수학에 대한 흥미, 가치 인식은 보통인 편으로 수학을 왜 배워야 하는지 그 필요성을 잘 인식하고 있으며, 수학 학습 활동에 그렇게 거부감을 보이지 않는 특성을 가진다고 볼 수 있다. 실제 지도 시에도 교과서 탐구활동으로 제시되는 부분(기하평균의 기하학적인 관점 등), 학습 내용의 의미를 세세하게 살펴보며 흥미를 끌어올리고자 노력하고 있다.

또한 자기관리와 학습 전략이 보통인 편으로 학습 시 집중도나 시간 관리가 양호하며 방해받는 상황을 비교적 잘 관리하고, 문제 이해도, 오답 검토가 비교적 잘 이루어지며 예습 및 복습 역시 나름 관리한다고 볼 수 있다. 실제로 수학 학습 시 집중도가 높은 편이고, 수학에 할애하는 시간이 다른 과목 학습을 방해하지 않을 정도로 잘 조절하며, 문제집을 풀 때도 잘 이해한 문제, 풀었지만 다음에 틀릴 가능성이 있는 문제, 틀렸다면 틀린 이유와 문제를 해석하는 방법 등을 꼼꼼히 기록하는 학생이다. 또한 복습이 철저한 학생으로 이전에 배운 내용을 잘 숙지하고 있다.

다만 수학에 대한 자신감과 학습 의욕은 낮은 편으로, 문제 해결에 낮은 자신감을 보이고, 실패에 대한 원인을 능력의 부족으로 생각할 수 있으며, 어려운 문제를 쉽게 포기하는 특성을 가진다고 할 수 있다. 수학 학습 동기와 연관 지어 살펴보면, 칭찬에 영향을 많이 받기 때문에 이것과 높은 수학 성적이 목표가 되는 것에 대해 생각하는 시간을 가지고, 이와 함께 내적 동기 부여를 위한 방안이 보완되어야 할 것으로 보인다. 과거에는 문제를 풀다가 잘 풀리지 않으면 고민해보지 않고 모르겠다고 대답하는 경우가 많았는데, 수업을 진행하면서 칭찬을 해주었더니 점차적으로 나아지며 할 수 있는 만큼 해결하는 모습을 보여주었기 때문에 앞으로도 충분히 개선될 가능성이 있을 것으로 보인다. 이러한 과정은 곧 수학적 성공 경험의 누적으로 이어지므로 학습 의욕 역시 고취시킬 수 있을 것으로 보인다. 다만 학생과 이야기 해봤을 때, 성적이 잘 나오지 않으면 부모님께서 부정적 피드백을 주시는 경우가 있다고 했는데 이것이 곧 자신감을 저해시키는 요인이 될 수 있다 판단했다. 이 부분에 대한 직접적 해결보다는 수업 시간에 성취에 대한 적절한 보상과 칭찬을 제공하여 이를 개선시키고자 한다.

출제된 문제에 대해서 손을 아예 대지 못하는 문제는 없었다. 어떤 문제가 나오더라도 우선 본인이 알고 있는 내용을 통해 해결하고자 시도하는 모습을 보였다. 이를 통해 수학적 불안 측면에 대한 검사결과와 일치함을 알 수 있었다. Khan academy의 경우 문제마다 바로 정답을 확인할 수 있는 형태인데, 개념을 활용하는 문제의 경우 단번에 해결했으나 반대로 개념을 묻는 일부 문제에 대해서는 처음에 오답을 고르는 경우가 많았다. 물론 오답임을 알고 난 후에 고치고 나서는 정답을 다시 골랐다. 아래 [첨부 3]에서 ‘익숙함’과 ‘시도함’ 문항을 살펴보았을 때 이를 알 수 있다. 학생의 자기관리와 학습 전략과 연관 지어 살펴보면 문제집을 푼다던지 수학 공부를 할 때 보통 개념 자체를 묻는 문제보다는 개념을 이용하여 해결하는 여러 유형의 문제를 접하게 되는데, 이에 익숙해져서 ‘이 개념은 당연히 이런 것이다.’ 라는 생각으로 문제를 기계적으로 해결하고 있지 않았을까? 하는 생각이 든다. 문제 해결에 대한 스스로의 피드백은 매우 성실하게 잘 이루어지고 있으나 비중이 이것에 치중되어 있어 개념 자체에 대한 스스로의 피드백에는 소홀했을 가능성이 있다고 생각한다.

