقد اشتهر باختراع نظام الإحداثيات الديكارتية والهندسة التحليلية، وهو صاحب مقولة (أنا أفكر، إذن أنا موجود).

للرياضيات دور كبير في تطور أجهزة الحاسوب من خلال النظريات الرياضية التي زادت سرعة ودقة الحواسيب، كما طور علماء الرياضيات واللوجستيون أجهزة الكمبيوتر عن طريق الرياضيات التي قدمت بدورها أموراً مهمة، ساهمت في تطويرعلم الحاسوب إلى حد كبير، فلا مفهوم للحوسبة دون الرياضيات. 

تستخدم الرياضيات في تطوير العلوم وتفسير نظرياتها، وبالأخص العلوم الفيزيائية (الفيزياء، والكيمياء، وعلم الفلك، وغيرها من العلوم). تستخدم الرياضيات بكثرة في علم البيئة المعنيّ بدراسة مدى النمو السكاني، والكثافة السكانية. 

تُستخدم الرياضيات وبالأخص علم الإحصاء في مجال الطب وتصنيع الأدوية، حيث يعمل على تحليل أسباب المرض ومدى فائدة الأدوية والعقاقير الجديدة. تدخل الرياضيات أيضاً في مجال الطيران وأنظمة التحكم. 

تستعمل الرياضيات في العديد من العمليات الحسابية العددية السريعة التي تطوّر المجال الإلكتروني الذي يساعد على فك التشفير، كما تدخل في مجال الأمور الحربية والمقذوفات. 

تساعد الرياضيات على إيجاد الحلول الدقيقة للعديد من المشاكل. تستخدم الرياضيات من قبل الناس بشكل كبير في السلوكيات اليومية، مثل: مراقبة الساعة، ومقادير الأطعمة أثناء الطبخ، وقيادة السيارات.

 تستخدم الرياضيات في العديد من المهن والوظائف التي تعتمد عليها بشكل كبير، فهي مبنية أساساً على الرياضيات، ومن هذه المهن: الهندسة، وعلم وبرمجة الحاسوب، والمحاسبة، والأعمال المصرفية والبنكية.

 تُعد الرياضيات لغة العلم، فهي تمكّن المفكرين والعلماء من اختبار الأفكار عن طريق القيام بالتجارب المناسبة.

تستخدم الرياضيات وبالأخص علم الحساب في التجارة والمعاملات اليومية؛ حيث يحسب مقدار الزيادة والنقصان في الأموال، والربح والخسارة.

تدخل الرياضيات في معرفة وتحديد أوقات الصلاة من خلال حركة الشمس، كما تدخل في علم الفلك، ودراسة حركة القمر، وانقلاب الليل والنهار والكواكب والنجوم.

تستخدم الرياضيات في قياس المساحات والمسافات الكبيرة، مثل قياس المسافة بين مدينتين

أظهر كرامر عبقريته في الرياضيات من سن مبكرة. في سن 18 حصل على الدكتوراه، وفي سن 20 كان الرئيس المشارك للرياضيات في جامعة جنيف.

في عام 1728 اقترح حلا لمفارقة سانت بطرسبرغ التي اقتربت جدا من مفهوم نظرية المرافق المتوقعة بعد عشر سنوات من قبل دانيال برنولي.

نشر عمله الأكثر شهرة في الأربعينيات من عمره. وشمل ذلك أطروحته على المنحنيات الجبرية (1750). أنه يحتوي على أقرب مظاهرة أن منحنى درجة ن-ث يتم تحديدها من قبل ن (ن + 3) / 2 نقطة على ذلك، في الموقف العام. (انظر نظرية كرامر (المنحنيات الجبرية). وقد أدى هذا إلى الفهم الخاطئ الذي هو مفارقة كرامر، فيما يتعلق بعدد تقاطعات اثنين من المنحنيات مقارنة بعدد النقاط التي تحدد منحنى.

قام بتحرير أعمال برنوليس الأكبر، وكتب عن السبب الفيزيائي للشكل الكروي للكواكب وحركة أبسيدس لها (1730)، وعلاج نيوتن للمنحنيات المكعبة (1746).

في عام 1750 نشر قاعدة كرامر، وإعطاء صيغة عامة للحل لأي غير معروف في نظام معادلة خطية وجود حل فريد من حيث المحددات التي ينطوي عليها النظام. هذه القاعدة لا تزال موحدة.

وقد قام بسفر واسع في جميع أنحاء أوروبا في أواخر 1730s، مما أثر بشكل كبير على أعماله في الرياضيات. توفي في 1752 في باغنولز-سور-سيز أثناء سفره في جنوب فرنسا لاستعادة صحته
حشيمه سالم .

