http://dx.doi.org/10.1016/j.jtbi.2015.01.006

O nosso objetivo específico foi reproduzir os resultados apresentados nas Figuras 2 e 3 do artigo, que descrevem a evolução temporal das populações de células gliais, células tumorais (glioma), neurónios e da concentração do agente quimioterapêutico, em dois cenários distintos: com e sem quimioterapia.

Variáveis normalizadas

As populações celulares e a concentração do agente quimioterapêutico são dadas por:

• G(t) – gliócitos

• C(t) – células tumorais (glioma)

• N(t) – neurónios

• Q(t) – concentração do quimioterápico

Para reduzir a dimensionalidade do modelo, as variáveis celulares são normalizadas pelas suas capacidades de carga (valores máximos teóricos) K₁, K₂ e K₃, definindo-se as seguintes variáveis adimensionais:

Cada uma dessas variáveis assume valores no intervalo [0, 1] , representando a fração ocupada da respetiva capacidade máxima. Esta normalização preserva o significado biológico das variáveis originais.

Parâmetros do modelo

Os principais parâmetros regulam taxas de crescimento, competição, efeitos terapêuticos e suporte neuronal. Todos os parâmetros foram convertidos para unidades consistentes com o tempo em dias (d^-1) e são compatíveis com a normalização adotada.

1. Crescimento logístico

   As taxas de crescimento de gliócitos e tumor são dadas por:

   • o1 = 0,0068 d^-1 – taxa de proliferação de gliócitos

   • o2 = 0,012 d^-1 – taxa de proliferação de células tumorais

   Estas taxas aparecem nos termos logísticos o_i * x * (1-x), onde x = g ou c, garantindo crescimento limitado à capacidade de carga (normalizada).

2. Competição cruzada

   As interações entre gliócitos e células tumorais são modeladas por dois coeficientes:

   • b₁ = 0,018 d^-1 – morte de gliócitos induzida por tumor

   • b₂ = 0,0018 d^-1 – morte do tumor induzida por gliócitos

3. Interações citotóxicas (quimioterapia)

   As ações citotóxicas do fármaco sobre cada população são descritas por leis de Michaelis-Menten (ou Holling tipo II), com os seguintes parâmetros:

   • Meias-saturações (constantes de afinidade):

     a_1 = a_2 = a_3 = 1

     
     

     A escolha de ai = 1 reflete o facto de as variáveis serem normalizadas.

     
     

   • Coeficientes de toxicidade:

     
     

     • p₁ = 4,7 * 10^-8 d^-1 – contra gliócitos

     • p₂ = 4,7 * 10^-6 d^-1 – contra células tumorais

     • p₃ = 4,7 * 10^-8 d^-1 – contra neurónios

   
   

4. Suporte neuronal induzido por gliócitos

   O modelo incorpora um termo que traduz o suporte trófico proporcionado pelos gliócitos aos neurónios. Este termo depende da derivada temporal de g — a fração normalizada de gliócitos — denotada por gg = dg/dy, sendo ativado apenas quando esta é não negativa, através da função de Heaviside H(gg), que assume os valores:

   
   

   H(gg) = \begin{cases} 0, & gg < 0 \\ 0{,}5, & gg = 0 \\ 1, & gg > 0 \end{cases}

   
   

   Este termo está presente na equação N(t) e é regulado pelo coeficiente da intensidade do suporte neuronal (a = 2)

   
   

5. Administração e depuração do fármaco

   A dinâmica do agente quimioterapêutico é governada por dois parâmetros: a taxa de administração - fi (Φ) e a taxa de eliminação - zeta (ζ):

   
   

   \Phi = 100 \space d^{-1} \space (com \space tratamento)\Phi = 0 \space d^{-1} \space (sem \space tratamento) \zeta = 0,2 \space d^{-1}