그러나 문제를 풀기 전 그와 해당된 개념을 같이 설명해줌으로써 그 문제뿐만 아니라, 개념만을 이용해 풀 수 있는 문제까지 해결할 수 있게 만드는 일석이조의 효과를 얻을 수 있었다. 

또한, 일반적인 풀이뿐 아니라 다른 방법으로의 풀이를 접하며 너무 지름길로만 풀지도, 시간관리가 안되게 풀지도 않도록 하기 때문에 스스로 푸는 시간조절의 능력을 향상시킨 점이 효과가 있다고 느꼈다.

   

❏ 명료한 공학 도구를 활용해서 학생들이 공학도구 내 벤 다이어그램을 통해 집합의 연산법칙을 눈으로 직접 확인하기 좋았을 것 같습니다. 하지만 좌변과 우변에 대한 벤 다이어그램을 모두 활동지에 채워 넣게 되면서 다소 시간이 많이 소요되는 것 같습니다. 학생 별로 도달하는 시간이 다를 것인데 비슷하게 활동할 수 있게끔 좌변은 활동지에 채워 넣고, 우변은 확인하는 식으로 가면 수업의 흐름을 잃지 않으면서 진행할 수 있을 것이라 생각합니다.

   

❏ 학생들이 한 활동을 하나씩 발표해보는 것은 학생들 간에 같은 생각을 했는지 확인해보기에 좋을 것이라 생각합니다. 드모르간의 법칙을 공학도구로 활동하기 전 앞 연산 법칙에 대한 정리를 하고 가면 더욱 좋을 것 같습니다.

   

❏ 수업 중에 “~같아요.”의 발문을 많이 하시는 것 같았습니다. 수업 중에 명확한 발문을 통해 학생들이 무엇을 해야 할지 명료하게 전달해주는 것이 좋을 것이라 생각합니다.

   

❏ 마지막 문제 푸는 부분에서 학생들에게 어느 정도 풀었는지에 대해서 물어보고 바로 문제에 대한 힌트를 주는 부분에서 토파즈 효과가 일어날 수도 있었겠다는 생각이 들어 주의가 필요하다고 생각했습니다. 

   

❏ 선수학습 확인하는 과정에서 학생들에게 저번 차시에 배웠던 내용에 대해서 질문, 후에 방정식을 배웠던 방법을 모두 활용하여 푸는 것을 보며 학생들이 전 시간에 배웠던 내용에 대해 효과적으로 상기할 수 있겠다는 생각이 들었습니다.

   

❏ 도입부를 최근의 행사와 관련된 흥미로운 소재로 활용했다는 것이 좋았고, 보통 도입에서 일방향으로 진행하는 수업만을 봤었는데 학습 활동을 한 후에 다시 도입부로 돌아와서 문제를 해결해보도록 구성한 수업이 신선했습니다.

   

❏ 조별 활동에서 한 문제 당 조원들이 돌아가며 조장이 되어 같은 조원들과 의견을 공유하며 문제를 해결하고 이를 발표하는 과정에서 교과 역량을 학생들이 충분히 함양할 수 있는 수업이 되겠다고 느꼈습니다. 또한 학생들이 주체가 되어 수업을 이끌어 나갈 수 있다는 점이 좋은 수업이었습니다. 학생들이 어려움을 느낄 경우 교사가 이를 면밀히 관찰하다 적절하게 개입하여 수업이 원활하게 이루어 질 수 있었던 것 같습니다.

   

❏ 다만 한 차시에 보다 많은 활동을 넣어 그 시간 안에 수업이 모두 해결되지 않은 점은 아쉬운 점으로 남습니다. 학습 활동 중에 있어 소요 시간에는 학생들의 상황에 따라 많은 변수가 있을 것이라 생각합니다. 그렇기 때문에 각 활동에 대한 시간을 좀 더 넉넉하게 배정하고, 1차시의 활동지를 그 시간 안에 끝낼 수 있도록 스피드퀴즈와 같은 활동은 제외하여 활동지를 구성하면 더욱 좋을 것 같습니다.