مخطط بياني يوضح دالة القيمة المطلقة للاعداد الحقيقية.

و على هذا الأساس يمكن بناء العديد من الدالات يمكن اعتبارها كلها قيما مطلقة إذا استوفت الشروط المذكورة أعلاه. ولعل أشهر هذه القيم المطلقة القيمة المطلقة الإقليدية. وفي كل الأحوال تعبر القيمة المطلقة عن طول أو مسافة بين الكائنات الرياضية

خلفية المصطلح والرمزعدل

بدأ استخدام مصطلح القيمة المطلقة في القرن التاسع عشر، أما الرمز فقد أدخله عالم الرياضيات الألماني كارل ويرستراسعام 1841.

التعريف والخصائصعدل

القيمة المطلقة لعدد حقيقيعدللأي عدد حقيقي a، يرمز للقيمة المطلقة بالرمز | a | وتعرف ب:من التعريف يتضح أن القيمة المطلقة تكون دائما إما موجبة أو مساوية للصفر ولكن لا يمكن أن تكون سالبة.من وجهة نظر الهندسة التحليلية فإن القيمة المطلقة هي المسافةمن الصفر على طول خط الأعداد الحقيقية. وبتعبير آخر، المسافة بين عددين هي القيمة المطلقة للفرق بينهما.القيمة المطلقة لعدد صحيح ما، هي المسافة بين ذلك العدد والصفر. وتكون القيمة المطلقة عددا موجبا لِأن المسافات معدودة والأعداد الموجبة هي أعداد العد. يوضع العدد المراد معرفة قيمته المطلقة بين عارضتين أفقيتين | |. الجدول التالى يوضح القيمة المطلقة للأعداد الصحيحة.

تشير إلى استخدام أجزاء المائة في الحساب. فكثيرا مانرى أعدادا مثل 2%، أو 30% أو 75% حيث الرمز % يعني في المائة. وتقرأ هذه الأعداد 2 في المائة، و30 في المائة و75 في المائة، حيث يعني التعبير في المائة أجزاء المائة. فالنسبة 2% تعنـي جزئين من المائة و30% تعني 30 جـزءًا من المائة و75% تعني 75 جـزءًا من المائة. والنسب المئوية في حقيقة الأمر كسور اعتيادية فالنسبة 2% هي 2/100 و30% هي 30/100 و75% هي 75/100 والنسب المئوية أيضا كسور عشرية، حيث النسبة 2% هي 0,02 و30% هي 0,30 و75% هي 0,75 فإذا أردت حساب 25% من العدد 60 فعليك إيجاد 25/100 أو 0,25 للعدد 60. تستخدم النسبة المئوية بكثرة في الحياة اليومية. فالمصارف تستخدمها لحساب الفوائد على المدخرات والقروض كما أن الضرائب تحسب بطريقة النسب المئوية من الدخل والأسعار ومقادير أخرى. وكثيرا ما يكتب العلماء نتائج ملاحظاتهم وتجاربهم في شكل نسب مئوية. وفي لعبة البيسبول تبنى مواقف الفرق ومعدلات إصابات الكرة تبنى على النسب المئوية. وفي بطاقات الملبوسات تستخدم النسب المئوية كثيرًا لتبيان نسب الخيوط المختلفة في النسيج. ومنذ مئات السنين وإلى يومنا هذا وعالم التجارة يستخدم لفظ "في المائة". وربما كان هذا التقليد قد جاء من نظام ضرائب الرومان التي كانت تحدد بـ 1/20 أو 1/25 أو 1/100 وهكذا. وقد اعتاد التجار في العصور الوسطى على استخدام أجزاء في المائة والنسبة المئوية حتى قبل ظهور نظام الأعداد العشرية.

 | 
 | نبذة تاريخية

في روما القديمة قبل ظهور النظام العشري كانت غالبا ما تجري الحسابات بالكسور و مضاعفاتها علي سبيل المثال تم فرض ضريبة قدرها 1/100 علي السلع التي تباع بالمزادات العلنية المعروفة باسم سينتيسيما ريويوم فينالوم، تلك الحسابات مع هذه الكسور اي ما يعادل حساب النسبة المئوية.