A comparação entre os resultados obtidos nas simulações realizadas e os dados apresentados no artigo original de Iarosz et al. (2015) revela uma concordância significativa tanto em termos qualitativos quanto quantitativos. No cenário sem quimioterapia, observa-se o comportamento clássico de proliferação do glioma, que compromete progressivamente as populações de células gliais e neuronais. A simulação reproduz adequadamente essa dinâmica, culminando em valores reduzidos de concentração de gliócitos e neurônios ao final do intervalo de tempo considerado (t = 500). Tal padrão é consistente com a hipótese de competição por recursos e destruição direta mediada pelo glioma, sendo modulada pela resistência logística dos gliócitos, que impõem uma limitação ao crescimento descontrolado do tumor. Esses resultados são compatíveis com as Figuras 2a–c do artigo, onde também se observa uma redução substancial das populações celulares saudáveis na ausência de tratamento.

A introdução da quimioterapia no modelo promove uma alteração drástica no regime dinâmico do sistema. Conforme destacado na Figura 3 do artigo, a aplicação do agente quimioterapêutico leva à supressão efetiva do crescimento do glioma, evidenciada pela rápida redução da variável c(t) até valores inferiores a 0.005 após t = 50. Esta característica foi igualmente observada na nossa simulação, validando o parâmetro de infusão utilizado e corroborando a eficácia teórica do tratamento modelado. Do ponto de vista terapêutico, tal resultado é promissor, pois sugere que, sob determinadas condições paramétricas, a erradicação do tumor pode ser alcançada de forma não oscilatória e sustentável.

Contudo, os efeitos colaterais da quimioterapia sobre os neurônios não são negligenciáveis. A variável n(t), que representa a densidade normalizada de neurónios, apresenta um decaimento abrupto nos primeiros instantes da intervenção terapêutica, efeito este atribuído à toxicidade do agente quimioterapêutico e à redução paralela da população de gliócitos — sendo estes responsáveis pela proteção e suporte neuronal. Esta dinâmica é coerente com a descrição dada pelos autores: “Fig. 3c exhibits a fast decay of the neurons due to the effect of the chemotherapeutic agent on the neuron population and the decay of glial cells.” No entanto, as simulações também mostram que, uma vez controlada a carga tumoral, há uma recuperação tardia dos gliócitos. Esse retorno progressivo da variável g(t) a níveis próximos de 1 indica a reconstituição parcial da homeostase celular, o que, por sua vez, desacelera o ritmo de perda neuronal — um mecanismo de compensação que também é sugerido no artigo como forma de proteção residual promovida pelos gliócitos em estágio avançado da simulação.

As diferenças nos padrões dinâmicos entre os dois cenários têm implicações terapêuticas relevantes. O cenário sem quimioterapia, embora livre de efeitos tóxicos, resulta na perda sustentada de tecido saudável em decorrência da progressão tumoral. Já o tratamento quimioterapêutico, embora eficaz na erradicação do glioma, induz danos significativos colaterais, sobretudo aos neurónios, sugerindo que a estratégia de tratamento deve ser balanceada entre eficácia e toxicidade. A análise do modelo matemático sugere que intervenções adaptativas, possivelmente em regime pulsado ou com menor dosagem inicial de Φ , poderiam preservar melhor as populações neuronais sem comprometer o sucesso na supressão tumoral.

Resumidamente, a simulação realizada reproduz com fidelidade os principais resultados do artigo original e reforça a utilidade do modelo para explorar estratégias terapêuticas baseadas na modulação de parâmetros farmacológicos e biológicos.

1. Crescimento logístico de gliócitos (gc growth)

   → G  
   Rate law: o1 * G * (1 - G)
   

   Este termo modela a expansão inicial exponencial dos gliócitos, que se desacelera à medida que a densidade normalizada G aproxima-se de 1, refletindo o efeito de saturação da capacidade de suporte.

   
   

2. Crescimento logístico de glioma (cc growth)

   → C  
   Rate law: o2 * C * (1 - C)
   

   De forma análoga, este mecanismo regula a proliferação tumoral, limitando o crescimento das células cancerígenas ao valor normalizado de 1.

