комбинаторика by

КОМБИНАТОРИКА -

lizalektor9 — 2018-06-09 11:22:45 UTC

Комбинаторика – раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это, в свою очередь, позволяет исследовать закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания статистических закономерностей, проявляющихся в природе и технике.

СОЧЕТАНИЯ БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ

lizalektor9 — 2018-06-09 13:21:14 UTC

Сочетаниями из n элементов по k называются соединения, которые можно образовать из n элементов, собирая в каждое соединение k элементов; при этом соединения отличаются друг от друга только самими элементами (различие порядка их расположения во внимание не принимается).

пример

lizalektor9 — 2018-06-09 13:24:30 UTC

Возьмем m различных предметов : a₁, a₂, a₃, a_m и будем составлять группы по n элементов в каждой располагая взятые предметы в различных сочетаниях. (Группы с одинаковым набором элементов расположенных в разном порядке считаются одинаковыми.)

Полученные комбинации и называются сочетаниями.

задача

lizalektor9 — 2018-06-09 13:30:38 UTC

Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

lizalektor9 — 2018-06-09 13:46:40 UTC

lizalektor9 — 2018-06-09 13:46:42 UTC

lizalektor9 — 2018-06-09 13:46:46 UTC

lizalektor9 — 2018-06-09 13:47:10 UTC

формула сочетаний

lizalektor9 — 2018-06-09 13:56:15 UTC

решение

lizalektor9 — 2018-06-09 14:01:53 UTC

Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:

lizalektor9 — 2018-06-09 14:04:58 UTC

СОЧЕТАНИЯ С ПОВТОРЕНИЯМИ

lizalektor9 — 2018-06-09 14:17:18 UTC

Пусть имеются предметы nразличных видов предметов, и из них составляются наборы, содержащие k элементов. Такие выборки называются сочетаниями с повторением. Их число обозначается

lizalektor9 — 2018-06-09 14:58:20 UTC

lizalektor9 — 2018-06-09 14:58:42 UTC

формула сочетаний с повторениями

lizalektor9 — 2018-06-09 15:03:17 UTC

задача

lizalektor9 — 2018-06-09 15:12:22 UTC

В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

решение

lizalektor9 — 2018-06-09 15:17:07 UTC

Т.к. среди 7 пирожных могут быть пирожные одного сорта, то число способов, которыми можно купить 7 пирожных, определяется числом сочетаний с повторениями из 7 по 4.

lizalektor9 — 2018-06-09 15:19:11 UTC

КОМБИНАТОРНЫЕ ОПЕРАЦИИ

lizalektor9 — 2018-06-09 15:23:39 UTC

РАЗМЕЩЕНИЕ БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ

lizalektor9 — 2018-06-09 15:40:24 UTC

Размещениями называют различные комбинации из m объектов, которые выбраны из множества n различных объектов, и которые отличаются друг от друга как составом объектов в выборке, так и их порядком.

формула размещений

lizalektor9 — 2018-06-09 15:44:18 UTC

пример

lizalektor9 — 2018-06-09 15:55:25 UTC

Возьмем m различных элементов (предметов) a₁, a₂, a₃, a_m и будем составлять группы по n элементов в каждой располагая взятые элементы (предметы) в различном порядке. Группы с одинаковым набором элементов расположенных в разном порядке считаются разными.

Полученные комбинации называют размещениями

задача

lizalektor9 — 2018-06-09 16:01:37 UTC

В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

решение

lizalektor9 — 2018-06-09 16:03:00 UTC

В данной задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким образом, задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:

Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.

РАЗМЕЩЕНИЯ С ПОВТОРЕНИЯМИ

lizalektor9 — 2018-06-09 16:09:56 UTC

Пусть даны n различных видов предметов, которые можно разместить по k различным местам, причем выбирать предметы можно с повторениями (т.е. можно выбрать несколько предметов одного вида). Такие выборки называются размещениями с повторениями..

lizalektor9 — 2018-06-09 16:28:09 UTC

формула размещений с повторениями

lizalektor9 — 2018-06-09 16:29:09 UTC

задача

lizalektor9 — 2018-06-09 16:33:18 UTC

У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера– составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик?

решение

lizalektor9 — 2018-06-09 16:35:15 UTC

Можно считать, что опыт состоит в 5-кратном выборе с возращением одной из 3 цифр (1, 3, 7). Таким образом, число пятизначных номеров определяется числом размещений с повторениями из 3 элементов по 5:

ПЕРЕСТАНОВКИ БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ

lizalektor9 — 2018-06-09 16:41:24 UTC

Перестановкой называется какой-либо способ упорядочения данного множества

формула перестановок

lizalektor9 — 2018-06-09 16:48:15 UTC

lizalektor9 — 2018-06-09 17:07:42 UTC

проимер

lizalektor9 — 2018-06-09 17:12:13 UTC

Чтобы найти число всех перестановок множества из n предметов (это число обозначается P_n, от французского permutation – перестановка) – например, число способов, которыми можно расставить n томов на книжной полке, – обычно рассуждают таким образом. Первым можно поставить любой из n предметов, вторым – любой из (n – 1) оставшихся предметов, третьим любой из (n – 2) оставшихся предметов и т. д. В результате число перестановок будет равно произведению n множителей n (n – 1) (n – 2) ... ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1.

задача

lizalektor9 — 2018-06-09 17:21:23 UTC

Сколько можно составить четырехбуквенных «слов» из букв слова«брак»?

решение

lizalektor9 — 2018-06-09 17:31:24 UTC

Генеральной совокупностью являются 4 буквы слова «брак» (б, р, а, к). Число «слов» определяется перестановками этих 4 букв, т. е.

ПЕРЕСТАНОВКА С ПОВТОРЕНИЯМИ

lizalektor9 — 2018-06-09 17:50:23 UTC

Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k < n), т. е. есть одинаковые предметы.

формула перестановок с повторениями

lizalektor9 — 2018-06-09 17:54:45 UTC

задача

lizalektor9 — 2018-06-09 17:57:32 UTC

Сколько разных буквосочетаний можно сделать из букв слова «Миссисипи»?

решение

lizalektor9 — 2018-06-09 17:58:55 UTC

Здесь 1 буква «м», 4 буквы «и», 3 буквы «c» и 1 буква «п», всего 9 букв. Следовательно, число перестановок с повторениями равно

ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ ПО РАЗДЕЛУ "КОМБИНАТОРИКА"

lizalektor9 — 2018-06-09 19:24:24 UTC

lizalektor9 — 2018-06-09 19:24:54 UTC

lizalektor9 — 2018-06-09 19:25:14 UTC

lizalektor9 — 2018-06-09 19:26:39 UTC

lizalektor9 — 2018-06-09 19:26:41 UTC