La civilización China, con su enfoque práctico y aplicado, desarrolló métodos innovadores en el cálculo, la geometría y la resolución de ecuaciones. Su conocimiento en el teorema de Pitágoras, el uso de matrices y la precisión en la determinación del número π fueron contribuciones que trascendieron su época. Esta tradición remonta al tercer milenio a.C con el establecimiento de los primeros emperadores de China, entre ellos el primer emperador, Fuxi que vivió entre los años 2852 y 2738 y que bajó su reinado se efectuaron numerosos observaciones astronómicas.

La civilización India tuvo sus primeros asentamientos en el valle del Indo, donde ciudades como Mohenjo-Daro y Harappa florecieron alrededor del tercer milenio a.C. Contemporáneas a las civilizaciones egipcia y mesopotámica, estas sociedades demostraron un alto grado de organización, arquitectura avanzada y desarrollo intelectual. Sin embargo, la escasez de documentos ha dificultado una reconstrucción detallada de sus contribuciones iniciales a las matemáticas.

La estructura original del documento chino mas antiguo en el que aparecen huellas de elementos matemáticos está constituida por el famoso 《Pa Kua》, formado por combinaciones variadas de lineas rectas y dispuestas en un circulo.

Estas lineas estan construidas a partir de dos formas primarias: una linea continua llamada 《Yang-xio》que simboliza el principio masculino, y otra linea dividida en dos partes llamada 《ying-xio》que simboliza a la mujer o principio negativo. La combinación de todos los pares de trigramas engendra 64 hexagramas conocidos por el nombre de 《Kua》

EJEMPLO

El sistema de ecuaciones:

x + y + z = 39
2x + 3y + z = 54
x + 2y + 3z = 59

es resuelto utilizando una matriz de coeficientes, un procedimiento similar al de eliminación de Gauss, aunque desarrollado de forma independiente en China.

Este tipo de resolución era útil, por ejemplo, para repartir recursos (como arroz o ganado) de forma equitativa entre varias regiones, asegurando que cada una recibiera una cantidad justa según criterios establecidos.

Liu Hui (siglo III):

Realiza aportes importante sobre las Nueve Secciones y propuso una aproximación a π (pi) ≈ 3.14159, utilizando un polígono de 172 lados.

Zu Chongzhi y su hijo (siglo V):

Mejoraron la aproximación a Pi proponiendo un intervalo entre 3.1415926 y 3.1415927, valor que no fue superado hasta el siglo XV.

Matemático más importante y relevante del periodo song.

Zhou Jijie

Entre los siglos IV a.C. y V d.C., India estuvo bajo varias dominaciones hasta la dinastía Gupta, durante la cual Aryabhata escribió obras matemáticas importantes. Ya antes de Cristo, se conocían matemáticas aplicadas en la construcción de templos y altares.

Incluyen conocimientos prácticos de geometría, como el uso de tripletes pitagóricos, una formulación temprana del teorema de Pitágoras y métodos para igualar áreas entre figuras. Estas técnicas permitían diseñar altares con proporciones sagradas.

Los Siddhántas combinan observación empírica con métodos matemáticos avanzados y también reflejan influencias griegas y babilónicas en la astronomía india. Fueron fundamentales en el desarrollo del conocimiento científico en el mundo antiguo.

• Fue uno de los más grandes matemáticos hindúes del siglo VII.

• Vivió en Ujjain, un importante centro de astronomía en la India central.

• En el año 628 escribió una obra llamada Brahmasphutasiddhanta (Sistema revisado de Brahma), con 21 capítulos, varios dedicados a las matemáticas.

Diferencias con Aryabhata

• No menciona el valor de π propuesto por Aryabhata.

• Usa dos valores de π: uno práctico (π ≈ 3) y uno más preciso (π ≈ √10).

• Emplea un radio de 3270 en trigonometría, diferente al de 3438 de Aryabhata.

• Mezcla resultados correctos con algunos errores en geometría.

• Aportes matemáticos más destacados

  • Generalización de la fórmula de Herón para cuadriláteros (válida solo para cuadriláteros cíclicos).

