Aplicación de la derivada en el trazado de curvas by Mariana Benitez

marianabv_ — 2018-04-04 12:43:21 UTC

C²RML

cadenajul24 — 2018-04-04 12:43:31 UTC

FUNCIÓN:

ceciliaguerrero1999 — 2018-04-04 12:43:44 UTC

2x^3+9x^2+12x+5

PARTICIPANTES:

marianabv_ — 2018-04-04 12:45:00 UTC

-Benítez Vázquez Mariana
-Hernández Martínez Raúl Alejandro
- García Mejia Luis Leobardo
-Guerrero Izquierdo Cecilia
-Ramírez González Cecilia

luis_l_g_mejia327 — 2018-04-04 12:45:49 UTC

PRIMERA DERIVADA:

ceciliaguerrero1999 — 2018-04-04 12:52:59 UTC

f'(x) = 6x^2 + 18x + 12

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN

marianabv_ — 2018-04-04 12:55:13 UTC

2x^3 + 9x^2 + 12x + 5

DOMINIO:

raul_ahm01 — 2018-04-04 12:57:56 UTC

f(x)= 2x^3 + 9x^2 + 12x + 5

                   Df: X C R

marianabv_ — 2018-04-04 13:02:47 UTC

f(x)= 2x³+ 9x²+ 12x + 5

* d/dx xⁿ=nx^n-1*

d/dx 2x³+ 9x²+ 12x + 5 = 6x²+18x + 12

SEGUNDA DERIVADA:

ceciliaguerrero1999 — 2018-04-04 13:04:16 UTC

f"(x)= 12x+18

¿CÓMO OBTUVIMOS EL DOMINIO?

raul_ahm01 — 2018-04-04 13:04:30 UTC

Las funciones polinómicas son en las que no aparecen raíces ni fracciones.
Estas solo aparecen sumando, restando, multiplicando o elevadas a algún exponente.
En este tipo de funciones no existe un valor de X que haga que la función no exista , por lo tanto f(x)= es igual a todos los números reales.

Para mayor aclaración:

PUNTOS CRÍTICOS:

ceciliaguerrero1999 — 2018-04-04 13:06:20 UTC

X=-2
X=-1

DETERMINAR SI LA FUNCIÓN ES CRECIENTE O DECRECIENTE:

ceciliaguerrero1999 — 2018-04-04 13:09:51 UTC

En el punto crítico x=-2 existe un punto máximo.
En el punto crítico x=-1 existe un punto mínimo.

¿CÓMO OBTUVIMOS LOS PUNTOS CRÍTICOS?

raul_ahm01 — 2018-04-04 13:16:29 UTC

Para obtener los puntos críticos de la función, tomaremos la primera derivada y la igualamos a cero:

f'(x)= 6x^2 + 18x +12 = 0

Ahora solo resolvemos la ecuación sacando los valores de X.
Para esto factorizamos el 6:

6 ( x^2 + 3x +2 ) = 0

x^2 + 3x +2 = 0

Después factorizaremos la ecuación de segundo grado resultante, separando X² en unos solo en dos paréntesis diferentes, seguido de dos números que multiplicados nos de 2 y sumados nos de 3, en este caso:

( x + 1 ) ( x + 2 ) = 0

Finalmente tenemos:

( x + 1 ) = 0 ( x + 2 ) = 0

x = -1

x = -2

Para mayor aclaración:

PUNTO DE INFLEXIÓN:

ceciliaguerrero1999 — 2018-04-04 13:20:01 UTC

x=-3/2

CONCAVIDAD:

ceciliaguerrero1999 — 2018-04-04 13:27:14 UTC

Antes de nuestro punto de inflexión la función es cóncava en la parte inferior.
Después de nuestro punto de inflexión la función es cóncava en la parte superior.

PROCEDIMIENTO PARA LA SEGUNDA DERIVADA

luis_l_g_mejia327 — 2018-04-04 13:33:38 UTC

Se ocupan las misma formulas que usamos para calcular la primera derivada, pero ahora con la ecuación de la primera derivada y resolvemos.

PUNTOS PRINCIPALES:

ceciliaguerrero1999 — 2018-04-04 13:40:01 UTC

(-2,1) (-3/2,1/2) (-1,0)

CORTES CON EL EJE Y:

ceciliaguerrero1999 — 2018-04-05 02:09:19 UTC

_y=5

CORTES CON EL EJE X

ceciliaguerrero1999 — 2018-04-05 02:09:46 UTC

x=-1
x=-5/2

DETERMINAR SI LA FUNCIÓN ES CRECIENTE O DECRECIENTE:

raul_ahm01 — 2018-04-05 20:50:12 UTC

f'(x) > 0 ---> Creciente
f'(x) < 0 ---> Decreciente

Para esto tomamos la primera derivada y sustituimos valores de x.
Los valores serán tomados respecto a los puntos críticos:

Un número que sea menor que -2, en este caso tomaremos -3.
Un número mayor que -2, pero que no sea -1 ya que es un punto crítico, en este caso -1.5.
Un número menor que -1 pero que no sea -2 ya que es un punto crítico, en este caso tomaremos -1.5.
Un número mayor que -1, tomaremos 0.

