Урок геометрії 8 клас "Прямокутний трикутник" by Юлия Шерстюк

Запишіть тему уроку "Прямокутний трикутник"

jsherstyuk29 — 2025-03-03 18:24:39 UTC

Прямокутний трикутник — трикутник, один із кутів якого — прямий. Прямокутний трикутник займає особливе місце в планіметрії, оскільки для нього існують прості співвідношення між сторонами і кутами.

jsherstyuk29 — 2025-03-03 18:31:58 UTC

Сторони прямокутного трикутника мають власні назви. Дві сторони, що утворюють прямий кут називаються катетами, а третя сторона — гіпотенузою. Традиційно катети позначаються літерами a та b, а гіпотенуза — літерою c. За теоремою Піфагора можна знайти будь-яку сторону прямокутного трикутника, якщо відомі дві інші сторони. За теоремою Піфагора квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

A B 2 = A C 2 + B C 2 {\displaystyle AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}}

Звідси можна знайти інші сторони прямокутного трикутника.

A C 2 = A B 2 − B C 2 {\displaystyle AC^{2}=AB^{2}-BC^{2}}

B C 2 = A B 2 − A C 2 {\displaystyle BC^{2}=AB^{2}-AC^{2}}

Катети є водночас висотами прямокутного трикутника. Тому площа прямокутного трикутника дорівнює:

S = 1 2 a b {\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab}.

Властивості прямокутних трикутників

jsherstyuk29 — 2025-03-03 18:32:31 UTC

Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°.
Якщо у прямокутному трикутнику один з гострих кутів дорівнює 30°, то протилежний цьому куту катет буде дорівнювати половині гіпотенузи.
Якщо катет прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи, то кут, що лежить проти цього катета, дорівнює 30°.
Медіана, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, ділить його на два рівнобедрених трикутники, оскільки медіана дорівнює половині гіпотенузи.
Якщо описати коло навколо прямокутного трикутника, то гіпотенуза буде діаметром кола.

Ознаки рівності прямокутних трикутників

jsherstyuk29 — 2025-03-03 18:33:02 UTC

У прямокутного трикутника є такі ознаки рівності:

За двома катетами.

Якщо катети одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно катетам другого, то такі трикутники рівні.

За катетом і прилеглим гострим кутом.

Якщо катет і прилеглий до нього гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно катету й прилеглому до нього гострому куту другого, то такі трикутники рівні.

За катетом і протилежним гострим кутом.

Якщо катет і протилежний йому гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно катету й протилежно йому гострому куту другого, то такі трикутники рівні.

За гіпотенузою і катетом.

Якщо гіпотенуза і катет одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно гіпотенузі й катету другого, то такі трикутники рівні.

За гіпотенузою і гострим кутом.

Якщо гіпотенуза і гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно гіпотенузі й гострому куту другого, то такі трикутники рівні.

Тригонометрія у прямому трикутнику

jsherstyuk29 — 2025-03-03 18:33:43 UTC

Тригонометричні функції для гострих кутів можна визначити як відношення сторін прямокутного трикутника. Для будь-якого даного кута можна побудувати прямокутний трикутник, що містить такий кут, і зі сторонами: протилежним катетом, прилеглим катетом і гіпотенузою, пов'язаними з цим кутом певним співвідношенням. Ці відносини сторін не залежать від конкретного обраного прямокутного трикутника, а залежать тільки від заданого кута, оскільки всі трикутники, побудовані таким чином, є подібними.

Синусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи.

Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до прилеглого катета.

Котангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до протилежного катета.

Розглянемо у формальних позначених через малюнок вище.

sin ⁡ A = a c , звідси a = c sin ⁡ A , c = a sin ⁡ A .

cos ⁡ A = b c , звідси b = c cos ⁡ A , c = b cos ⁡ A .

tg ⁡ A = a b , звідси a = b tg ⁡ A , b = a tg ⁡ A .

ctg ⁡ A = b a , звідси b = a ctg ⁡ A , a = b ctg ⁡ A .

Звідси можна зробити висновок, що:

Щоб знайти катет, протилежний до гострого кута прямокутного трикутника, потрібно гіпотенузу помножити на синус цього кута, або прилеглий катет помножити на тангенс цього кута.

Щоб знайти катет, прилеглий до гострого кута прямокутного трикутника, потрібно гіпотенузу помножити на косинус цього кута, або протилежний катет помножити на котангенс цього кута.

Щоб знайти гіпотенузу, потрібно катет, прилеглий до гострого кута, поділити на косинус цього кута, або катет, протилежний до гострого кута, поділити на синус цього кута.

Опрацювати відео матеріал

jsherstyuk29 — 2025-03-03 18:36:01 UTC

Вправа на повторення

jsherstyuk29 — 2025-03-03 18:37:09 UTC