  • Soluciones generales de ecuaciones cuadráticas, incluyendo raíces negativas y positivas.

  • Desarrollo de la aritmética de números negativos y del cero.

  • Resolución general de la ecuación diofántica lineal:
    ax + by = c con soluciones enteras.

Seis trabajos de Bhaskara son conocidos, pero se cree que un séptimo se perdió. Los primeros tres trabajos son los más interesantes desde el punto de vistas matemático. Bhaskara escribe su famoso Siddhanta Siroman en el año 1150. Este libro se divide en 4 partes, Lilavati (aritmética), Vijaganita (álgebra), Goladhyaya (globo celestial), y Grahaganita (matemáticas de los planetas). La mayor parte del trabajo de Bhaskara en el Lilavati y Bijaganita procede de matemáticos anteriores, pero los sobrepasa sobre todo en la resolución de ecuaciones.

Su trabajo matemático parte del de Brahmagupta que ya manejaba el cero y los números negativos. Pero va más allá en su uso, por ejemplo Bhaskara afirma que x^2 = 9 tiene dos soluciones.

En el Lilavati, estudia algunas ecuaciones diofánticas, interés, progresiones artiméticas y geométricas, geometría plana y sólida, combinaciones, etc. También da dos algoritmos famosos de multiplicación de números en base diez

Bhaskaracharya, como muchos matemáticos indues, considera el cuadrado como un caso especial de la multiplicación que merece un algoritmo especial. En el Lilavati da 4 métodos para hallar el cuadrado de dos números en base diez.

En relación con la ecuación de Pell, x^2=1+61y^2, casi resuelta por Brahmagupta, Bhaskara dió un método, llamado proceso Chakravala, para resolverla. Estudia la ecuación de Pell: x^2=1+py^2 para p=8, 11, 32, 61 y 67. Cuando p=61 encuentra la solución x=226153980, y=1776319049. Cuando p=67 encuentra la solución x=5967, y=48842.

Bhaskaracharya estudia la ecuación diofántica 195x = 221y + 65, obteniendo las soluciones (x,y) = (6,5),(23,20),(40, 35),...

(1) 4x+y+z = 40

(2) x+ y+2z= 20

(3) 2x+3y + z = 30

Paso 1: Eliminar la variable x tomaremos la ecuación (2).

x= 20-x-2y

Paso 2: sustituiremos en la ecuación (1) y (3) del sistema.

Obtenemos lo siguiente:

Sustituimos (1)

4(20-x-2y)+y+z=40 entonces

-3y-7z=-40

Sustituimos en (3):

2(20 - y - 2z) +3y + z = 30 entonces

y-3z=-10

Paso 3: Sistema reducido (en Y y Z).

(1a) -3y-7z=-40

(3a) y-3z=-10

Multiplicamos (3a) por 3:

3y - 9z = -30

Sumamos con (1a):

-3y-7z+3y-9z=-40-30

Entonces

-16z=-70

z=-70/-16

Z=35/8

- El I Quing:

La estructura original del documento chino más antiguo en el que aparecen huellas de elementos matemáticos está constituida por el famoso Pa Kua (8 trigamas) formado por combinaciones variadas ( permutaciones) de líneas rectas y dispuestas en un círculo

- El Zhou Bei:

Es el documento clásico de contenido matemático es el Zhou Bei Suang Quing de origen y autor prácticamente desconocido. Su contenido matemático es netamente superior al I Qing, trata de cálculos astronómicos y contiene propiedades del triángulo rectángulo así como aplicaciones de fracciones, cuenta que el arte de las números proviene del círculo y el cuadrado, el cuál se relaciona con la Tierra mientras que el círculo pertenece al cielo

- Matemática en nueve secciones:

El Zhui Zhang Suan Ahí o El Arte Matemático en Nueve Secciones el más importante clásico chino sin duda. Este libro contiene aproximadamente 250 problemas sobre agrimensura, agricultura, pertenencia de bienes, contribución, cálculo de longitudes y superficies. Solución de ecuaciones y propiedades de los triángulos rectángulos.

Sulvasutras (alrededor del 800-200 a.C.)

Desarrollan textos para guiar los rituales religiosos.

