Ejemplos de monomios:

Pero:

no son monomios, porque los exponentes no son naturales.

Dado el monomio:

se distinguen los siguientes elementos:²​

• coeficiente:

  

  también incluye al signo
• parte literal (exponente natural):

  

• grado:

  

  El signo te indica si es negativo (–). Se omite si es positivo (+), y nunca puede ser cero ya que la expresión completa tendría valor cero.
  
  
• La parte literal la constituyen las letras de la expresión.
  
  

• Si un monomio carece de signo, equivale a positivo (+).
• Si un monomio carece de coeficiente, este equivale a uno.
• Si algún término carece de exponente, este es igual a uno.

Si alguna parte literal no está presente, pero se requiere, entonces se considera con exponente cero, ya que:

Dada una variable  un número natural  y un número real

la expresión:

es un monomio.

Si tenemos varias variables: 
, el número real 
 y los números naturales 
el producto correspondiente:

Ejemplo:

Si los monomios no son semejantes, el resultado de la suma o resta es un polinomio.

Producto de monomios

Dos monomios se pueden multiplicar, efectuando el producto de los coeficientes y de las partes literales, respectivamente.
Ejemplo:

Cociente de dos monomios.

Ejemplos:

sí es un monomio porque:

es múltiplo de

no es un monomio porque:

no es múltiplo de

y el exponente del factor

(del cociente) no es un número natural.

Para

constantes en algún anillo A (en particular podemos tomar un cuerpo, como

, en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con a_n distinto de cero y

entonces un polinomio

de grado n en la variable x es un objeto de la forma

Un polinomio

no es más que una sucesión matemática finita

tal que

. También puede considerarse una sucesión infinita

entendiendo que a partir de un cierto término

podemos considerar

para cada

Representado como:

el polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como:

Las constantes a₀, …, a_n se llaman los coeficientes del polinomio. A a₀ se le llama el coeficiente constante (o término independiente) y a a_n, el coeficiente principal (o coeficiente director). Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normalizado.

(2)

Para obtener la expansión de las potencias de una resta (véase productos notables), basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:

Los polinomios de varias variables, a diferencia de los de una variable, tienen en total más de una variable. Por ejemplo los monomios:

En detalle el último de ellos

es un monomio de tres variables (ya que en él aparecen las tres letras x, y y z), el coeficiente es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1 de x, y y z respectivamente.

Operaciones con polinomios.

Ejemplo:
Sean los polinomios

y

entonces el producto es:

Para poder realizar eficazmente la operación se tiene que adquirir los datos necesarios de mayor a menor. Una fórmula analítica que expresa el producto de dos polinomios es la siguiente:

Aplicando esta fórmula al ejemplo anterior se tiene:

Puede comprobarse que para polinomios no nulos se satisface la siguiente relación entre el grado de los polinomios

y

y el polinomio producto

Puesto que el producto de cualquier polinomio por el polinomio nulo es el propio polinomio nulo, se define convencionalmente que

(junto con la operación

) por lo que la expresión puede extenderse también al caso de que alguno de los polinomios sea nulo.

Si el sistema es:

donde `a,d` son los coeficientes de la variable `x` ; `b,e` son los coeficientes de la variable `y`; `c,f` son los términos independientes.

1. Se despeja la incógnita `y` en ambas ecuaciones.
2. Se construye, para cada uno de los dos despejes, la tabla de valores correspondientes. Normalmente para cada una, encuentras los puntos en los cuales cruza a los ejes, es decir, los puntos en donde `x=0` e `y=0`.
3. Se grafican ambas rectas en los ejes coordenados.
4. Existen 3 posibilidades:
   1. Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto donde se intersectan son los valores de las incógnitas `x` e `y`. Sistema compatible determinado.
   2. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene una infinidad de soluciones. Sistema compatible indeterminado.
   3. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Sistema incompatible.

• sustitución: consiste en despejar o aislar una de las incógnitas (por ejemplo, x) y sustituir su expresión en la otra ecuación. De este modo, obtendremos una ecuación de primer grado con la otra incógnita, y. Una vez resuelta, obtenemos el valor de xsustituyendo el valor de y que ya conocemos.
• reducción: consiste en operar con las ecuaciones como, por ejemplo, sumar o restar ambas ecuaciones, de modo que una de las incógnitas desaparezca. Así obtenemos una ecuación con una sola incógnita.
• igualación: consiste en aislar en ambas ecuaciones la misma incógnita para poder igualar las expresiones, obteniendo así una sola ecuación con una incógnita.

Regla de Cramer. Un sistema de ecuaciones lineales recibe el nombre de sistema de Cramer cuando se cumplen las dos condiciones siguientes:

• El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.
• El determinante de la matriz de los coeficientes (matriz del sistema) es distinto de cero ( det ( A ) # 0 )

Un sistema de Cramer es, por definición, compatible determinado, puesto que se cumple que rango (A) = rango (A*) = n (nº de incógnitas). Consideremos un sistema de Cramer, es decir, un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas, cuya expresión general es la siguiente:

Sean A la matriz del sistema (matriz de los coeficientes), entonces det (A) # 0. Llamaremos matriz asociada a la incógnita x_i y la designaremos por A_i a la matriz que se obtiene al sustituir en la matriz del sistema la columna i por la matriz columna de los términos independientes. Es decir:

Todos los sistemas de Cramer son compatibles determinados. El valor de cada incógnita se obtiene dividiendo el determinante de la matriz asociada a dicha incógnita por la matriz del sistema (matriz de los coeficientes de las incógnitas).

