Dividimo-lo em 3 partes congruentes e desprezamos a terça parte do meio. Ficamos, desta forma, com a união disjunta de dois segmentos de reta de comprimento 1/3 cada, I₁.

- o segmento, cada novo segmento tem comprimento (1/2);
- os lados do quadrado, obtemos 4 quadrados, cada um com área (1/2)²;
- as arestas do cubo, obtemos 8 cubos, cada um com volume (1/2)³.

Voltando um pouco atrás, porque dizemos: que o cubo é tridimensional? Ou que o quadrado é bidimensional?

a medida do segundo cubo = s³ M

Do mesmo modo, se M for a medida [área] de um quadrado com lado de comprimento L então, tomando o quadrado de lado medindo sL,

a medida do segundo quadrado = s² M.

(1/2)^D M = 1/3 M,

o que nos diz que D = log₂(3) ~ 1,585. Esta é a dimensão fratal do triângulo de Sierpinski.

A dimensão fratal de um dado objeto mede o seu grau de rugosidade ou de irregularidade.

(ii)   ampliamos o conjunto pelo fator 2 e contamos, novamente, quantos quadradinhos da grelha original intersetam o conjunto;

(iii)  dividimos o número obtido em (ii) pelo obtido em (i);

(iv) repetimos o argumento usando uma rede com quadrados com os lados com comprimento ainda menor;

(v) repetindo sucessivamente este procedimento, encontraremos o número x do qual estes quocientes se estão a aproximar;

(vi) a dimensão fratal do nosso objeto será o número D para o qual x=2^D.

Lewis Fry Richardson (1881-1953) foi um pacifista, físico e meteorologista inglês, que decidiu analisar matematicamente a Primeira Guerra Mundial, baseado no palpite de que os conflitos podem depender do comprimento das fronteiras comuns e rapidamente encontrou grandes discrepâncias nessas medições.