Contenido:

• Principios geométricos para construir altares rituales.

Uso de lo que hoy conocemos como el teorema de Pitágoras (antes que Pitágoras).

Construcción de figuras geométricas equivalentes en área.

Cálculo de raíces cuadradas.

Importancia: Primeros textos indios con contenido matemático estructurado.

2. Aryabhata (499 d.C.)

Autor: Uno de los matemáticos y astrónomos más influyentes de India.

Contenido:

• Aritmética: operaciones, raíces cuadradas y cúbicas.

• Álgebra: ecuaciones indeterminadas de primer grado.

• Geometría: fórmulas para áreas y volúmenes.

• Trigonometría: primeras tablas de senos.

Astronomía matemática: rotación de la Tierra, eclipses, movimientos planetarios.

3. Brahmagupta (628 d.C.)

Autor: Brahmagupta (598-668 d.C.), matemático y astrónomo.

Contenido:

Realizó reglas para el uso de números negativos y el cero como número (uno de los primeros en tratarlo formalmente).

• Soluciones a ecuaciones cuadráticas.

Métodos para resolver ecuaciones indeterminadas (como las de segundo grado).

Reglas para operaciones con fracciones y números negativos.

Conclusión :

La india antigua fue pionera en:

El uso del cero como número.

El desarrollo de métodos para resolver ecuaciones (algebraicas e indeterminadas).

El manejo de números negativos.

Aportaciones en geometría, aritmética y astronomía matemática.

Tolomeo usaba la cuerda del círculo y el ángulo central, mientras que la trigonometría india (Siddhantas) utilizaba la semicuerda y el semiángulo, concepto similar al seno moderno.

Aporte clave:

La India anticipó la función seno, lo que permitió una mayor abstracción matemática y tablas trigonométricas más precisas.

Sin embargo, tenían dificultades con la división por cero. Brahmagupta escribió que cero dividido por cero “no es nada” y que un número dividido por cero era una “fracción con denominador cero”, lo cual no es correcto según las matemáticas modernas. A pesar de esas imprecisiones, su trabajo fue fundamental para el desarrollo del concepto de cero como número y su uso en el sistema decimal.

Este sistema fue adoptado por los árabes, quienes lo difundieron a través del mundo islámico y luego hacia Europa. Al-Juarismi y otros matemáticos jugaron un papel clave en su transmisión, y con el tiempo, el sistema reemplazó numeraciones menos eficientes, como la romana. Hoy, es el estándar mundial en ciencias, tecnología y comercio, demostrando su importancia y adaptabilidad.

Si bien su origen es indio, su difusión y perfeccionamiento involucró diversas civilizaciones. Por eso, más que un legado exclusivo de la India, es una contribución global que evolucionó con el tiempo.

Los ejemplos que lo justifican son los siguientes:

• Aryabhata (siglo V): Introdujo métodos para resolver ecuaciones diofánticas lineales del tipo ax+by=cax + by = cax+by=c. Utilizó un algoritmo conocido como el kuttaka (que significa "pulverizador"), que es similar al algoritmo de Euclides extendido.

• Brahmagupta (siglo VII): Dio una solución general a la ecuación diofántica cuadrática x2−Ny2=1x^2 - Ny^2 = 1x2−Ny2=1, conocida hoy como la ecuación de Pell (aunque fue estudiada mucho antes por los indios). Su método de solución, llamado bhāvanā, permitió generar infinitas soluciones a partir de una solución inicial.

• Bhaskara II (siglo XII): Refinó los métodos de Brahmagupta y resolvió casos complejos de ecuaciones diofánticas. Su obra Bijaganita incluye un tratamiento avanzado del análisis indeterminado.

1. Falta de simbolismo algebraico

Los matemáticos indios no usaban símbolos algebraicos como los conocemos hoy (por ejemplo, xxx, +++, ===). En lugar de eso, expresaban los problemas y soluciones en forma verbal o versificada, lo que dificulta su interpretación moderna.

2. Uso del verso y lenguaje poético

Muchos textos estaban escritos en verso (slokas) para facilitar su memorización, lo que a menudo sacrificaba precisión en favor de la métrica y la estética. Esto puede generar ambigüedad y dificultar la comprensión exacta del procedimiento matemático.