• Por sus lados
• Por sus ángulos

Si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden  grados).

Triángulo isósceles
Si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida.

Si todos sus lados tienen longitudes diferentes. En un triángulo escaleno no hay ángulos con la misma medida.

Si tiene un ángulo interior recto  . A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.

Si uno de sus ángulos es obtuso (mayor de  ); los otros dos son agudos (menor de  ).

Cuando sus tres ángulos son menores a  ; el triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.

TriángulosEquiláteroIsóscelesEscalenoAcutángulo |

|

|

Rectángulo |  |

|

Obstusángulo |  |

|

Podemos ver en el esquema anterior que las clasificaciones comentadas en el apartado anterior se pueden combinar de dos a dos (una de cada apartado).

• Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto, este triángulo es simétrico respecto de su altura diferente.
• Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene ejes de simetría.

• Triángulo rectángulo isósceles: con un angulo recto y dos agudos iguales (de  cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente, naturalmente los lados iguales son los catetos, y el diferente es la hipotenusa, es simétrico respecto a la altura que pasa por el ángulo recto hasta la hipotenusa.
• Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto y todos sus lados y ángulos son diferentes.

• Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que parten del ángulo obtuso, el otro lado es mayor que estos dos.
• Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.

1. Propiedades y características de los cuadriláteros

• La suma de los ángulos internos de un cuadrilátero convexo es igual a 360º; A + B + C + D = 360º.
• Las diagonales de un cuadrilátero convexo se cortan.
• Todo cuadrilátero convexo puede expresarse como la unión de dos triángulos con lado común una de las diagonales.
• Si se unen con cuatro segmentos los puntos medios de todos los lados de un cuadrilátero, entonces dichos segmentos forman un paralelogramo.
• Si un segmento por la intersección de las diagonales de un cuadrilátero y une dos lados opuestos, determina dos cuadriláteros con un lado común.
• Si un cuadrilátero está circunscrito, la suma de sus lados opuestos es igual; AB + CD = BC + DA
• Si un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia, la suma de sus ángulos opuestos es igual a 180º.

• Sea ABCD un cuadrilátero inscrito, AB su diámetro, entonces las proyecciones de sus lados AD y BC sobre la recta CD son iguales.

• La medida de los ángulos interiores.

• El paralelismo entre los lados.
• La longitud de los lados.

• Cuadriláteros cóncavos (o no convexos): Uno de los ángulos de este tipo de cuadrilátero es mayor de 180º. Esto significa que es posible encontrar dos puntos interiores a un cuadrilátero convexo con un segmento que los una con puntos exteriores a la figura. En algunos manuales también se conocen como deltoides o puntas de flecha.
• Cuadriláteros convexos: Todos los ángulos interiores de este tipo de cuadrilátero son menores de 180º. Esto significa que dados dos puntos cualesquiera interiores a un cuadrilátero convexo, el segmento que los une tendrá todos sus puntos dentro de la figura.

• Paralelogramos
• Trapecios
• Trapezoides

Por la igualdad o desigualdad de lados:

• Polígonos regulares — cuando todos los lados son de igual extensión;
• Polígonos irregulares — cuando por lo menos alguno de los lados es de extensión distinta.

  

  Por la cantidad de lados, aunque por referencia a la igual cantidad de ángulos:
• Triángulos — los que tienen 3 lados y 3 ángulos.
• Cuadriláteros — los que tienen 4 lados y 4 ángulos.
• Pentágonos (del griego: penta: cinco) — los que tienen 5 lados y 5 ángulos.
• Exágonos (del griego: exa: seis) — los que tienen 6 lados y 6 ángulos.
• Heptágonos (del griego: hepta: siete) — los que tienen 7 lados y 7 ángulos.
• Octógonos — los que tienen 8 lados y 8 ángulos.
• Encágonos — los que tienen 9 lados y 9 ángulos.
• Decágonos — los que tienen 10 lados y 10 ángulos.
• Undecágonos — los que tienen 11 lados y 11 ángulos.
• Dodecágonos — los que tienen 12 lados y 12 ángulos.Con más de 12 lados, se denominan indicando el número de lados.

Por la existencia de una o más líneas que los dividan en mitades iguales:

• Polígonos simétricos — los que tienen uno o más ejes de simetría
• Polígonos asimétricos — los que no tienen ningún eje de simetría

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Los triángulos se clasifican:

En consideración a sus lados, en:Triángulos equiláteros — cuando sus tres lados son iguales.Triángulos isósceles — cuando solamente dos de sus lados son iguales.Triángulos escalenos — cuando sus tres lados son desiguales.

En consideración a sus ángulos, en:Triángulos acutángulos — cuando sus tres ángulos son agudos.Triángulos rectángulos — cuando tienen un ángulo recto.Triángulos obtusángulos — cuando tienen un ángulo obtuso.

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En los polígonos regulares, se consideran las propiedades geométricas de las siguientes líneas y puntos:El perímetro — que está formado por la continuidad, o la suma, de todos sus lados.La diagonal — que es la línea que une dos ángulos no consecutivos.El centro — que es el punto que se encuentra a una misma distancia de todos sus vértices.El radio — que es la línea que une el centro con uno de sus vértices; por lo cual un polígono regular tiene tantos radios como ángulos.El apotema — que es la línea perpendicular que une el centro con cualquiera de sus lados; por lo cual un polígono regular tiene tantos apotemas como lados.Los ángulos en los polígonos.