   
   

3. Competição cruzada — morte de gliócitos (gc death)

   G →  
   Rate law: b1 * G * C
   

   Representa a invasão tumoral, em que a presença de glioma (C) compromete a sobrevivência das células gliais (G) por um processo de competição por recursos.

   
   

4. Competição cruzada — morte de glioma (cc death)

   C →  
   Rate law: b2 * C * G
   

   Reflete a ação protetora dos gliócitos, que exercem pressão inibitória sobre o crescimento tumoral.

   
   

5. Citotoxicidade de gliócitos induzida por quimioterapia (gc killing)

   G → ; Q  
   Rate law: p2 * G * Q / (a1 + G)
   

   Neste processo, o agente quimioterapêutico Q atua como modificador, sem ser consumido, promovendo uma resposta do tipo Holling II que leva à morte das células gliais.

   
   

6. Citotoxicidade de glioma induzida por quimioterapia (cc killing)

   C → ; Q  
   Rate law: p1 * C * Q / (a2 + C)
   

   Pelo mesmo princípio descrito anteriormente, esta reação descreve a eficácia do fármaco na eliminação de células tumorais, com cinética saturável.

   
   

7. Citotoxicidade neuronal induzida por quimioterapia (n killing)

   N → ; Q  
   Rate law: p3 * N * Q / (a3 + N)
   

   Captura o efeito adverso da quimioterapia sobre os neurónios, também regido por resposta tipo Holling II.

   
   

8. Suporte neuronal dependente do crescimento glial (n increase)

   → N ; G  
   Rate law: a * gg * H(gg) * N
   

   Esta reação expressa a influência positiva dos gliócitos (representada pela taxa instantânea de variação gg=dG/dt) no crescimento neuronal, regulada pela função de Heaviside H(gg). Quando gg>0, o suporte é ativo; quando gg<0, ele cessa.

   
   

9. Administração contínua do agente quimioterapêutico (chemotherapy)

   → Q  
   Rate law: Φ
   

   Implementa a infusão constante de quimioterapia no compartimento tme, controlada pela taxa Φ.

   
   

10. Decaimento do agente quimioterapêutico (drug decay)

    Q →  
    Rate law: ζ * Q
    

    Modela a depuração do fármaco por mecanismo de primeira ordem, resultando no equilíbrio Q∗=Φ/ζ.

    
    

Com estas reações elementares, o modelo traduz fielmente os processos biológicos de proliferação, competição, terapia e suporte, servindo de base à construção das equações diferenciais que regem o sistema.

Para o parâmetro Φ, o "Object" é definido como a "Global Quantity > Initial Value, e os valores para os campos "Intervals", "min" e "max" foram 50, 10, 100000 respetivamente. "Scale" foi definida como "Logarithmic".

Um "Nested Scan" é adicionado para o parâmetro ζ, com "Object" definido como a "Global Quantity" de ζ, e o "Range" com "min" em 0.0, "max" em 0.4, "Intervals" em 50 e "Scale" como "Linear".

Esta configuração permite explorar o espaço de parâmetros bidimensional (ζ vs Φ) e observar como a dinâmica do sistema, especificamente a concentração final de neurónios, varia em função destes dois parâmetros.

Finalmente, a simulação é iniciada ao clicar em “Run” na tarefa “Parameter Scan”. O COPASI então executa as simulações para todas as combinações de valores de Φ e ζ definidas no "Parameter Scan", registrando os valores finais das variáveis de interesse no relatório especificado.

Os estados estacionários, ou pontos de equilíbrio, desempenham um papel fundamental na compreensão da estabilidade do sistema dinâmico modelado. O equilíbrio E0 (0, 0, 0, Φ/ζ) representa um estado onde todas as populações de células são eliminadas, uma situação que só se mantém estável sob níveis de quimioterapia atipicamente altos. Este cenário indesejável destaca a importância de evitar doses excessivas do agente terapêutico. Em contraste, o equilíbrio E1 (ḡ, 0, 0, Φ/ζ) descreve um estado onde as células de glioma são completamente eliminadas, preservando as células gliais, mas resultando na perda de neurônios. A estabilidade deste equilíbrio é crucial para identificar regimes de tratamento eficazes que minimizem os danos neuronais.

