В Архімеда також є три основних закони. Поведінка тіла зануреного у рідину, механіка суцільних середовищ та рівновага тіла що плаває у рідині. Розповім про останній, це закон згідно з яким на тіло яке занурене у рідину діє виштовхувальна сила, яка дорівнює витисненої даним тілом рідини, якщо сила тяжіння більша за висштовхувальну то тіло тоне, якщо навпаки то держиться на поверхні. Саме за цим законом дерев'яний брусок може плавати. Слідуюча теорема доводиться так, що об'єм кулі дорівнює 2:3 від обсягу описаного навколо неї циліндра, а площа поверхні кулі дорівнює площі бічної поверхні цього циліндра.

Ось і підійшли до кінця життя Архімеда. Є багато версій проте одну вважають правильною. В старості у Архімеда на вулиці випали малюнки та креслення. Пробігаючи якийсь солдат потоптався ,старий крикнув до нього лайку та накинувся на нього, почався конфлікт і солдат не думаючи зарубав мечем Архімеда. Не дивлячись на безглузду смерть Аррхімед зробив великий внесок в науку. Народ його дуже цінував та прославляв, оскільки багато було зроблено для народу та облегчення їхньої праці.

Точкам зіставляються набори чисел, це дозволяє вивчати відносини між формами методами алгебри. Так з'явилася аналітична геометрія, що вивчає фігури і перетворення, які в координатах задаються алгебраїчними рівняннями.

Приблизно одночасно з цим Блезом Паскалем і Жераром Дезаргом (1591—1661) почато дослідження властивостей плоских фігур, що не міняються при проєктуванні з однієї площини на іншу. Цей розділ отримав назву проєктивної геометрії.

Метод координат лежить з розвитком математичного аналізу ліг в основу нового підходу, що з'явився трохи пізніше, — диференціальної геометрії, де фігури і перетворення все ще задаються в координатах, але вже довільними досить гладкими функціями. Властивості цих фігур вивчаються за допомогою моці й гнучкості апарату аналізу. 

В 1642 році Паскаль сконструював цю машину, коли йомубуло всього 19 років для свого батька, складальникаподатків. 

Вона була механічна: з шестерінками і ручним приводом.

Рахункова машина Паскаля могла виконувати тількиоперації складання і віднімання.

Закон Паскаля дозволяє пояснити дію гідравлічної машини(від грец. ΰδωρ — вода і αυλός — трубка). Це машини, діяяких заснована на законах руху і рівноваги рідин. Основною частиною гідравлічної машини служать два циліндрирізного діаметра, забезпечені поршнями і сполученітрубкою. Простір під поршнями і трубку заповнюютьрідиною (зазвичай оливою). Висоти стовпів рідини в обохциліндрах однакові, поки на поршні не діють сили. Допустимо тепер, що F1 і F2 — сили, що діють на поршні, S1 і S2 — площі поршнів. Тиск під першим (малим) поршнем рівний F1/S1, а під другим (великим) F2/S2. За законом Паскаля тиск рідини, що в усіх точках рідини у стані спокою, однаковий, тобто F1/S1=F2/S2, звідкиF2/F1=S2/S1. Отже, сила F2 в стільки раз більше сили F1, в скільки разів площа великого поршня більше площі малого. Наприклад, якщо площа великого поршня 500 см², а малого 5 см² і на малий поршень діє сила 100 Н, то на більшийпоршень діятиме сила, в 100 разів більша, тобто 10 000 Н.

Таким чином, за допомогою гідравлічної машини можнамалою силою зрівноважити велику силу. Відношення F2/F1 показує виграш в силі. В наведеному прикладі виграш в силідорівнює 10000 Н/100 Н=100

Не дивно, що в 16-річному віці юний геній став доводитивже свої теореми. З одного з таких теорем я б хотів Вас познайомити.

Теорема Паскаля: В будь-якому шестикутнику, вписаному в еліпс, гіперболу  чи параболи, точки перетину трьох пар протилежних сторін лежать на одній прямій. Доказ теоремине тривіальне (доказ для спраглих), тому я просто хочу показати кожному красу геометрії. Почнемо з простогопопереднього побудови:

Ми взяли дві непаралельних прямі, відзначили три пари точок (довільних до певної міри), а потім з'єднали кожнуточку з її протилежними побратимами. Про чудо! Всі три точки перетину лежать на одній прямій! Паскаль пішов далісвого попередника: "А що, якщо спробувати зробити те ж саме з окружністю?" 