En los polígonos regulares se distinguen dos tipos de ángulos:

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Los ángulos interiores — que son los que se forman en el vértice entre los lados.

Los ángulos centrales — que son los que se forman con vértice en el centro del polígono, y cuyos lados son los radios que unen ese centro a dos vértices consecutivos. Por lo tanto, un polígono regular tiene tantos ángulos centrales, todos iguales, como lados.

Por lo tanto, como la medida de la suma de todos los ángulos que pueden formarse alrededor de un punto, es de 360° la medida del ángulo central de un polígono regular es igual a 360 dividido por la cantidad de lados.Ángulo central del triángulo equilátero: 360° ÷ 3 = 120°.Ángulo central del cuadrado: 360° ÷ 4 = 90°.Ángulo central del pentágono: 360° ÷ 5 = 72°.Ángulo central del exágono: 360° ÷ 6 = 60°.Ángulo central del octógono: 360° ÷ 8 = 45°.Ángulo central del decágono: 360° ÷ 10 = 36°.Polígonos inscriptos y circunscriptos.

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Se dice que un polígono está inscripto en un círculo, cuando todos los vértices coinciden con puntos de su circunsferencia.

Se dice que un polígono está circunscripto en un círculo, cuando los puntos medios de todos sus lados coinciden con puntos de su circunsferencia.

Construcción de polígonos mediante el compás.

Mediante la aplicación de los conceptos referentes a los ángulos de los polígonos, es posible servirse del instrumento de dibujo que es el compás, para construir graficamente diversos polígonos.
El compás es un instrumento básicamente aplicable en el trazado de circunferencias, que delimitan una figura plana que es el círculo; el cual puede ser considerado un tipo especial de polígono regular, en el cual todos sus lados están constituídos solamente por un punto, y cuya dimensión está determinada por la longitud del radio, que es equivalente a la abertura del compás.
El método a utilizar para construir polígonos mediante el uso del compás, se basa en determinar los vértices de los lados del polígono, estableciendo en qué puntos de la circunsferencia deben situarse para que el polígono resulte inscripto en ella.
Esa determinación se realiza a partir del conocimiento de los valores de los ángulos centrales del polígono que se desea construir.
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Para trazar un triángulo equilátero inscripto en un círculo, manteniendo el radio (abertura del compás) empleado para trazar el círculo, se determina un punto de la circunferencia (preferiblemente en la vertical inferior de su centro), y centrando en ese punto se traza un arco con extremos en la circunsferencia.Los puntos de intersección (A y B) determinan un lado del triángulo equilátero; por lo cual tomando la medida de ese segmento con el compás y trasladándola sobre la parte superior de la circunferencia, se determinará el vértice (C) de unión de los otros dos lados.

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Para trazar un cuadrado inscripto en un círculo, se traza una recta que pasando por el centro llegue a la circunsferencia en sus extremos (diámetro AB).Con una abertura del compás mayor a la empleada para trazar el círculo, centrando en los puntos extremos del diámetro, se marcan puntos en la circunferencia; lo que determinará dos nuevos puntos (C y D). Uniéndolos mediante una recta, resultará un nuevo diámetro perpendicular al anterior; cuyos puntos de contacto con la circunferencia serán los vértices del cuadrado inscripto.Como el cuadrado inscripto queda en posición transversal, puede trazarse otro con los lados en posición horizontal y vertical, simplemente trazando las medianas del cuadrado anterior, para determinar los vértices A', B', C' y D', de un nuevo cuadrado inscripto en el mismo círculo.

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Para trazar un exágono inscripto en un círculo, se fija un punto sobre la circunferencia, y con la misma abertura del compás, se marcan puntos haciendo centro primero en ese punto y luego sucesivamente en los nuevos puntos.Ello determinará que se marquen sobre la circunferencia los seis puntos que corresponden a los vértices del exágono.

• Ejemplos: 1:1, 1:10, 1:500, 5:1, 50:1

• Escala natural: Es cuando el tamaño físico del objeto representado en el plano coincide con la realidad. Existen varios formatos normalizados de planos para procurar que la mayoría de piezas que se mecanizan estén dibujadas a escala natural; es decir, escala 1:1.
• Escala de reducción: Se utiliza cuando el tamaño físico del plano es menor que la realidad. Esta escala se utiliza para representar piezas (E.1:2 o E.1:5), planos de viviendas(E:1:50), mapas físicos de territorios donde la reducción es mucho mayor y pueden ser escalas del orden de E.1:50.000 o E.1:100.000. Para conocer el valor real de una dimensión hay que multiplicar la medida del plano por el valor del denominador.
• Escala de ampliación: Se utiliza cuando hay que hacer el plano de piezas muy pequeñas o de detalles de un plano. En este caso el valor del numerador es más alto que el valor del denominador o sea que se deberá dividir por el numerador para conocer el valor real de la pieza. Ejemplos de escalas de ampliación son: E.2:1 o E.10:1.

