Una matriz A de m x n es un arreglo rectangular de mn números dispuestos en m renglones y n columnas. Donde cada elemento aij se conoce como entrada o componente de la matriz A.

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las ecuaciones parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadísticas, economía, informática, física, etc. 

Notación de matriz

Abreviadamente se suele expresar en la forma A=(aij), con i=1,2,…, n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j).

Orden de matriz

El número de elementos de una matriz lo obtendremos al multiplicar el número de filas por el número de columnas m x n. Al producto m x n llamamos orden de matriz cuando decidimos que una matriz es de orden de 4 x 5 ya podemos afirmar que se trata de 4 filas y 5 columnas. Esto quiere decir que el orden, el tamaño, la dimensión significan lo mismo.

Propiedades 

a) Conmutativa: A + B = B + A

b) Asociativa: A + (A + C) = (A + B) + C

c) Elemento neutro: La matriz nula del tamaño     correspondiente.

d) Elemento opuesto de A: La matriz –A, que resulta de cambiar de signo a los elementos de A.

Propiedades 

a) Distribuidora respecto de la suma de matrices.
k * (A + B) = k * A + k * B
b) Distribuidora respecto de la suma de numero.
 (k + d) * A = k * A + d * A
c) Asociativa.
k* (d*A) = (k*d) * A
d) Elementos neutro, el número 1.
 1 * A = A

Propiedades

a) (At)t = A, es decir, la traspuesta de la traspuesta es la matriz inicial.

b) (A + B)t = At + Bt

c) (k  A)t = k  At

· Para dos matrices A y B, este orden, AB, es condición indispensable que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B.

· Si no se cumple esta condición, el producto AB no puede realizarse, de modo que esta es una condición que debemos comprobar previamente.

· La multiplicación matricial no es conmutativa.A x B  no es igual a B x A

Propiedades del producto matricial

a) Asociativa 

b) Distributiva respecto de la suma:          
A * (B + C) = A * B + A * C 
(B + C) * A = B * A + C *A

c) Elemento neutro, la matriz identidad corresponde, si A es m x n:          
           A  ln = A          
          lm  A = A

d) En general el producto de matrices no es conmutativo

A * B  no es igual a B * A

e) El producto de dos matrices no nulas A y B puede dar lugar a una matriz nula.