А що, якщо піти далі? Адже окружність - це окремийвипадок еліпса, який, в свою чергу, є одним з трьохголовних типів т.зв. конічних перетинів:

До конічних перетинах відносяться: парабола, еліпс і гіпербола. Як Ви вже здогадуєтеся, для параболи результат виявився таким же:

Знову занурений у свої наукові інтереси, він перевіряв теорії Галілея і Євангеліста Торрічеллі (італійського фізика, який відкрив принцип барометра). Для цього фізик Блез Паскаль відтворив і посилив експерименти з атмосферного тиску, створюючи ртутні барометри і вимірюючи тиск повітря в Парижі і на вершині гори біля Клермон-Ферран. Ці випробування проклали шлях для подальших досліджень гідродинаміки і гідростатики.

В останні роки Блез Паскаль займався наукою без інтересу, хоч і зробив ще одне значне відкриття. Він вивчав циклоїди, щоб забути про зубний біль. До рішення він прийшов за одну ніч, але слава в той час його вже не цікавила, тому він нікому не став розповідати про цю подію. Циклоїда (від грец. κυκλοειδής — круглий) — плоска трансцендентна крива. Циклоїда визначається кінематично як траєкторія фіксованої точки кола радіуса r, що котиться без ковзання по прямій. 

Да Вінчі був допитливим, хотів зрозуміти світ у всіх розрізах. Свої знання і винаходи у сфері природничих наук він відображував у живописі. Да Вінчі навіть таємно розтинав трупи, щоб дослідити будову тіла: м'язи, суглоби й головне - пропорції. Зацікавився живописом Леонардо з юного віку: у 15 років він вчився в майстерні італійського скульптора та художника епохи Відродження Верроккіо. Автор порушував усталені правила також у своєму портретному живописі. Усупереч законам часу, за якими портрет потрібно було зображувати в профіль, жінки з картин да Вінчі дивляться просто на глядача. Леонардо довгі роки мандрував Італією, займався математикою, інженерними справами. У 1481 році, коли Леонардо було 29 років, монастир Сан Донато а Сісто замовив йому великий вівтарний образ "Поклоніння Волхвів". Ця його робота не була завершеною. До речі, да Вінчі відомий своєю рисою закидати деякі свої роботи.

Цікаві факти
1. Леонардо першим пояснив, чому небо синє. У книзі “Про живопис” він писав: «Блакить неба утворюється завдяки товщі освітлених часток повітря, яка розташована між Землею і чорнотою, що знаходиться вгорі». Спостереження за Місяцем у фазі зростаючого півмісяця привели Леонардо до одного з важливих наукових відкриттів – дослідник встановив, що сонячне світло відбивається від Землі і повертається до Місяця у вигляді вторинного підсвічування. 
 
 

2. Такі роботи, як «Мона Ліза», дають зрозуміти, що жінки подобалися да Вінчі, - проте лише на полотні. У приватному житті митця цікавили чоловіки. Коли художник вчився у майстерні Вероккіо, його звинуватили у домаганні до хлопчика, що позував йому у його роботах. Проте суд виправдав Леонардо.
 
 

3. Про одну із найбльш відомих картин художника розповідають дуже багато історій. Одна із них пов'язана з математикою: портрет Джоконди багато років цікавить дослідників, які висунули теорію про золоті трикутники, на їхню думку композиція має в основі трикутники, які є частиною правильного зірчастого п'ятикутника. 

Інший спосіб описати різницю між цими геометріями полягає в тому, щоб розглянути дві прямі, які перпендикулярні до третьої прямої:
 
 

·         В евклідовій геометрії дві прямі залишаються на постійній відстані одна від одної (перпендикуляр, проведений до першої прямої в будь-якій її точці, перетне другу пряму, і довжина відрізка, який з'єднує точки перетину, є постійною). Такі прямі відомі як паралелі.

·         У гіперболічній геометрії дві прямі, перпендикулярні до третьої, «розбігаються» одна від одної, віддаляючись, якщо рухатись від точок перетину із загальним перпендикуляром

В еліптичній (сферичній) геометрії такі прямі поступово «наближаються» одна до одної і врешті-решт — перетинаються. 

Георг Фрідріх Бернхард Ріман народився 17 вересня 1826 року в Брезеленці, який зараз є частиною муніципалітету Джамельн в районі Люхов-Данненберг, Німеччина. На момент його народження це було окреме село при Ганноверському королівстві.
 
 

Його батько, Фрідріх Бернхард Ріман, був бідним лютеранським міністром у Бреселенці. У нього та його дружини Шарлотта, народжена Ебел, було шестеро дітей, з яких Георг народився другим. З дитинства він був дуже сором’язливим і інтровертним.
 