• La escala numérica representa la relación entre el valor de la representación (el número a la izquierda del símbolo ":") y el valor de la realidad (el número a la derecha del símbolo ":") y un ejemplo de ello sería 1:100 000, lo que indica que una unidad cualquiera en el plano representa 100 000 de esas mismas unidades en realidad, dicho de otro modo, dos puntos que en el plano se encuentran a 1 cm y estarán en la realidad a 100 000 cm, si están en el plano a 1 m en la realidad estarán a 100 000 metros, y así con cualquier unidad que tomemos.
• La escala unidad por unidad es la igualdad expresa de dos longitudes: la del mapa (a la izquierda del signo "=") y la de la realidad (a la derecha del signo "="). Un ejemplo de ello sería 1 cm = 4 km; 2 cm = 500 m, etc.
• La escala gráfica es la representación dibujada de la escala unidad por unidad, donde cada segmento muestra la relación entre la longitud de la representación y el de la realidad. Un ejemplo de ello sería: 1 cm__o__10 km

• Todos los triángulos equiláteros son semejantes.
• Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, los terceros también son iguales.
• Una semejanza es la composición de una isometría con una homotecia. En la semejanza se puede cambiar el tamaño y la orientación de una figura pero no se altera su forma.

• Propiedad reflexiva, refleja o idéntica

• Todo triángulo es semejante a sí mismo.

• Propiedad idéntica o simétrica

• Si un triángulo es semejante a otro, aquel es semejante al primero.

Teorema fundamental de la semejanza de triángulos.

o a su prolongación en 

Dando lugar a tres casos:
Primer caso.

corta a los lados AB y BC por puntos interiores a ellos:

por carácter reflejo

por ser 

correspondientes entre r || AC, secante AB

por ser correspondientes entre r || AC, secante BC

Por otra parte, en virtud del corolario del Teorema de Tales se tiene:

Si por M se traza una paralela al lado AB, esta interseca al lado AC en un punto N, y nuevamente por el corolario del Teorema de Tales tenemos:

Pero dado que AN = LM, por ser lados opuestos del paralelogramo ALMN, reemplazando en {\displaystyle \bigoplus }

se obtiene:

De

y

se obtiene la consideración que llamaremos (2):

Luego de (1) y (2), resulta:

por definición de semejanza.

Consideramos BLM como si fuera el triángulo dado, y BAC el triángulo nuevo, y por el caso I de la demostración, es:

por carácter simétrico.

Si

corta los lados AB y BC en puntos que pertenecen a las semirrectas opuestas a las que sirven de sostén a dichos lados.

Quedan entonces

por el caso I, semejanza que llamaremos

• BN=BM por construcción
• α=α' por ser opuestos por el vértice.
• β=β' por ser alternos internos entre r || s, secante LN

Y siendo BNO=BLM es BNO ~ BLM

por el primer corolario de la definición.

De

y

, y por carácter transitivo:

BAC ~ BLM

BLM ~ BAC

     

     

Si en un triángulo rectángulo hay catetos de longitud

, y la medida de la hipotenusa es

, entonces se cumple la siguiente relación:

De esta ecuación se deducen tres corolarios de verificación algebraica y aplicación práctica:

Demostraciones supuestas de Pitágoras.

• De la semejanza entre ABC y AHC:

y dos triángulos son semejantes si hay dos o más ángulos congruentes.

• De la semejanza entre ABC y BHC:

Los resultados obtenidos son el teorema del cateto. Sumando:

Pero

, por lo que finalmente resulta:

Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación entre las superficies de figuras semejantes.

Los triángulos PQR y PST son semejantes, de manera que:

siendo r la razón de semejanza entre dichos triángulos. Si ahora buscamos la relación entre sus superficies:

obtenemos después de simplificar que:

pero siendo

la razón de semejanza, está claro que:

Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCH tenemos que:

que de acuerdo con las propiedades de las proporciones da:

y por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC resulta que:

pero según (I)

, así que:

y por lo tanto:

quedando demostrado el teorema de Pitágoras.

• Uno de ellos –centro– está formado por los cuadrados de los catetos, más cuatro triángulos rectángulos iguales al triángulo inicial.
• El otro cuadrado –derecha– lo conforman los mismos cuatro triángulos, y el cuadrado de la hipotenusa.

Si a cada uno de estos cuadrados les quitamos los triángulos, evidentemente el área del cuadrado gris

equivale a la de los cuadrados amarillo y azul

habiéndose demostrado el teorema de Pitágoras.

1. Se divide el polígono en N triángulos (T₁, T₂, T₃,…, T_N) . Estos triángulos cumplen que uno de sus lados es un lado del polígono y que todos confluyen en un mismo punto interior.

1. Se miden las alturas (h₁, h₂,…, h_N) de los triángulos. La altura de cada triángulo será el segmento de recta perpendicular al lado del polígono que va desde ese mismo lado hasta el punto interior.

1. Se calculan las áreas de los N triángulos. El área del primer triángulo es:

   

   Utilizamos la misma fórmula para calcular el área de los otros N-1 triángulos.
2. Sumamos las N áreas y obtenemos el área del polígono irregular:

   

   Un procedimiento muy útil para hallar el área de cualquier polígono irregular es a través del determinante de Gauss.
   
   Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano, fijando las coordenadas de cada uno de los vértices del polígono.
   

   

   
   Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente fórmula. Se ha de recorrer el polígono en el sentido contrario al de las agujas del reloj, teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al vértice elegido y, después de recorrer en sentido antihorario todos los vértices, el último par debe volver a ser el par inicial.
   
