Las gráficas de las funciones cuadráticas tienen características que están estrechamente relacionadas con su forma simbólica. A medida que exploremos estas gráficas, aprenderemos a identificar estas características, y veremos algunas de las maneras de estructurar las ecuaciones cuadráticas.

 

Las parábolas tienen muchas propiedades que pueden ayudarnos a graficar ecuaciones cuadráticas. Una parábola tiene un punto especial llamado vértice; este es el punto donde la U "da la vuelta". Nota que en el vértice, la parábola cambia de dirección:

 Hemos visto cómo graficar una ecuación cuadrática dibujando los valores de x y y y conectándolos con una curva suave. Otra forma de graficar una parábola es usando lo que sabemos sobre el vértice y el eje de simetría. Sabemos que el vértice es el punto donde la parábola cambia de dirección. Y sabemos que cada punto de un lado del eje de simetría tiene un punto equivalente en el otro lado, a la misma distancia del eje y con la misma coordenada y. Si encontramos el vértice y algunos puntos de un lado, tendremos todo lo necesario para dibujar una gráfica.

Otras características útiles de una ecuación cuadrática son las raíces de una ecuación cuadrática. Las raíces son puntos donde la parábola toca o cruza el eje x. Las coordenadas x en esos puntos se conocen como intersección en x. (Las coordenadas y son 0.) Dependiendo de la naturaleza de la gráfica (la dirección de la forma de U y la localización del vértice), una función cuadrática puede tener cero, una, o dos raíces. Piensa por un momento sobre cómo se vería una parábola que intersecta el eje x en un solo lugar. O en dos lugares.

 

La forma estándar de una ecuación cuadrática es .  Esta forma nos permite encontrar fácilmente el vértice de la parábola y el eje de simetría usando la fórmula para la coordenada x del vértice, .

 

La forma intersección de una ecuación cuadrática es y =. Las raíces, o intersecciones en x de la parábola son (p, 0) y (q, 0). No todas las ecuaciones cuadráticas tienen una intersección porque no todas las parábolas tienen una raíz.

Lo cierto es que al comenzar a trabajarlas, quitar paréntesis, resolver operaciones etc, muchas veces se eliminan términos o se asocian otros, creando realidades diferentes a las que intuías en un principio. Pero el punto es que tarde o temprano llegas a lo que se llama la forma tipo de una ecuación de segundo grado, es decir ese momento en que ya no hay más operaciones para hacer y debes comenzar a resolver la ecuación.

¿Cuáles son esas formas tipo? Precisamente en base a ellas es que hacemos la clasificación más importante de ecuaciones de segundo grado, es decir la que las divide entre ecuaciones completas y ecuaciones incompletas de segundo grado.

Son aquellas que tienen un término de segundo grado (o sea un término “en X ² ” ), un término lineal (es decir “en x”) y un término independiente, es decir un número sin x. Un ejemplo de una ecuación de este tipo es la siguiente:

 Ten en cuenta que al coeficiente del término cuadrado, habitualmente se le llama a, al del término lineal se le llama b y al independiente se le llama c, de modo que en este caso: a=2, b=-4 y c=-3 . 

Pues bien entonces, hay dos tipos de ecuaciones incompletas de segundo grado: aquellas a las que les falta el término lineal  (o sea el término “en x”) y aquellas a las que les falta el término independiente (o sea el que no tiene x).