Paso 1: Determinar los datos

• Valor Futuro (F): 24,000,000

• Tasa efectiva trimestral: 3.15% → 0.0315

• Plazo: 5 años × 12 meses = 60 meses

Paso 2: Convertir la tasa efectiva trimestral en mensual

Usamos la fórmula de conversión entre tasas efectivas:
i_m = (1 + i_tr)^(1/3) - 1

i_m = (1 + 0.0315)^(1/3) - 1
i_m ≈ 1.010392 - 1
i_m ≈ 0.010392 (1.0392%)

Paso 3: Aplicar la fórmula del valor presente

P = F / (1 + i_m)^n
P = 24,000,000 / (1 + 0.010392)^60
P = 24,000,000 / (1.010392)^60
P = 24,000,000 / 1.819396
P ≈ 13,194,731.43

Resultado final:

El monto que se pidió originalmente en el préstamo fue de aproximadamente $13,194,731.43.

Aquí tienes los datos y sus respectivas conversiones:

1. Tasa Nominal Mensual: 1.65%

• Frecuencia: 1 mes

• Tasa decimal: 0.0165

Equivalencias:

• Bimensual: 19.63665%

• Trimestral: 19.4751%

• Cuatrimestral: 19.3153%

• Semestral: 19.0010%

2. Tasa Nominal Bimensual: 2.85%

• Frecuencia: 2 meses

• Tasa decimal: 0.0285

Equivalencias:

• Bimensual (ya es base): 17.10%

• Trimestral: 16.9776%

• Cuatrimestral: 16.8563%

• Semestral: 16.6173%

3. Tasa Nominal Trimestral: 3.95%

• Frecuencia: 3 meses

• Tasa decimal: 0.0395

Equivalencias:

• Bimensual: 15.9059%

• Trimestral (ya es base): 15.80%

• Cuatrimestral: 15.6951%

• Semestral: 15.4879%

4. Tasa Nominal Semestral: 6.35%

• Frecuencia: 6 meses

• Tasa decimal: 0.0635

Equivalencias:

• Bimensual: 12.9787%

• Trimestral: 12.9083%

• Cuatrimestral: 12.8383%

• Semestral (ya es base): 12.70%

Todas estas tasas nominales equivalentes tienen la misma tasa efectiva anual. Lo que cambia es la manera en que se expresan según la frecuencia de capitalización. Estas conversiones son esenciales para comparar o calcular intereses correctamente cuando se trabaja con distintos plazos o productos financieros.

• Un pago de contado de $20,000,000.

• Pagos mensuales de $1,000,000 durante 2 años y 6 meses, lo que equivale a 30 pagos.

• Un último pago adicional de $1,000,000 un mes después del último pago mensual, es decir, en el mes 31.

• Se aplica una tasa efectiva trimestral del 3.5%, que debe convertirse en una tasa efectiva mensual para hacer los cálculos.

Paso 1: Calcular la tasa efectiva mensual

Tasa efectiva trimestral: 3.5% anual
i_tr = 3.5% / 4 ≈ 0.008637

Tasa efectiva mensual:
i_m = (1 + 0.008637)^(1/3) - 1 ≈ 0.002871 (0.2871%)

Paso 2: Calcular el valor presente de las mensualidades

Se hacen 30 pagos de $1,000,000 mensuales. Se descuenta cada uno con la tasa mensual calculada.

Resultado del valor presente de estas mensualidades: $28,704,960

Paso 3: Calcular el valor presente del último pago

Ese último pago de $1,000,000 ocurre en el mes 31, así que se descuenta al presente con:

VP = 1,000,000 / (1 + 0.002871)^31 ≈ $914,964.20

Paso 4: Sumar todos los valores presentes

• Pago inicial: $20,000,000

• Valor presente de mensualidades: $28,704,960

• Valor presente del último pago: $914,964.20

Valor total de contado = 20,000,000 + 28,704,960 + 914,964.20 = $49,619,924.20

Resultado final:

El valor de contado de la propiedad, considerando el valor presente de todos los pagos, es de aproximadamente $49,619,924.20

• 2.38% bimensual

• 2.57% trimestral

• 3.69% cuatrimestral

• 6.44% semestral

Se desea conocer la equivalencia de estas tasas en cuatro formas diferentes:

1. Tasa efectiva periódica trimestral

2. Tasa efectiva periódica semestral

3. Tasa nominal anticipada trimestral

4. Tasa nominal anticipada semestral

Para hacer las equivalencias, se toma como base la tasa efectiva bimensual del 2.38%, es decir, 0.0238 en forma decimal.

Primero se convierte esta tasa en una tasa efectiva anual (TEA) utilizando la fórmula:
TEA = (1 + i)⁶ - 1, ya que en un año hay 6 bimestres.