   Sean los vértices del polígono: (x₁,y₁), (x₂,y₂),…, (x_N,y_N). La fórmula és la siguiente:
   
   
   

   

   
   
   Resolviéndolo por el procedimiento conocido, habremos hallado rápidamente el área del polígono irregular.
   
   Este método es aplicable a cualquier polígono con cualquier número de lados, tanto en el caso de polígonos cóncavoscomo en los convexos.
   
   

Paralelepípedo.

Paralelepípedo oblicuo.

• Es un poliedro de seis caras (hexaedro), cada una de las cuales es un paralelogramo.
• Es un hexaedro con tres pares de caras paralelas.
• Es un prisma cuya base es un paralelogramo.

En el caso más general, el volumen de un paralelepípedo se calcula multiplicando el área de cualquiera de sus caras por la altura respecto de dicha cara. La altura debe medirse en la perpendicular levantada respecto del plano que contiene la cara que se considera como base, como muestra la figura adjunta.

En el caso más sencillo de que todas las caras sean perpendiculares entre sí, el volumen se calcula multiplicando las longitudes de las tres aristas convergentes en cualquier vértice. Por lo tanto, si las tres aristas concurrentes a un vértice miden a, b y c entonces su volumen se calcula a través de la fórmula:

En el caso particular del cubo, en el que todas las aristas tienen la misma dimensión, el volumen es el lado elevado al cubo:

En general, si

y

son vectores que definen aristas concurrentes en un vértice, el volumen del paralelepípedo es igual al valor absoluto del producto mixto:

La ecuación (4) es equivalente al valor absoluto del determinante de la matriz tridimensional formada por los vectores a, b y c como filas o columnas:

Un cono es una figura tridimensional con una base circular. Una superficie curvada conecta la base y el vétice.

El volumen V de un cono con radio r es un tercio del área de la base B por la altura h .

Volumen de una esfera.

Volumen de una pirámide.Una pirámide es un políedro con una base que es cualquier polígono . Sus otras caras son triángulos.

                                                                                                             

Sus caras son polígonos regulares

                                                                                                             

En cada vértice concurren el mismo número de caras.

Solo existen  cinco poliedros regulares:

              

• El tetraedro formado por 4 caras que son triángulos equiláteros iguales.
• El hexaedro o cubo formado por 6 caras que son cuadrados iguales.
• El octaedro formado por 8 caras que son triángulos equiláteros iguales.
• El dodecaedro formado por 12 caras que son pentágonos regulares iguales.
• El icosaedro formado por 20 caras que son triángulos equiláteros iguales.

   

                 

                         

                   

Un tetraedro regular es un poliedro regular formado por 4 triángulos equiláteros iguales.
Es una pirámide triangular regular.

Los elementos fundamentales de una pirámide o de un tetraedro son caras, aristas, altura, apotema y vértices.

Las caras pueden ser:
     Base es un polígono cualquiera en el caso de la pirámide o un triángulo equilátero en el tetraedro.
     Caras Laterales son triángulos equiláteros o isósceles. 

Las aristas  pueden ser:
     Aristas Basicas  son los lados de las bases.
     Aristas Laterales son los lados de las caras laterales que no son las                   aristas básicas.

Los vértices pueden ser:
     Vértices de la Base son los vértices del polígono de la base.
     Vértice o cúspide de la pirámide es el punto donde se encuentran las                 aristas laterales.

La altura es la distancia que hay desde el vértice o cúspide de la pirámide hasta la base.

La apotema es la altura de los triángulos de las caras laterales.

 
           

           

           

               

                                                        
Dos prismas importantes son el cubo y el ortoedro.

• El cubo es un prisma que tiene seis caras que son cuadrados iguales. Por eso el cubo es un poliedro regular.
• El ortoedro es un prisma que tiene las seis caras rectangulares

       

             

             

       

                       

Un octaedro es un poliedro regular formado por 8 triángulos equiláteros iguales.
Se puede considerar formado por la unión, desde sus bases, de dos pirámides cuadrangulares regulares iguales.

         

           

             

           

Un dodecaedro regular es un poliedro regular formado por 12 pentágonos regulares iguales.
Un icosaedro regular es un poliedro regular formado por 20 triángulos equiláteros iguales

 

         

       

         

Un icosaedro regular es un poliedro regular formado por 20 triángulos equiláteros iguales

• Las caras de cada uno de ellos son polígonos regulares.                                         

  

• Todas las caras de cada uno de ellos son iguales.
•  En cada cara, concurre el mismo número de caras en cada vértice.

                                                                                   C + V = A + 2                         

Los balones de fútbol han estado hechos siempre con 12 pentágonos y 20 hexágonos (icosaedro truncado), aunque hoy día algunos han cambiado por otra forma poliédrica más redondeada (el pequeño rombicosidodecaedro) que tiene 20 triángulos, 30 cuadrados y 12 pentágonos

                                             

                             El icosaedro truncado es un sólido de Arquímedes que se obtiene truncando cada vértice de un icosaedro              

                                                                                               

                                                         USOS

• Directa: si la homóloga conserva la orientación de la original.

• Inversa: si la homóloga tiene el sentido contrario a la original.

• Isométricas: el homólogo conserva las distancias y los ángulos. A este grupo, también se le llama movimientos en el plano.

• Isomórficas: el homólogo conserva la forma y los ángulos. Por lo tanto, existe proporcionalidad entre los lados del homólogo y el del original.