   

❏ 또한 학생들에게 자기평가지를 배부해서 학생들이 스스로의 학습을 점검하도록 하는 것은 좋았지만, 평가가 어떻게 이루어지는지에 대한 안내는 수업에서 언급되지 않았던 것 같습니다. 이 수업을 통한 평가가 어떻게 이루어지는지를 알려주면 더 좋겠습니다.

   

❏ 사전에 진단평가는 실제 평가에 반영되지 않으니 편하게 임하라는 점에서 학생들에게 평가에 대한 안내를 적절히 했다고 생각합니다. 다만 평가 기준에서 공학 도구를 사용에 관한 항목이 있는데 뒤에서 언급하겠지만 이 부분에 대한 평가는 이번 수업에서는 어려워 보입니다. (학생이 활용하지는 않았기 때문에)

   

❏ 영상을 통해 일차함수의 필요성을 인식하게 하며 학생들의 흥미를 유발한 점이 좋았습니다. 수업 때 공학도구와 매체를 적절히 활용하여 수업이 지루하지 않게끔 구성하신 것 같아 학생들이 집중해서 수업에 임했을 것 같습니다. 다만 아쉬웠던 점은 학생이 공학 도구를 직접 다뤄보는 것이 아닌 교사가 다루는 과정을 보며 확인하는 부분이었습니다. 컴퓨터실과 같은 공간을 활용한다면 학생들이 직접 공학 도구를 통해 확인해보고, 이 과정을 교사가 돌아다니며 검토하는 것도 괜찮을 것 같습니다.

   

❏ 학생에게 확인 받는 방식으로 역으로 학생을 확인하는 수업 방법이 참신했습니다.

   

❏ 각 발문에 대해 학생에게 적극적인 피드백을 실시해서 학생들이 자신의 대답이 올바른지 명확히 확인할 수 있을 것이라 생각합니다. 또한 격려의 피드백을 통해 학생들이 수학에 자신감을 가질 수 있을 것으로 보입니다.

   

❏ 정해진 시간에 수업 계획서대로 수업을 잘 진행하신 것 같습니다. 수업에 대해 고민을 많이 하신 것 같습니다. 다만 협력 학습이 계획에 나와있었으나 그 부분은 명확하게 드러나지 않은 것 같아 아쉽습니다.

   

❏ 이차곡선은 원뿔을 절단해서 얻을 수 있는 곡선임을 알 수 있는 부분이 언급되지 않은 것 같습니다. 다른 방법으로 도입하는 것은 좋았으나 설명이 필요할 것 같습니다.

   

❏ 활동지의 순서 배열이 수업을 참관했을 때 일부 변경이 필요할 것 같습니다. 선수 학습을 확인하는 과정이 탐구 활동과 마무리 사이에 들어간 뒤에 확인하는 방식으로, 수업 흐름 상 개념 정리를 마무리에 하고 앞에 타원의 개념에 대해서 언급하지 않기 때문에 순서를 마무리 부분으로 미루는 것이 바람직할 것 같습니다.

   

❏ 지도안에는 토의 및 토론 학습을 계획하신 것 같은데, 학생들 간의 토의 및 토론 활동은 나타나지 않은 것 같습니다. 또한 학생들이 이번 수업에서 탐구 활동의 어려움으로 시간이 소요되고, 그에 대한 설명으로 이 차시에 수업을 모두 진행한다고 하면 보다 치밀한 계획이 필요할 것 같습니다.

   

❏ 가성비라는 단어를 학생들이 처음 들었을 수도 있는데, 수업 시간에 친절하게 안내하여 학습하는데 어려움이 없게끔 한 부분에서 다양한 학생들의 눈높이를 고려했음을 느꼈습니다.

   

❏ 가성비의 공식을 (가격)/(지름)^2으로 도입하고, 학생들과 질의응답하는 과정에서 닮음비를 이용하기 때문에 지름을 사용해도 상관없다고 하셨는데, 이전에 배웠던 원의 넓이 공식과 일관성 있는 진행을 위해서는 (가격)/(반지름)^2으로 수업을 하는 것이 더 낫다고 생각했습니다.