Ahora sustituimos los valores.

f'(-3)= 6(-3 * -3 ) + 18(-3) + 12 = 12

f'(-1.5)= 6( -1.5 * -1.5 ) + 18(-1.5) + 12 = -3/2

f'(0)= 6( 0* 0) + 18(0) + 12 = 12

Vemos que en el intervalo de menos infinito a -2 el valor al sustituir -3 nos da un numero positivo que es 12, esto quiere decir que es creciente.

En el intervalo de -2 a -1 al sustituir el valor de -1 nos da un resultado negativo que es -3/2 lo que nos dice que es decreciente.

Finalmente en el intervalo de -1 a infinito al tomar el valor de 0 nos da un valor de 12 y como es positivo quiere decir que es creciente en ese intervalo.

De tal modo que se dice que es creciente hasta llegar al punto x= -2 que es su máximo y decrece hasta llegar al punto x= -1, después de esto vuelve a ser creciente.

A continuación una explicación y simulación.

DETERMINAR PUNTOS DE INFLEXIÓN:

raul_ahm01 — 2018-04-05 21:32:56 UTC

Para esto tomamos la segunda derivada y la igualamos a 0.

f''(x)= 12x +18= 0

Ahora solo resolvemos la ecuación de primer grado.

12x + 18 = 0

6( 2x + 3) = 0

2x +3 = 0

x = -3/2

De esta manera obtenemos el punto de inflexión que es aquel punto en el que la función cambia de concavidad.

DETERMINAR CONCAVIDAD.

raul_ahm01 — 2018-04-05 21:46:16 UTC

Para esto necesitamos en la segunda derivada sustituir valores mayores y menores al punto de inflexión, en este caso seria:

menor -2 y un número mayor seria 0.

si el resultado es:

f''(x) > 0 ---> Cóncava hacia arriba
f''(x) < 0 ---> Cóncava hacia abajo

f''(-2)= 12(-2) + 18 = -6

f''(0)= 12(0) + 18 = 18

Por lo que tenemos que antes del punto de inflexión es cóncava hacia abajo osea en forma de U invertida y después del punto de inflexión es cóncava hacia arriba es decir forma de U.

PUNTOS PRINCIPALES

raul_ahm01 — 2018-04-05 22:01:09 UTC

A lo largo de los procedimientos hemos obtenido puntos en el eje X como lo son los puntos críticos y el de inflexión, pero como solo son valores de x, estos los sustituiremos para poder sacar sus valores en el eje y, para esta sustitución se toma la función original.

2x^3 + 9x^2 + 12x + 5

Sustituyendo:

-2 ----- tenemos-----> 1

-1 ----- tenemos -----> 1/2

-3/2 -----tenemos -----> 0

Obteniendo :

(-2,1) (-3/2, 1/2 ) (-1, 0)

marianabv_ — 2018-04-05 23:53:47 UTC

.
..

.

.

marianabv_ — 2018-04-05 23:56:21 UTC

PASOS PARA OBTENER LA PRIMERA DERIVADA

marianabv_ — 2018-04-06 00:01:23 UTC

Se ocupan las siguientes formulas para obtener la derivada dependiendo la ecuación:

La derivada de una constante es CERO

d/dx c=0

Para obtener la derivada de una ecuación elevada a la m es:

d/dx x²=mx^(m-1)

ocupando la formula con x² seria:

y'=(2) x^(2-1)

se resuelve y queda como:

y'=2x

Y así continuamos con las demás.

Si la ecuación esta multiplicada con una constante se realiza la derivada y se multiplica al final con la constante.
d/dx 3x²= cmx^(m-1) y'=(3)(2)x^(2-1) y´=6x

marianabv_ — 2018-04-06 00:21:02 UTC

marianabv_ — 2018-04-06 00:22:00 UTC

marianabv_ — 2018-04-06 00:23:07 UTC

marianabv_ — 2018-04-06 00:24:12 UTC

CORTE CON EL EJE Y

raul_ahm01 — 2018-04-06 00:43:45 UTC

Hacemos en la ecuación principal x =0

f(x)= 2x^3 + 9x^2 + 12x + 5

y= 2(0)^3 + 9(0)^2 + 12(0) + 5

Y= 5

CORTE EN EJE X

raul_ahm01 — 2018-04-06 00:48:12 UTC

Hacemos y = 0 en la ecuación principal.

f(0)= 2x^3 + 9x^2 + 12x + 5

2x^3 + 9x^2 + 12x + 5= 0

x= -5/2

x= -1

2018-04-06 04:09:03 UTC