3. Ausencia de demostraciones formales

Aunque los indios resolvían problemas complejos con métodos eficaces, sus escritos no incluían demostraciones formales al estilo griego (como en Euclides), lo que puede dar la impresión de que el razonamiento no estaba completamente justificado.

4. Poca separación entre enunciado y solución

En muchos textos, el enunciado del problema y su solución aparecían juntos o sin una clara distinción. Esto complica el análisis pedagógico moderno y la identificación del problema original.

Cifra cero: Los matemáticos indios fueron los primeros en tratar al cero como un número con valor y reglas de operación propias. El uso del símbolo "0" como marcador de posición y como número fue una innovación revolucionaria, atribuida a Brahmagupta (siglo VII).

Sistema decimal posicional: Este sistema, con base 10 y posición de las cifras, también se desarrolló en la India y fue transmitido a través del mundo islámico a Europa, dando origen a los "números arábigos".

2. Álgebra

Brahmagupta escribió el Brahmasphutasiddhanta, donde:

Introdujo reglas para operar con números positivos y negativos.

Dio soluciones a ecuaciones cuadráticas completas.

Bhaskara II (siglo XII) en su obra Bijaganita resolvió ecuaciones indeterminadas y cuadráticas, y desarrolló técnicas de factorización.

3. Trigonometría

Los matemáticos indios usaron funciones trigonométricas como el seno (jya) y el coseno (kojya) mucho antes que en Europa.

Tablas de senos muy precisas fueron calculadas por Aryabhata (siglo V), utilizando métodos ingeniosos.

Desarrollaron la fórmula del seno del ángulo doble y otras identidades trigonométricas.

4. Geometría

Aunque influenciados por Euclides y los griegos, los indios desarrollaron resultados originales, especialmente en el contexto de la arquitectura y la astronomía.

Algunos textos, como el Sulbasutras, presentan reglas prácticas para construir altares, incluyendo una forma primitiva del teorema de Pitágoras.

5. Cálculo proto-integral y diferencial

Bhaskara II anticipó ideas del cálculo más de 500 años antes de Newton y Leibniz:

Usó conceptos similares a la derivada al analizar tasas de cambio.

Calculó áreas bajo curvas y máximos/mínimos de funciones en contextos astronómicos.

6. Combinatoria y teoría de números

Técnicas de conteo, permutaciones y combinaciones fueron desarrolladas en el contexto de la poesía y la prosodia sánscrita.

Se suman las tres ecuaciones:

Se suman las dos ecuaciones:

La respuesta final siendo:

Aunque los Siddhantas tienen contenido astronómico griego, su trigonometría presenta un origen debatido, con posibles influencias griegas, babilónicas, chinas o autóctonas.

Usos astronómicos:

Ambas culturas aplicaron la trigonometría a la astronomía, pero los Siddhantas integraron elementos culturales hindúes, dándoles un carácter más sincrético.

El símbolo para el cero apareció tarde, como también ocurrió con los babilonios.

Con la dinastía Gupta, la India vivió un renacimiento cultural que impulsó el arte, la ciencia y la astronomía. Mientras los Śulvasūtras trataban matemáticas aplicadas a lo religioso, los Siddhāntas desarrollaron una matemática más avanzada enfocada en el estudio del cielo.

Además de demostrar un cierto interés por las permutaciones, el I Qing contiene tambien cuadros mágicos, de los cuales el 《lo shu》, reconocido como el ejemplo más antiguo, presenta una confguración cuadrada de 9 casillas de números indicados por nudos en cuerdas

¿Quién fue Zhou Jijie?

Zhou Jijie fue un matemático chino que vivió entre aproximadamente 1280 y 1303, durante la dinastía Song. Es considerado uno de los matemáticos más importantes de su tiempo.

¿Qué son los "Espejos preciosos"?

La obra se titula traducida "Espejos preciosos de los cuatro elementos". Esta obra es un tratado de álgebra muy avanzado para su época.

¿Qué contiene la obra?