العديد من تلك الحسابات طبقت علي الربح و الخسارة واسعار الفائدة و بحلول القرن السابع عشر كان من المعتاد ان يتم تحديد نسبة اسعار الفائدة من الجزء من المائة.

 | 
 | علامة النسبة المئوية

تم استنباط تلك العلامة من اللغة اللاتينية والتي يطلق عليها اسم per centum [3][4] اي في المائة ثم تطورت وفقا للغة الايطالية ثم ظهرت مؤخرا و تم تحديد شكل نهائي لها و اصبحت دائرتين وتفصلهم خط افقي مائل ٪

في القرن العشرين، اصبح الشكل المختصر لعلامة في المائة % قيد الاستخدام وادرج بشكل رسمي ويكتب به في الوثائق الرسمية مثل اتفاقيات القروض التجارية وكذلك في نصوص الاجراءات البرلمانية البريطانية.

 | 
 | طريقة الحساب

يتم حساب قيمة النسبة المئوية عن طريق عملية ضرب القيمة الرقمية في 100، علي سبيل المثال اوجد النسبة المئوية ل 50 تفاحة من اجمالي 1250 تفاحة، اذا الحل كالتالي يتم استخراج نسبه التفاح في البداية من 50⁄1250 = 0.04 ثم يتم ضرب الناتج في 100 اي ان الناتج النهائي 4%.

 | 
 | نسبة الزيادة والنقصان

نسبة الي الاستخدام المتضارب فإنه غير واضح كيفية نسب النسبة المئوية. فعندما نتحدث عن زيادة 10% او نقصان 10% فانها لن تكون متساوية كمياً ولكنها تتوقف علي حسب القيمة العددية ، علي سبيل المثال اذا كان سعر البند في البداية 200 دولار ويوجد نسبة زيادة 10% فان الزيادة قدرها 20 دولار اي ان السعر الجديد 220 دولار علماً بان نسبة السعر النهائي 110% من السعر الأول الذي كان 100%.

اما في حالة النقص اذا كان هناك نقص بنسبة 60% فان النسبة النهائية 40% اي 100% - 60% = 40% .

 | 
 | استخدامات أخرى

أحيانا ما تكون مصطلح النسبة المئوية غير دقيق أو لديه خطأ بالتسمية حيث أنها تستخدم أحيانا في مسميات أخرى مثل نسبة الهدف FG% وتشير أيضاً لنسبة الفريق الفائز.

تستخدم أيضاً لوصف انحدار الطريق او السكك الحديدية و التي يعبر عنها بالمعادلة الرياضية التالية:

(الارتفاع/ القاعدة)×100.

أخيراً يتم استخدام النسبة المئوية للتعبير عن تكوين خليط بمعلومية الكتلة المئوية والنسبة المئوية للمول في المادة المراد معايرتها.

 ان الحياة جمع وطرح وقسمه،فاجمع احبائك واصحابك حولك،واطرح من نفسك الانانيه والبخل نحوهم،وقسم حبك بالتساوي عليهم،تصبح عندئذ اسعد انسان .

فاللغة الرياضية توفر للقوانين العلمية مزيدا من الدقة، ومن أبرز الأمثلة على دور الرياضيات في علوم المادة: قياس سرعة الرياح، وقياس قوة الزلازل، وقياس الضغط الجوي.

تتصف الرياضيات بصفات معينة تجعلها مختلفة أكثر من المواضيع الأخرى , كما تجعلها بحاجة للمزيد من الجهد والمثابرة من أجل استيعابها

أوّلا : الصفة التجريدية , من المعروف أنّ مادة الرياضيات التي يتمّ التعامل بها من خواص وعلاقات ليست بذي وجود مادي محسوس بخلاف المواد التي تتعامل بها الفيزياء والكيمياء مثلاً , أي أنّ مادة الرياضيات هي الأمور المجرّدة التي تتعامل بالرموز والمعادلات المجرّدة أيضا . أمّا الدلالات - مثل : الرموز الرياضية , الأشكال , التمثيلات البيانية - فإنها تلعب دورا هاما في الرياضيات وتُعد مصدر الاستيعاب في الرياضيات

ثانيا : التسلسل في الرياضيات , أي أنّ كل فقرة تعتمد على ما سبقها من فقرات , أي أنّ فهم واستيعاب أي موضوع فرعي أو فكرة تعتمد بصورة ما على درجة فهم واستيعاب المواضيع التي قبلها . 
الصفة الثالثة : هي أن تعلّم الرياضيات يكون أكثر اعتمادا على المعلّم من أيّ موضوع آخر , حيث أنّه لم يكن هناك الكثير مما يمكن اكتشافه عند عمل التلميذ لوحده . 
الصفة الأخيرة : أنه في بعض مجالات الرياضيات خاصة تلك المتصلة بالتعامل مع الأعداد فإنه من الممكن
للتلميذ الأداء بشكل جيد دون حاجة للفهم الذي يستعمل في التعلّم لاحقا , لذا فإنّ المشاكل غالباً لا تلاحظ