Aplicando la fórmula:
TEA = (1 + 0.0238)⁶ - 1 = 0.1499, es decir, 14.99% anual.

Con esta TEA, se procede a calcular las tasas equivalentes solicitadas:

1. Tasa efectiva trimestral:
Para calcular la tasa efectiva equivalente trimestral, se utiliza la raíz cuarta de la TEA:
TET = (1 + 0.1499)^(1/4) - 1 ≈ 0.03591, o lo que es lo mismo, 3.591% efectiva trimestral.

2. Tasa efectiva semestral:
Se hace con la raíz cuadrada de la TEA:
TES = (1 + 0.1499)^(1/2) - 1 ≈ 0.07311, o sea, 7.311% efectiva semestral.

3. Tasa nominal anticipada trimestral:
Esta se calcula a partir de la tasa efectiva trimestral, usando la fórmula de descuento anticipado:
NAT = 4 × [ (1 + TET)^(-1) - 1 ]
NAT = 4 × [ (1 + 0.03591)^(-1) - 1 ] ≈ -0.13867, es decir, -13.867% nominal anticipada trimestral.

4. Tasa nominal anticipada semestral:
Se aplica la misma lógica, pero con la tasa efectiva semestral:
NAS = 2 × [ (1 + TES)^(-1) - 1 ]
NAS = 2 × [ (1 + 0.07311)^(-1) - 1 ] ≈ -0.13626, es decir, -13.626% nominal anticipada semestral.

Conclusión:
A partir de una tasa efectiva bimensual del 2.38%, se obtienen las siguientes equivalencias:

• Tasa efectiva trimestral: 3.591%

• Tasa efectiva semestral: 7.311%

• Tasa nominal anticipada trimestral: -13.867%

• Tasa nominal anticipada semestral: -13.626%

Estas conversiones permiten comparar y operar tasas en diferentes periodos bajo una misma base financiera.

Paso 1: Datos del problema

• Valor presente (VP): $14,000,000

• Valor futuro (VF): $30,000,000

• Tasa efectiva bimensual: 2.25% → 0.0225 en forma decimal

Paso 2: Convertir la tasa efectiva bimensual a mensual

Se usa la fórmula:
(1 + i_bim)^(1/2) - 1

Entonces:
(1 + 0.0225)^(1/2) - 1 ≈ 0.011187, o sea 1.1187% mensual

Paso 3: Aplicar la fórmula del valor futuro

La fórmula es:
VF = VP × (1 + i)^n

Despejamos el tiempo n:

n = log(VF / VP) / log(1 + i)

Sustituyendo:

n = log(30,000,000 / 14,000,000) / log(1 + 0.011187)
n = log(2.142857) / log(1.011187) ≈ 68.505 meses

Resultado final:

El tiempo necesario para que una inversión de $14 millones se convierta en $30 millones al 2.25% bimensual efectivo pagadero mensual es de aproximadamente 68.51 meses, es decir, 5 años y 8.5 meses.

a) Dentro de 6 meses con una tasa del 2.75% efectiva bimensual

• Tiempo: 6 meses

• Tasa efectiva bimensual: 2.75% → 0.0275 en forma decimal

• Número de bimestres en 6 meses: 3

• Fórmula:
  VF = VP × (1 + i)^n
  VF = 20,000,000 × (1 + 0.0275)^3 ≈ 21,695,794

Resultado: El valor futuro es $21,695,794

b) Dentro de 2.5 años con una tasa del 3.5% efectiva trimestral

• Tiempo: 2.5 años = 10 trimestres

• Tasa efectiva trimestral: 3.5% → 0.035

• Fórmula:
  VF = 20,000,000 × (1 + 0.035)^10 ≈ 28,211,978

Resultado: El valor futuro es $28,211,978

c) Dentro de 3 años con una tasa del 4.5% efectiva semestral

• Tiempo: 3 años = 6 semestres

• Tasa efectiva semestral: 4.5% → 0.045

• Fórmula:
  VF = 20,000,000 × (1 + 0.045)^6 ≈ 26,045,196

Resultado: El valor futuro es $26,045,196

Conclusión:

• a) 6 meses al 2.75% bimensual: $21,695,794

• b) 2.5 años al 3.5% trimestral: $28,211,978

• c) 3 años al 4.5% semestral: $26,045,196

Paso 1: Datos del problema

• Valor futuro (VF): $39,287,280

• Renta mensual (R): $500,000

• Tasa efectiva bimensual: 2.8% → 0.028

• Necesitamos convertir esta tasa a mensual, ya que los pagos son mensuales.