• Anamórficas: cambia la forma de la figura original. En este tema, estas transformaciones no se van a tratar.

• Transformación directa: Si conserva la orientación y esto sucederá si y solo si .
• Transformación inversa: Si invierte la orientación, que esto sucede si y solo si .

• Isométricass: Conserva los ángulos y las distancias. Este hecho equivale a decir que .
• Isomórficas: Conserva los ángulos y su forma, existiendo una razón de proporcionalidad entre los lados del original y del homólogo. Esto equivale a decir que  y, y que las distancias que existían en la figura original se ven multiplicadas por el factor . Por lo tanto,  es la razón de semejanza entre las dos figuras.
• Anamórficas: No pueden ser representadas por una matriz dado que no conservan ni los ángulos no las proporciones. Por lo tanto, este tipo de aplicaciones no son lineales.

1. Tetraedro: que tiene 4 caras en forma de triángulos equiláteros
2. Hexaedro o cubo: que tiene 6 caras en forma de cuadrados.
3. Octaedro: que tiene 8 caras en forma de triángulos equiláteros
4. Dodecaedro: que tiene 12 caras en forma de pentágonos regulares
5. Icosaedro: que tiene 20 caras en forma de triángulos equiláteros.

1. Dibuja en proyección horizontal un triángulo equilátero ABC, que será la base del tetraedro. Coloca uno de los lados perpendicular a la línea de tierra para facilitarnos la tarea.
2. Encuentra el circuncentro del triángulo equilátero, con la intersección de las mediatrices de sus lados. Es el mismo que el incentro, o intersección de las bisectrices de los ángulos. Une ese centro V con los tres vértices del triángulo y ¡ya tienes la proyección horizontal!
3. Para encontrar la altura abatiremos una de las caras del tetraedro. Sabemos que la cara ABV es en realidad un triángulo equilátero, así que si dibujas un triángulo equilátero cuyo lado sea a-b obtendrás (V) abatido. Esto se hace dibujando dos arcos de circunferencia, ambos con un radio a-b y con centros uno en a y otro en b.
4. La distancia 1-(V) es la altura de la cara, que es la que veremos de perfil en la proyección vertical. Dibuja un arco de circunferencia con centro en a’=b’ y radio 1-(V) que cortará a la perpendicular desde v en v’. ¡Ya tienes la altura del tetraedro!
5. Une v’ con a’ y con c’ y tendrás el dibujo del tetraedro.

Precisamente en esta posición del tetraedro es fácil leer su sección principal. En la sección principal vemos la altura de cara H en la base, la altura de cara H en un lado de la sección y el lado o longitud de la arista L en el otro.

Así que a partir de ahora, cuando conozcas el lado de un tetraedro puedes dibujar su sección principal inmediatamente de la siguiente manera.

Ahora vamos a ver algunas posiciones especiales del tetraedro. Puesto que ya sabemos hacer giros, eso es lo que haremos. El primero será un giro alrededor de un eje vertical que pasa por el vértice superior V hasta colocar una de las aristas de perfil. Para ello tendrás que girar el vértice a hasta alinearlo con el v y a partir de él dibujar nuevamente el triángulo. Como sabes, el vértice V no se mueve porque pertenece al eje de giro y los otros 3 vértices A, B y C se desplazan en proyección horizontal en paralelo a la línea de tierra.

Volvamos a la posición original y hagamos ahora un giro con una recta de punta que pasa por la arista A-B hasta situar la arista C-V como recta horizontal y paralela a ambos planos de proyección. Obtenemos una posición en la que el tetraedro tiene dos aristas horizontales, una apoyada en el plano horizontal y la otra elevada y perpendicular a la anterior.

Otra posición interesante es aplicando a la anterior un giro de 45º alrededor de un eje vertical que pasa justo por el centro del tetraedro, o, lo que es lo mismo, por el centro del cuadrado en proyección horizontal. Se consigue así una vista en la que el tetraedro queda inscrito en un cubo y las dos proyecciones tienen el contorno perfectamente cuadrado.

Se podría decir mucho más del tetraedro pero con esto es suficiente para nivel de bachillerato. Lo más importante es que conozcas cómo construirlo si lo único que conoces es un lado o la sección principal y que conozcas las posiciones características para reconocerlo y poder trabajar fácilmente con ellas.

El octaedro regular tiene 8 caras que son todas triángulos equiláteros. Dibujar un octaedro a partir de un lado es algo de lo más sencillo. Una de las posiciones más comunes y sencillas del octaedro es colocarlo apoyado en un vértice, poner una de sus diagonales vertical y 4 aristas paralelas al plano horizontal. Estas 4 aristas se ven como un cuadrado cuyo lado es el lado del octaedro.

Al igual que nos pasó con el tetraedro, también es en esta posición como se ve directamente la sección principal del octaedro regular. La sección principal es un rombo, cuyos 4 lados tienen la dimensión de la altura de cara y cuya diagonal menor es el lado del octaedro. La diagonal mayor es la diagonal del octaedro.

