Тригонометричні рівняння by Daniel Schegolev

igorpavlovisk — 2021-10-02 12:34:21 UTC

igorpavlovisk — 2021-10-02 12:34:50 UTC

Тригонометричні рівняння

igorpavlovisk — 2021-10-02 12:39:06 UTC

Рівняння називається тригонометричним, якщо невідома величина знаходиться під знаком тригонометричних функцій.
Найпростішими тригонометричними рівняннями називаються рівняння
sinx=asin⁡x=a,
cosx=acos⁡x=a,
tgx=atg⁡x=a,
ctgx=actg⁡x=a.

Розв’язати найпростіше тригонометричне рівняння — означає знайти множину всіх кутів, що мають дане значення тригонометричної функції. Якщо тригонометричне рівняння не є найпростішим, то за допомогою тотожних перетворень його треба звести до одного або кількох найпростіших, розв’язання яких визначається стандартними формулами.

igorpavlovisk — 2021-10-02 12:45:33 UTC

igorpavlovisk — 2021-10-02 12:49:52 UTC

1. Розв’язання рівняння sinx=a

igorpavlovisk — 2021-10-02 12:53:53 UTC

2. Розв’язання рівняння cosx=a

igorpavlovisk — 2021-10-02 12:57:13 UTC

3. Розв’язання рівняння tgx=a

igorpavlovisk — 2021-10-02 13:01:06 UTC

4. Розв’язання рівняння ctgx=a

igorpavlovisk — 2021-10-02 13:03:00 UTC

Методи розв’язування тригонометричних рівнянь

igorpavlovisk — 2021-10-02 13:12:44 UTC

Зведення тригонометричних рівнянь до алгебрагічних

igorpavlovisk — 2021-10-02 13:13:32 UTC

   Деякі тригонометричні рівняння можна привести шляхом тотожних перетворень до рівнянь з однією тригонометричною функцією, потім зробити заміну і привести рівняння до алгебрагічного.
  Приклад
 Розв’яжіть рівняння
sin2x+4cosx=2,75
Розв’язування
     Замінивши sin2x на 1−cos2x, маємо:
1−cos2x+4cosx−2,75=0,
-cos2x+4cosx−1,75=0;
cos2x−4cosx+1,75=0
     Нехай cos x=t, тоді t²−4t+1,75=0. Звідси
t₁=1/2, t₂=7/2>1
     Оскільки t₂>1, то cosx=7/2 - розв’язків немає.
  Оскільки t₁=1/2, то cosx=1/2, x=±π/3+2πn,n∈Z
     Відповідь: ±π/3+2πn,n∈Z.

Зведення тригонометричних рівнянь до рівнянь виду f(x)g(x)=0

igorpavlovisk — 2021-10-02 13:17:05 UTC

Багато тригонометричних рівнянь, права частина яких дорівнює 0, розв’язуються розкладанням їхньої лівої частини на множники.
 Приклад 
Розв’яжіть рівняння
1+cosx−2cosx/2=0.
Розв’язання
     Урахувавши, що 1+cosx=2cos²x/2, маємо
2cos²x/2−2cosx/2=0;  2cosx/2(cosx/2−1)=0;
     Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один з множників дорівнює нулю. Тому:
1) cosx/2=0; x/2=π/2+πn,n∈Z; x=π+2πn,n∈Z
2) cosx/2=1; x/2=2πn,n∈Z; x=4πn,n∈Z
     Відповідь: π+2πn,4πn,n∈Z.

igorpavlovisk — 2021-10-02 13:21:14 UTC