Ao comparar o gráfico dos autores com o gráfico gerado pela nossa simulação, observamos semelhanças e diferenças notáveis. Ambos os gráficos mapeiam o espaço de parâmetros definido pelas taxas de quimioterapia e decaimento do fármaco, fornecendo uma representação visual das condições que influenciam a dinâmica do sistema. No entanto, o gráfico dos autores utiliza limites de linha distintos para delinear as regiões de estabilidade, oferecendo uma distinção clara entre os diferentes comportamentos do sistema. Em contraste, o nosso gráfico emprega um gradiente de cores contínuo para representar as concentrações de neurónios, proporcionando uma visualização mais suave das transições entre os estados e uma apreciação mais detalhada do impacto quantitativo do tratamento nos resultados neuronais. Apesar do nosso gráfico não apresentar limites de linha distintos para delimitar as regiões de estabilidade, essas regiões são ainda identificáveis através das variações graduais de cor, permitindo a análise dos diferentes regimes de comportamento do sistema.

É crucial relembrar que a variável n está normalizada (como N/K3​ com K3​=510,kg/m3), o que é fundamental para a correta definição dos parâmetros no termo de neurogénese.

A adição do termo de neurogénese foi realizada através da criação de uma nova reação no COPASI, o processo envolveu os seguintes passos:

1. Para iniciar a criação da nova reação, navegou-se na interface do COPASI até à opção Reactions > Create new reaction.

   
   

2. A nova reação foi nomeada como neurogenesis.

   
   

3. A equação (Lei de Taxa) para a cinética personalizada foi inserida como: gamma * N * (1 - N/Nmax). Esta equação representa um crescimento logístico para a população de neurónios.

   
   

4. Foram definidos os parâmetros da reação:

   • gamma: Definido como um parâmetro local (-local-) com um valor inicial de 0.00175* e unidade 1/d (ou day⁻¹), representando a taxa de neurogénese.

   • N: Definido como um modificador (-local- N), mapeando para a espécie N já existente no modelo. Este é um modificador porque a sua concentração influencia a taxa da reação, mas não é consumido nem produzido diretamente por esta lei de taxa neste ponto.

   • Nmax: Definido como um parâmetro local (-local-) com o valor 1 (adimensional), visto que a variável N está normalizada.

5. A espécie afetada pela reação foi definida como N, com o papel de produção. Isto significa que a reação neurogenesis contribui para o aumento da quantidade de neurónios no modelo. Esta definição foi feita no campo "Reaction" da janela da reação, onde se especificou que a reação resulta em -> N.

   
   

Por fim foi garantido que a unidade do novo termo de neurogénese (concentration/time) era consistente com as unidades das restantes equações do modelo, fundamental para a coerência matemática do sistema.

*Determinação do Intervalo da Taxa de Neurogénese (γ):

Após uma revisão da literatura científica, chegámos a um intervalo plausível de γ ∈ [0.0005, 0.003] day⁻¹ para a taxa de neurogénese no hipocampo adulto.

Esta faixa de valores baseia-se em evidências empíricas provenientes de estudos em roedores adultos. O limite inferior (γ = 0.0005 day⁻¹) representa condições de neurogénese extremamente lenta, com tempo de duplicação celular de aproximadamente 1.5 anos, consistente com os dados de Smith e Semenov (2018), que reportaram uma redução de 64 vezes na produção de precursores entre os 30 dias e 2.5 anos de idade. O limite superior (γ = 0.003 day⁻¹) corresponde a cenários de estimulação forte, como exercício físico ou ambientes enriquecidos, permanecendo conservador ao representar metade da taxa típica de proliferação glial (Ω ≈ 1 day⁻¹).

