lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}

Consideremos la función f(x) = x^2/(x-1). A medida que x tiende a 1, f(x) tiende a 0/0. Podemos aplicar la regla de L'Hôpital para obtener el límite:

lim_{x\to 1}\frac{x^2}{x-1} = lim_{x\to 1}\frac{2x}{1} = 2

Otro ejemplo es la función f(x) = ln(x)/x. A medida que x tiende a 0, f(x) tiende a ∞/0. Podemos aplicar la regla de L'Hôpital para obtener el límite:

lim_{x\to 0}\frac{\ln(x)}{x} = lim_{x\to 0}\frac{\frac{d}{dx}[\ln(x)]}{\frac{d}{dx}[x]} = lim_{x\to 0}\frac{1/x}{1} = -\infty

La regla de L'Hôpital también se puede aplicar a límites indeterminados más generales, como (a^x)/(b^x) o (sin(x))/(x). En estos casos, la regla puede no dar el resultado correcto, pero puede ayudar a simplificar la expresión y facilitar el cálculo del límite.

La regla de L'Hôpital no siempre funciona. Si f(x) y g(x) tienen la misma derivada en un punto, entonces la regla no nos da ningún resultado. Por ejemplo, consideremos la función f(x) = x^2 - 1 y la función g(x) = x^2 + 1. Estas funciones tienen la misma derivada en cualquier punto, por lo que la regla de L'Hôpital no nos da ningún resultado para el límite de f(x)/g(x) cuando x tiende a 0.

La regla de L'Hôpital es una herramienta útil para calcular límites de funciones que tienen la forma indeterminada 0/0 o ∞/∞. La regla puede no dar el resultado correcto en todos los casos, pero puede ayudar a simplificar la expresión y facilitar el cálculo del límite.