Paso 2: Convertir la tasa bimensual a tasa mensual equivalente

Se usa la fórmula:
(1 + i_bim)^(1/2) - 1

Aplicando:
(1 + 0.028)^(1/2) - 1 ≈ 0.013903, o sea, 1.3903% mensual

Paso 3: Calcular el número de pagos necesarios

Se usa la fórmula del valor futuro de una anualidad ordinaria:
VF = R × [((1 + i)^n - 1) / i]

Despejando n, se obtiene:
n = log[(VF × i / R) + 1] / log(1 + i)

Sustituyendo:

• VF = 39,287,280

• R = 500,000

• i = 0.013903

n = log[(39,287,280 × 0.013903 / 500,000) + 1] / log(1.013903) ≈ 53.47 meses

Resultado final:

Se deben realizar aproximadamente 53.47 pagos mensuales, es decir, 53 pagos completos y un pago parcial al final, para acumular $39,287,280 con depósitos mensuales de $500,000 al 2.8% bimensual efectivo capitalizable mensualmente.

Tasa efectiva trimestral (vencida): 3.72%
En forma decimal: 0.0372

Conversión a otras tasas:

1. Tasa efectiva cuatrimestral (vencida):

Se convierte tomando el periodo de 4 meses.
Fórmula:
(1 + i_trimestral)^(4/3) - 1

Resultado: 4.9905% o 0.049905

2. Tasa nominal cuatrimestral (vencida):

Se multiplica la tasa efectiva cuatrimestral por 3 (ya que hay 3 cuatrimestres en un año):

Nominal vencida = 3 × 0.049905 = 0.149715 = 14.9715% anual

3. Tasa nominal cuatrimestral (anticipada):

Se convierte a anticipada usando la fórmula de descuento:

Nominal anticipada = 3 × [ (1 + i)^(-1) - 1 ] × (-1)
En este caso, ya está calculada como:
14.2599% anual

4. Tasa efectiva semestral (vencida):

Se convierte con:
(1 + i_trimestral)^2 - 1 = (1 + 0.0372)^2 - 1 = 0.075784 = 7.5784%

5. Tasa nominal semestral (vencida):

Como hay 2 semestres en el año:

Nominal vencida = 2 × 0.075784 = 15.1568% anual

6. Tasa nominal semestral (anticipada):

Ya convertida, da:
14.1545% anual

Resumen de resultados:

• Nominal cuatrimestral vencida: 14.9715%

• Nominal cuatrimestral anticipada: 14.2599%

• Nominal semestral vencida: 15.1568%

• Nominal semestral anticipada: 14.1545%

Todos estos valores han sido obtenidos partiendo de una tasa efectiva trimestral del 3.72%, transformando entre periodos y tipos de capitalización (vencida vs anticipada).

Paso 1: Datos del problema

• Valor futuro (VF): $150.000.000

• Tiempo: 5 años = 60 meses

• Tasa efectiva cuatrimestral: 4.75% = 0.0475 en forma decimal

Paso 2: Convertir la tasa cuatrimestral a tasa mensual

Se utiliza la fórmula:
(1 + i_cuat)^(1/4) - 1
(1 + 0.0475)^(1/4) - 1 ≈ 0.01166915, o sea, 1.1669% mensual

Paso 3: Usar la fórmula del valor futuro de una anualidad ordinaria

Fórmula:
VF = R × [((1 + i)^n - 1) / i]

Despejando R:
R = VF × i / ((1 + i)^n - 1)

Sustituyendo:

• VF = 150,000,000

• i = 0.01166915

• n = 60 meses

R = 150,000,000 × 0.01166915 / ((1.01166915)^60 - 1) ≈ 1,740,097

Resultado final:

La persona deberá ahorrar $1.740.097 mensuales durante 5 años para alcanzar los $150.000.000, si la fiducia le ofrece una tasa del 4.75% efectiva cuatrimestral pagadera mensualmente.

Paso 1: Determinar el número de pagos

El período de ahorro va desde los 10 hasta los 18 años, lo que equivale a 8 años, es decir:
8 × 12 = 96 meses

Paso 2: Convertir la tasa efectiva anual a tasa mensual

Se usa la fórmula:
(1 + i_anual)^(1/12) - 1

Aplicando:
(1 + 0.15)^(1/12) - 1 ≈ 0.011746, o sea 1.1746% mensual

Paso 3: Calcular el valor futuro del ahorro

Usamos la fórmula del valor futuro de una anualidad ordinaria:
VF = R × [((1 + i)^n - 1) / i]

Donde:

• R = 800,000

• i = 0.011746

• n = 96

VF = 800,000 × ((1.011746)^96 - 1) / 0.011746 ≈ 136,261,869

Resultado final:

El padre dispondrá de aproximadamente $136.261.869 cuando su hijo cumpla 18 años, si ahorra $800.000 mensuales durante 8 años, y la fiducia le ofrece una tasa efectiva anual del 15%.