1. Ecuaciones simultáneas: Trata métodos para resolver sistemas de ecuaciones.

2. Ecuaciones polinómicas de alto grado: Incluye técnicas para resolver ecuaciones de grado elevado, incluso usando lo que más tarde se conocería como el método de Horner.

3. Serie de potencias: Muestra sumas de series cuadráticas y cúbicas, por ejemplo:

El intercambio de conocimientos entre estas civilizaciones y el resto del mundo permitió que sus descubrimientos se integraran en el cuerpo matemático global, influyendo en disciplinas como la astronomía, la ingeniería y la computación.

En esta presentación exploraremos cómo estos avances han trascendido fronteras y continúan impactando nuestra comprensión del universo. ¡Bienvenidos a un viaje por la historia de las matemáticas!

En el capítulo final sobre combinatoria Bhaskaracharya considera el siguiente problema. Dado un número de n-digitos, en base diez. ¿Cuantos existen que satisfacen que la suma de sus dígitos es constante?

Bijaganita tiene doce capítulos. Los números negativos se denotan colocando un punto encima. Después de explicar como hacer artimética con ellos Bhaskara propone ejercicios donde hay que obtener soluciones tanto positivas como negativas o donde hay que manejar números negativos para hallar la solución.

Quizás la más famosa de sus fórmulas sea la solución de la ecuación de segundo grado, de la que obtiene siempre dos soluciones, aunque sólo sean de interés las enteras positivas. Un ejemplo de problema: Dentro de un bosque, un número de monos es igual al cuadrado de un octavo del total de un conjunto de ellos que están jugando ruidosamente. Hay doce monos mas, que están en una colina cercana y no juegan. ¿Cuántos monos están jugando?.

Este problema conduce a una ecuación de segundo grado, x^2/8^2 = x - 12, o bien x^2 - 64x + 768 = 0, que tiene dos soluciones, 16 y 48 y ambas son igualmente admisibles como calcula y afirma Bhaskara.

También resuelve sistemas de ecuaciones lineales con varias incógnitas. Por ejemplo: los caballos que pertenecen a 4 hombres son respectivamente 5, 3, 6 y 8. Los camellos que pertenecen a los mismos son 2, 7, 4 y 1. Las mulas son 8, 2, 1 y 3. Los bueyes son 7, 1, 2 y 1. Los 4 hombres tienen igual fortuna. ¿Cuál es el precio de cada uno de los animales?

Naturalmente estos problemas no tiene solución única. Bhaskara lo sabe y obtiene la mínima, en el ejemplo anterior 85 para caballos, 76 para camellos, 31 para mulos y 4 para bueyes.

Bhaskaracharya se interesa también por la trigonometría, obteniendo las sorprendentes fórmulas para el seno de la suma y diferencia de dos ángulos: sen(a + b) = sen a cos b + cos a sen b, sin(a - b) = sen a cos b - cos a sen b.

Matemáticos chinos como Liu Hui y Zu Chongzhi realizaron aportes notables en áreas como la geometría, la estimación del valor de π y las series matemáticas. Liu Hui, por ejemplo, propuso un método para calcular áreas y volúmenes con precisión, mientras que Zu Chongzhi logró una de las aproximaciones más precisas de π de su época. Además, los textos chinos como “Espejos preciosos” incluyen sumas de series y diagramas como el triángulo aritmético de Pascal (aunque fue descubierto siglos antes en China), mostrando que conceptos fundamentales del cálculo y la combinatoria ya eran conocidos en el mundo oriental mucho antes que en Europa.

Si necesitas que estos puntos se conviertan en un ensayo redactado completo, también puedo ayudarte con eso.

EJEMPLO

calculó que π era aproximadamente 3.1415926, una precisión notable para su época. Además, el triángulo aritmético que aparece en los textos chinos es igual al triángulo de Pascal, y se usaba para calcular coeficientes binomiales.
Con el triángulo aritmético, podían calcular combinaciones como:
¿Cuántas formas hay de elegir 3 personas de un grupo de 7?
Respuesta: el número en la fila 7, posición 3 del triángulo es 35.
Esto era útil para problemas de organización, distribución o incluso en juegos estratégicos