   

❏ 학습 정리에서 선수학습에 대한 확인을 다시 했는데, 이 부분은 배운 내용을 활용했던 것이라 같은 내용으로 마무리를 하는 것도 좋지만 학생들에게 활용할 수 있는 내용에 대한 과제를 열린 질문으로 제시하고 과제물로 제출 받아 평가 자료로 활용해도 괜찮을 것 같다고 생각합니다.

   

❏ 원의 방정식의 정의가 수업지도안에서는 선수학습으로 배정되어 있는데, 실제 수업을 참관해보면 10분 정도 소요됨을 확인했습니다. 배보다 배꼽이 큰 느낌이 들었습니다. 복습하는 부분보다 오히려 뒤의 판별식을 유도하는 부분과 같이 본 차시의 활동에 시간이 많이 안배되었으면 더 좋은 수업이 되었을 것 같습니다.

   

❏ 학생들의 개개인에 대한 발문과 피드백은 잘 이루어져 학생에 대해 신경을 많이 쓰고 있다고 생각했습니다.

   

❏ 점과 직선 사이의 공식이 무엇인가요? 라는 발문보다는 어떻게 구했었나요? 라는 발문이 보다 자연스러워 보입니다. 또는 중간에 선수학습을 확인하기 보다는 앞에서 선수학습 확인 때 같이 확인하여 짜임새 있는 수업을 구성하셨다면 더욱 좋았을 것 같습니다.

   

❏ 포트폴리오 과제가 배운 내용을 통해서만 해결하기에는 어려움이 있어 보입니다. 일반화와 같은 과제는 학습 활동에서 수를 통해서 충분히 다룬 다음에 하는 것이 바람직하다고 생각하는데, 이번 차시에서는 전개에서 구분된 활동에서 한 가지씩 정도만을 다뤄 포트폴리오 과제를 수행하기에 충분한 학습이 이루어졌다는 생각이 들지 않습니다.

   

❏ 도입부분을 전 시간 내용에 대한 문제 풀이를 통한 확인이 아닌 개념 설명 후 확인하는 부분을 통해 전 차시에 배웠던 내용을 학생들이 잘 상기할 수 있었을 것 같습니다. (도입 구성은 다른 수업과 같겠으나, 진행 방식에 차이가 있었음)

   

❏ 실제적으로 관련된 소재, 수업에서 필요한 활동에 대한 안내가 잘 들어가 있어 활용 소재를 통해 학생들이 성취수준에 잘 도달할 수 있었을 것으로 보입니다. 또한 학생들에게 골고루 발표 기회를 부여하고, 그에 따른 적절한 피드백을 제공해서 학생들이 자신이 잘 학습하고 있는지 알 수 있게 해주었던 것 같습니다.

   

❏ 동료 교사 입장에서 봤을 땐 흠 잡을 부분이 없는 수업이었다는 생각이 듭니다.

   

❏ 그런데 교수 학습 유의사항같은 경우 원시함수라는 용어는 적분 단원에서 사용이 가능한데 현재 도입하기엔 이른 감이 있는 것 같습니다.

   

❏ 수업을 차분하게 잘 해주셨습니다.

   

2015 개정 수학과 교육과정을 잘 이해했습니다. 포트폴리오 ( 2015 개정 수학과 교육과정에 따른 학교 수업의 변화 (09.06.~09.09.), 수학 수업 계획과 과제 설계 (09.13.) )를 보십시오. 

   

2. 교육과정에 따라 수업을 설계하기 위해 

( 공학 도구를 이용한 정적분과 급수의 합 관계를 학습하는 수학교육 과제를 개발 ) 했습니다. 

포트폴리오 ( 수학교육 과제 개발 (09.16.~10.05.), 수학 수업지도안 (09.23.~10.04.) )을/를 보십시오. 

   

3. 나는 여러 가지 교수・학습 방법의 장단점을 파악하고 수업에 적용할 때 어떻게 해야 할지 고민했습니다. 포트폴리오 ( 각 교수학습 방법의 장단점 고찰 (09.13.) )을/를 보십시오. 