 

Георг на початку життя втратив матір. Початкову освіту він мав під батьком до десятирічного віку. Після цього хтось на ім’я Шульц, який викладав у місцевій школі, прийшов допомогти батькові в їх вихованні.
 
 

Навіть у той час він виявляв дивовижні навички з математики, особливо з обчислення. Тому на Великдень 1840 року його відправили жити з бабусею в Ганновер і там він вступив безпосередньо до третього класу в ліцеї (середній школі).
 
 

Навчався в Ганноверському ліцеї до смерті бабусі в 1842 році. Після цього він вступив у Йоганум Люнебург, традиційну гімназію в Люнебурзі. Він був працьовитим і добрим учнем, особливо цікавився івритом та теологією; але математика залишалася його улюбленим предметом.
 
 

Спочатку його амбіція полягала в тому, щоб стати пастором, як його батько, і збільшити доходи сім'ї. Бур дуже скоро, його математичні навички, які часто перевершували знання його вчителів з цього предмету, привернули увагу Шмальфусса, директора гімназії. 
Вражений своєю здатністю вирішувати складні математичні задачі, директор почав позичати йому книги з математики з власної бібліотеки. Одного разу він дав йому «Теорію чисел» Адріана Марі Леандре, і Бернхард засвоїв її за шість днів. Однак його мета залишилася такою ж.
 
 

Навесні 1846 р. Ріман вступив до Геттінгенського університету з теологією та філософією. Одночасно він почав відвідувати заняття з математики Йоганна Карла Фрідріха Гаусса та Моріца Стерна. Помітивши зацікавленість цим предметом, батько нарешті дав йому дозвіл присвятити себе математиці.
 
 

У той час рівень математики в Геттінгені був досить низьким, і тому навесні 1847 р. Ріман переїхав до Берлінського університету, закінчивши там 1849 р. Тут він навчався у видатних професорів, таких як Якобі, Штейнер, Ейзенштейн і головне Lejeune Діріхлет.
 
 

У 1849 році він повернувся в Геттінген для докторської роботи. Цього разу він виявив, що Вільгельм Вебер повернувся на кафедру фізики, а Йоганн Бенедикт Лістинг був призначений професором фізики. Працюючи з ними, Ріман здобув сильний досвід теоретичної фізики. З Лістингу він також вивчав топологію.
 
 

Його докторським радником був Йоганн Карл Фрідріх Гаус. Працюючи над теорією складних змінних і тим, що ми сьогодні називаємо «Ріманновими поверхнями», Ріман подав докторську дисертацію в листопаді 1851 року і захистив її в грудні.
 
 

Його дисертація мала назву "Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen complexen Größe". Хоча за мотивами творів Августина-Луї Коші та Віктора Пузо, його роботи були разюче оригінальними. Він досліджував геометричні властивості аналітичних функцій, конформні відображення та сполучуваність поверхонь.
 
 

У 1852 р., За рекомендацією Гаусса, Ріман розпочав свою кар’єру приватного доктора в Геттінгенському університеті. Одночасно він також працював у Вебер без будь-якої оплати. У той же час він почав готуватися до своєї Габілітації, яка б дала йому право на призначення на посаду викладача.
 
 

Для свого Habilitationsschrift (дослідницький нарис) він вибрав серію Фур’є про тепловий потік, представивши її наприкінці 1853 р. Це був шедевр, який домігся великого прогресу у вирішенні деяких фундаментальних питань, залишених невирішеними французьким математиком Джозефом Фур'є в його робота "Théorie analytique de la chaleur".
 
 

Він також подав список трьох можливих предметів для своєї Habilitationsvortrag (випробувальна лекція), з яких Гаусс обрав третю. Він отримав назву "Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen" (Про гіпотези, що підкреслюють геометрію).
 
 

Лекція, прочитана 10 червня 1854 р., Представила не лише те, що сьогодні відомо як риманівське багатовимірне багаторіччя, але й його тензор кривизни та обговорював співвідношення математичного простору та фактичного простору. Однак остання була залишена як теорія шістдесят років, поки її не довів Ейнштейн.
 
 

Навіть після закінчення його хабілітації Ріман продовжував працювати приватним особом. Посада не передбачала жодної заробітної плати; але він зміг зібрати збори зі своїх учнів. Його перший курс був з часткових диференціальних рівнянь із додатками до фізики, і він мав дуже мало студентів.
 
 

У 1855 році, після кончини Гауса, його крісло перейшло до Діріхле. Тепер Діріхлет намагався зайняти посаду надзвичайного професора Рімана, але, не вдавшись до своїх зусиль, він отримав ще одну невелику роботу для нього.
 