Si conocemos el lado del octaedro es fácil construir su sección principal. Solo hay que poner un segmento con la dimensión del lado y dibujar dos triángulos, uno a cada lado de este segmento, cuyos lados sean de la dimensión H (altura de cara)

Vamos a encontrar algunas posiciones singulares mediante giros del octaedro. Por ejemplo, si a la posición original que teníamos le hacemos un giro de 45º alrededor de un eje vertical que pasa por los vértices superior F e inferior E obtenemos una posición en la que las dos proyecciones se ven como cuadrados con sus diagonales dibujadas. Esta posición es fácil de dibujar porque el lado de cada cuadrado es el lado del octaedro.

Desde la posición original hacemos un giro alrededor de un eje horizontal y de punta que pasa por el vértice E, de tal manera que una de las caras queda apoyada en el plano horizontal y otra queda paralela al plano horizontal. En esta posición vemos la proyección horizontal del octaedro con un contorno en forma de hexágono regular que tiene en su interior dibujados dos triángulos equiláteros que son las caras del octaedro en verdadera magnitud, uno como una cara vista (la superior) y otro como una cara oculta (línea discontinua, la cara inferior).

Daremos aún un último giro al octaedro, en este caso alrededor de un eje vertical que puede pasar por cualquier punto, por ejemplo tomo el centro del hexágono. Hacemos un giro de tal manera que dos lados del hexágono queden perpendiculares a la línea de tierra. Así, en proyección horizontal seguimos viendo un hexágono con dos triángulos equiláteros inscritos y, en proyección vertical tenemos un contorno de forma rectangular cuya altura es exactamente la distancia entre caras.

De entre todos los poliedros, el más conocido y utilizado es sin duda el hexaedro regular o cubo. Tiene 6 caras que son cuadrados y en cada vértice confluyen 3 caras perpendiculares entre sí. Construirlo dado un lado es de lo más sencillo, puesto que solo tenemos que dibujar el cuadrado con ese lado, dibujar perpendiculares desde cada vértice, poner sobre cada una la dimensión del lado y unirlas. Aquí tienes en primer lugar la posición en que el cubo se ve como dos proyecciones cuadradas. Y en la segunda imagen le he aplicado un giro de 45º alrededor de un eje vertical, de manera que en la proyección vertical las caras se ven oblicuas.

La sección principal del cubo es aquella en que este se corta por un plano perpendicular a dos caras que pasa por la diagonal del cubo. En la segunda vista que teníamos en el dibujo anterior podemos ver la sección principaldirectamente. Esta sección principal es un rectángulo con dos lados opuestos iguales que son dos lados L del cubo y los otros dos lados opuestos que son diagonales d de cara. La diagonal de la sección principal es la diagonal D del cubo. Así que, esta sección contiene toda la información importante del cubo.

Construir la sección principal a partir del lado del cuadrado es muy fácil. Dibuja el cuadrado completo con un lado de dimensión L. Dibuja una diagonal d del cuadrado. Esta diagonal será el lado de la sección principal, así que lleva esta dimensión con el compás hasta el lado inferior y desde ahí dibuja el rectángulo. Es más fácil de entender con un dibujo.

Una de las posiciones más peculiares que tiene el cubo es apoyado sobre un vértice y con la diagonal del cubo en posición vertical. Esto lo podemos conseguir a partir de la posición definida anteriormente. Solo tenemos que aplicar un giro alrededor de un eje de punta que pasa por el vértice inferior B hasta que la diagonal D queda como recta vertical. En esa posición, el punto H se superpone al B. Es característico de esta posición que la proyección horizontal tiene contorno de hexágono regular. La proyección vertical tiene las alturas divididas en 3 tercios y también se puede inscribir en una circunferencia.

El dodecaedro es un poliedro regular compuesto por 12 caras que son pentágonos regulares. Este empieza a ser más complejo que los poliedros anteriores, pero te enseñaré cómo dibujarlo de una manera sencilla. Consideraremos para nuestra comodidad que el dodecaedro está apoyado en una cara. Dibuja un pentágono regular ABCDE con lado igual al lado del dodecaedro, de manera que este pentágono sea la cara del dodecaedro apoyada en el plano horizontal. Para mayor facilidad dibuja uno de los lados AB perpendicular a la línea de tierra. Para dibujar las caras adyacentes utilizaremos el desabatimiento: dibujaremos las caras abatidas sobre el plano horizontal de proyección y en el movimiento de desabatimiento de ambas encontraremos la posición de un nuevo vértice. Las caras que comparten lado con AB y AE tienen un vértice común, que es el vértice (F) abatido. Si desplazamos este vértice en perpendicular a su correspondiente charnela AB y AE encontraremos la posición del vértice f en proyección horizontal

Para encontrar su proyección vertical tendremos que hacer un giro de la arista A-F hasta ponerla como frontal de plano a-f1 (recta a-f en posición girada). Con un arco de circunferencia de radio L con centro en a’ obtendremos la posición de f1’. El giro se deshace en proyección vertical con una recta paralela a la línea de tierra.

Tendremos otros 4 vértices G, H, I, J del dodecaedro a esta misma altura que f’. En proyección horizontal se encuentran en una circunferencia con centro en O y radio O-f y los puedes encontrar uniendo el centro O con los vértices b, c, d y e. El nivel superior de vértices lo podemos deducir a partir del desabatimiento de la cara ABFGK. Esta cara se encuentra en un plano proyectante, así podemos encontrar la posición de k’ como prolongación de la arista a’-f’ y trazando el arco de circunferencia del desabatimiento.