   

4. 나는 여러 가지 평가 방법의 장단점을 파악하고 수업에 적용할 때 어떻게 해야 할지 고민했습니다. 포트폴리오 ( 각 평가 방법에 대한 장단점 고찰 (09.09.) )을/를 보십시오. 

   

5. 나는 학생들의 이해가 이루어지는 수학 수업을 하기 위해 

( 수학 수업지도안을 통한 수업 후 반성을 통해 문제점을 파악하고, 동료 교사와 교수님들의 피드백을 통해 부족한 부분을 개선하여 수업지도안을 수정 )

했습니다. 포트폴리오 ( 조별 2차 수업시연 (10.14. 김수민, 이지환) ㉰. 발표조 – 수업에 대한 성찰, ㉱. 학생 피드백 / 동료교사 피드백, ㉲ 수업시연 후 수정된 수업지도안 )을/를 보십시오. 

   

   

6. 나는 수학교육론과 수학교육과정론 등에서 학습한 이론을 수업 설계에 

( Toeplitz의 발생적 접근을 통한 정적분 지도로써 )

반영했습니다. 포트폴리오 ( 수학교육 과제 개발 (09.16.~10.05.), 수학 수업지도안 (09.23.~10.04.) )을/를 보십시오. 

   

7. 초개인화 수학 학습 지도에서 나는 ( 강원고등학교 2학년 박관우 )학생을

( 인지적 측면과 정의적 측면의 평가에 따라 개념에 대한 반복적 상기를 학습에 녹이고, 수학의 활용성에 초점을 맞추어 흥미를 느낄 수 있도록 하며, 수학에 대한 자신감을 가질 수 있도록 )

지도했습니다. 

   

8. 나는 융·복합 수업의 장점을 ( 변화하는 시대가 요구하는 학습을 반영한 수업이라는 생각과 함께 학생들이 어떠한 문제에 대해 하나의 좁은 관점으로 보는 것이 아닌 하나로 보더라도 넓은 관점으로 볼 수 있는 시각을 길러줄 수 있는 수업이라 느꼈고 ),

문제점을 ( 괴리감이 있는 일부 과목에 대해 융·복합 수업을 이끌어갈 때 세심한 수업 계획이 이루어지지 않는다면 억지로 끼워 맞춘 느낌이 들어 융·복합을 안 한 것만 못한 수업이 될 우려가 있겠다 )라고 느꼈습니다.

9. 나는 ( 각 학습 내용에 대한 내용만을 정리한 것이 아닌, 예비 교사로서 생각해볼만한 것 들을 생각나는 대로 정리하고, 여러 수업을 경험하며 객관적인 시각으로 수업을 바라볼 수 있는 시각을 키우는 연습을 )

했다는 점에서 정말 열심히 공부했다고 생각합니다. 

   

10. 나는 나의 학습을 개선하기 위한 노력을

( 수학교재연구 및 지도법을 학습하며 들게 된 생각과 느낀 점 중 나중에 교사가 되었을 때도 해볼법한 고민에 대한 내용을 기록 )

했습니다. 포트폴리오 ( 융복합 수업 활동 (10.18.~11.18.) ㉰. 융복합 수업지도안을 준비하면서 든 생각 / 수학 수업 계획과 과제 설계(09.13.) ㉮-1. 백워드 수업 설계에 대한 생각 ㉱. 좋은 수학 과제란? / 수학교육 과제 개발(09.16.~10.05. 의 추가 내용 )을/를 보십시오. 

   

11. 이 포트폴리오는 나중에 교사가 되었을 때 

( 더 좋은 수업을 위해 예비 교사의 입장에서 어떤 고민을 했는지에 대한 기록이 될 것이고, 실제로 그 고민과 맞닥뜨렸을 때 찾아보며 해답을 얻을 수 있을 것이며, 동료교사들의 수업을 내가 어떤 관점으로 바라봤고, 어떤 것에 중점을 두고 있는지 나의 수업에 문제가 생긴다면 객관적으로 바라볼 수 있을 것이며, 다양한 교수-학습 방법과 특히 융·복합 수업에 대한 여러 경험을 활용한다는 )

측면에서 도움이 될 것입니다.