 

Ріман, тепер заробляючи зарплату в 200 талерів на рік, сконцентрувався на своїй роботі. Його лекції в період 1855-1856 років призвели до публікації його "Теорії абелевих функцій" (1857). Зараз він вважається однією з найпомітніших праць з математики.
 
 

У 1857 р. Ріман був призначений надзвичайним професором Геттінгенського університету, заробивши зарплату в 300 талерів. Вперше в житті він став фінансово захищеним.
 
 

У 1859 році, зі смертю Діріхле, Ріман став дійсним професором. Того ж року його обрали членом Берлінської академії наук. Його членство запропонували берлінські математики, Куммер, Боршардт і Вейєрштрасс.
 
 

Його вступний звіт до Академії під назвою "Про кількість простих ліній менше заданої величини" був ще одним шедевром. З плином часу це дуже суттєво змінило хід математичних досліджень.
 
 

У 1862 році він переніс напад плевриту, який продовжував відновлюватись і продовжуватись. Потім він взяв відпустку зі свого університету і провів зими 1862-1863 років на Сицилії, де були більш теплі кліматичні умови.
 
 

Після цього він подорожував по Італії, зустрічаючись з багатьма математиками, особливо Бетті. Потім у червні 1863 року він повернувся до Геттінгену, але як стан здоров'я погіршився, він ще раз переїхав до Італії, залишившись там із серпня 1864 по жовтень 1865, перш ніж знову повернутися в Геттінген.
 
 

Ріман залишався в Геттінгені до червня 1866 року, після чого переїхав до Селаски, розташованої на березі озера Маджоре. Весь цей час він продовжував свою роботу, написавши низку праць, які згодом були знайдені у рукописному вигляді після його несвоєчасної смерті.
 
 

Бернхард Ріман найкраще пам’ятає за романними підходами до вивчення геометрії. Він стверджував, що простір може мати нескінченний розмір, і не потрібно, щоб поверхня була намальована лише в тривимірному просторі.
 
 

Він також відомий своїм внеском у теорію функцій, складний аналіз та теорію чисел. Його роботи надихнули Евгеніо Белтрамі скласти опис неевклідової геометрії та забезпечили математичну основу теорії відносності Альберта Ейнштейна.
 
 

3 червня 1862 року Бернхард Ріман одружився з Елізою Кох з Керхова, Мекленбург-Шверин. Вона була другом його сестри. У пари була дочка на ім'я Іда, яка народилася в Пізі в 1863 році.
 
 

Восени 1862 року, незабаром після одруження, Рімана захворіла сильна застуда, яка переросла у плеврит. Як було прийнято в ті дні, він їхав до Італії, щоб вилікувати свою хворобу, але, незважаючи на періодичне одужання, стан його здоров'я почав погіршуватися.
 
 

До середини 1866 року він дуже захворів. У червні він виїхав до італійського села Селаска на березі озера Маджоре, досягнувши місця 16-го. 19 липня він сидів під смоковницею, насолоджуючись пейзажем і працюючи над останньою роботою з природної філософії, яку він залишив незакінченою.
 
 

Наступного дня Бернхард Ріман помер від споживання, а дружина сиділа біля нього, промовляючи молитву Господа. На момент смерті він був повністю свідомий і йому було тридцять дев'ять років. Він лежить похований на кладовищі Біганцол в Італії.
 
 

У математиці численні терміни були названі на честь Рімана; "Білеві відносини Рімана", "Риманові умови", "Форма Рімана", "Риманова функція" тощо.
 
 

Місячний кратер, розташований біля північно-східної кінцівки Місяця, був названий Ріманом на його честь.
 
 

За життя Ріман опублікував дуже мало паперів. Але "Зібрання творів Бернарда Рімана", опубліковані посмертно в 1892 році, продовжує зберігати його спадщину і донині.
 
 

Бернхард Ріман за своє коротке життя став відомим як видатний математик. У той же час він мав сильну схильність до філософії, і багато хто вважає, що якби він жив довше, філософи стверджували б його як свого.
 
 

Можливо, що у нього був туберкульоз задовго до того, як він насправді захворів. Його раннє погане самопочуття та передчасна смерть матері, одного брата та трьох сестер - покажчик цього факту.
 
Ріманова геометрія є розділом диференціальної геометрії, який вивчає ріманові многовиди, гладкі многовиди з рімановою метрикою, тобто зі скалярним добутком на дотичному просторі в кожній точці, яка змінюється плавно від точки до точки. Це зокрема, дозволяє ввести локальні поняття кута, довжини кривої, площі поверхні та об’єму. З цих локальних глобальні величини можуть бути отримані шляхом інтегрування локальних складових.