Para encontrar el punto L de este segundo nivel superior solo tienes que prolongar la recta O-e y l se encuentra en su intersección con la circunferencia de radio O-f.  El punto m se encuentra en la prolongación de la recta O-a y así sucesivamente. Todos estos puntos l, m, n, p tienen su proyección vertical en una recta paralela a la línea de tierra a la altura de k’.

Por último solo queda dibujar los vértices de la cara superior, que es también paralela al plano horizontal de proyección. Se trata de un pentágono simétrico al dibujado originalmente, que tiene sus vértices en la circunferencia de radio O-a y en las rectas que pasan por el punto medio de cada lado de ABCDE. Por ejemplo el punto q se encuentra en la mediatriz del lado a-b, o lo que es lo mismo, en la prolongación de la recta O-d. En cuanto a la proyección vertical, la distancia H desde la base inferior hasta la primera altura de vértices (F, G, H, I, J) es la misma que desde la base superior hasta la segunda altura de vértices (K, L, M, N, P). ¿Cómo dibujar el dodecaedro?Puedes empezar dibujando el contorno en proyección horizontal, que es todo visto: f-k-g-l-h-m-i-n-j-p. Seguidamente puedes dibujar la cara superior formada por los vértices q-r-s-t-u, ya que sabemos que será vista. Por último puedes unir cada uno de estos vértices con el que se encuentra en la prolongación de su radio: q-k, r-l, s-m, t-n, u-p. El resto serán aristas ocultas. En proyección vertical, tendremos muchas aristas que se superponen, gracias a que hemos colocado una de las caras como plano proyectante vertical. Todas las aristas ocultas quedan tapadas por las vistas, así que, aparte del contorno existen pocas líneas en el interior que haya que remarcar. Ve siguiendo con detenimiento la sucesión de puntos en las caras de la proyección horizontal para unirlas en proyección vertical. Y así queda terminado el dodecaedro. Es cierto que la elaboración es tediosa, pero en realidad el concepto es sencillo. Fíjate que en proyección horizontal se trata solo de dos circunferencias divididas en 10 partes. La interior contiene dos pentágonos simétricos inscritos y la exterior un decágono regular.

En la posición que hemos dibujado el dodecaedro se puede ver la sección principal en verdadera magnitud. La sección principal pasa por dos aristas opuestas y corta 4 caras por el punto medio, así que la sección es un hexágono irregular formado por 2 alturas de cara a, 1 lado L y nuevamente 2 alturas de cara a y un lado L.

Se puede ver también la distancia H entre caras paralelas y las distancias h entre los diferentes niveles de vértices.

Vamos con el último de los poliedros regulares. El icosaedro es un poliedro regular formado por 20 caras que son todas triángulos equiláteros. En cada uno de sus vértices concurren 5 aristas y 5 caras. El conjunto forma un total de 30 aristas y 12 vértices. Para construir el icosaedro a partir de la dimensión de una arista lo consideraremos apoyado en uno de sus vértices, con la diagonal que sale desde ese vértice en diagonal. Visto en esta posición, el icosaedro se puede entender como una parte una pirámide superior de base un pentágono regular, una franja intermedia formada por 10 caras y otra pirámide inferior pentagonal. La proyección horizontal es sencilla de conseguir: dibuja un pentágono regular cuyo lado sea la dimensión L de la arista y une cada uno de sus vértices con el centro. Esta será la pirámide superior. Ahora dibuja otro pentágono inscrito en la misma circunferencia (es decir, de las mismas dimensiones y con el mismo centro) cuyos vértices estén en las mediatrices de los lados del primer pentágono. Esta será la pirámide inferior y, por tanto, tendrás que dibujarla en discontinua. La proyección horizontal se completa uniendo los vértices de ambos pentágonos, de manera que el contorno es un decágono.

Como puedes ver, la altura H1 de la primera línea de vértices (los vértices situados en la base de la pirámide inferior) se encuentra trazando un arco de radio L desde el vértice inferior 1. Para ello es necesario que una de las aristas (la arista 1-2 en este caso) esté en posición frontal, es decir, con la proyección horizontal paralela a la línea de tierra. Para encontrar la segunda altura H2 utilizaremos nuevamente una recta frontal de plano, en este caso la arista 3-4. Traza desde el vértice 3’ un arco de circunferencia de radio L que cortará a la recta de proyección del punto 4 en 4’.

La altura de la pirámide superior es igual a la de la inferior con lo que ya puedes completar el icosaedro.

En esta posición del icosaedro se reconoce directamente la sección principal. La altura a del triángulo equilátero la puedes obtener abatiendo una de sus caras. Para mayor facilidad, toma como charnela para el abatimiento una recta horizontal.

Quizá la posición en que hemos dibujado el icosaedro no sea muy reconocible porque tiene las aristas posteriores ocultas por las que se encuentran delante. Si aplicamos un pequeño giro alrededor de un eje vertical de manera que una arista de la pirámide superior quede como de perfil obtendremos una imagen que posiblemente te resulte más familiar.

• El tetraedro es conjugado de sí mismo
• El cubo es conjugado del octaedro y a la inversa
• El dodecaedro es conjugado del icosaedro y a la inversa.

En principio esto es todo lo que debes saber de poliedros regulares. Este ha sido un artículo largo, pero en realidad es sencillo de entender porque todo es muy lógico, basta con que lo razones para llegar a entenderlo. Como te decía al principio, este tema es muy importante porque puede salir en cualquier examen, aunque no lo esperes.