Os dados experimentais de Cameron e McKay (2001), que documentaram 9.000 novas células granulares por dia em ratos jovens adultos com ciclo celular de ~25 horas, suportam o limite superior do intervalo quando considerado o conjunto total de células-tronco neurais. Adicionalmente, estudos demonstraram que intervenções ambientais podem aumentar a neurogénese até cinco vezes (Kempermann et al., 2002), validando a plausibilidade do limite superior sob condições estimulantes.

Este intervalo reflete adequadamente a variabilidade biológica observada, desde a neurogénese basal em animais idosos até os picos de proliferação em condições ótimas de estimulação, mantendo-se consistente com o facto de a neurogénese adulta ocorrer várias ordens de grandeza mais lentamente que a proliferação glial.

Os restantes parâmetros e varíaveis mantiveram-se inalterados (tal como foram descritos anteriormente)

Cenário 1: Com Quimioterapia

Neste cenário (Figura 1), a quimioterapia induz uma perda neuronal. No entanto, a neurogénese atenua significativamente essa perda. A população final de n (n final) é consistentemente mais elevada em todos os modelos com neurogénese (média de 0.9877) do que no modelo "Sem neurogénese" (0.9767). Isso demonstra a capacidade da neurogénese em compensar a neurotoxicidade induzida pela quimioterapia, conforme esperado. Da mesma forma, o n mínimo alcançado durante a simulação é sempre maior nos modelos com neurogénese (média de 0.9831), indicando uma menor depressão da população neuronal, em contraste com 0.9767 do modelo sem neurogénese. A AUC(n) (Área sob a Curva), que representa a área sob a curva da população neuronal normalizada ao longo do tempo e reflete a exposição total e a manutenção dos neurónios, através da tabela comparativa podemos constatar que a AUC também é superior em todos os modelos com neurogénese (média de 492.89 vs 489.96 sem neurogénese), reforçando o efeito protetor. Por fim, a métrica da % perda máx. é particularmente reveladora: no modelo sem neurogénese, a perda máxima de n é de 1.34%, mas com a neurogénese, esta percentagem diminui drasticamente para uma média de 0.70%. Isso sugere que, sob quimioterapia, a neurogénese não só preserva a população neuronal, como também reduz a extensão do dano máximo sofrido, alinhando-se com a expectativa de preservação ou recuperação parcial de neurónios.

Cenário 2: Sem Quimioterapia

Neste cenário (Figura 2) como seria de esperar a população dos neurónios sofre grandes perdas devido à ação indireta do glioma, contudo, a introdução da neurogénese demonstra um impacto positivo: a população final de n (n final) e o n mínimo (que se equivalem neste cenário) são consistentemente superiores em todos os modelos com neurogénese (média de 0.3409), comparativamente ao modelo sem neurogénese (0.2760), representando um aumento substancial. A AUC(n) também apresenta um aumento consistente com o incremento de γ, refletindo uma maior população neuronal mantida ao longo do tempo (média de 375.76 vs 361.91 sem neurogénese). Adicionalmente, a percentagem de perda máxima de neurónios diminui à medida que γ aumenta; enquanto o modelo sem neurogénese exibe uma perda de 72.12%, o modelo com neurogénese consegue reduzir essa perda para uma média de 65.57%. Embora a perda total ainda seja considerável, a neurogénese claramente atenua a magnitude dessa perda, contribuindo para o retardamento do colapso neuronal.

Kempermann, G., Gast, D., & Gage, F. H. (2002). Neuroplasticity in old age: Sustained fivefold induction of hippocampal neurogenesis by long‐term environmental enrichment. Annals of Neurology, 52(2), 135-143.

Pinho, S. T. R., Bacelar, F. S., Andrade, R. F. S., & Freedman, H. I. (2013). A mathematical model for the effect of anti-angiogenic therapy in the treatment of cancer tumours by chemotherapy. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 14(1), 815-828. https://doi.org/10.1016/j.nonrwa.2012.07.034

Smith, K., & Semenov, M. V. (2018). The impact of age on cell proliferation in hippocampal subgranular zone in adult mouse brain. Alzheimer's & Dementia, 14(7), S1534-S1535.