También se encontraron tabulaciones de valores n² + n, sumas de la progresión geométrica 1 + 2 + 2² + … , sumas de la serie de cuadrados 1² + 2² + 3² + … + n². La disposición de estas tablas se asemejan a las que acostumbramos a construir con nuestros estudiantes para funciones f(x). En estas tablillas sólo consta el estudio aplicado a situaciones concretas, no se evidencia una formulación genérica.

Por un lado, Boyer (1986), sostiene: “El hecho de que no se haya conservado ninguna formulación general de estas tablas no significa (…) que no existiera (…) consciencia de la generalidad de dichas reglas”. Por otro lado, Youschkevitch (1976) afirma que no hubo ninguna idea de función en la Matemática antigua, aunque Pedersen (1974) opina que los babilónicos manifestaban un “instinto de funcionalidad”.

Ejemplo de aplicación

Los babilonios escribieron múltiples tablas de cálculo. Dos de ellas datan de 2000 a.C. y dan los cuadrados de los números del 1 al 59, y los cubos de los números del 1 al 32. Los babilonios conocían las relaciones. 

La tabla de cuadrados era suficiente para calcular cualquier producto. Un dato interesante de tomar en cuenta es como estas tablas se presentan en forma de columnas, como un anticipo a través de la historia, de las tablas que hoy en día se utilizan en los primeros niveles de enseñanza para representar funciones de variable discreta real y = f(x). Además, se sabe que complementaban sus tablas por medio de aritmética, usando interpolaciones y extrapolaciones de datos.

Es evidente que el trabajo matemático se caracterizó por la búsqueda de herramientas o métodos para contar o para registrar cantidades, ya sean observadas o calculadas. Este tipo de registro escrito, bien sea de observaciones de dos cantidades relacionadas, o bien sea de valores calculados para cantidades numéricas en las culturas babilónicas son similares a las que recurrimos al tratar de establecer relaciones mediante una tabla de valores entre una variable x y su y = f(x).

Pitágoras y sus seguidores tenían gran afinidad con el pensamiento babilónico, de allí la consideración de que “todo es número”. Los pitagóricos intentaron relacionar los números y las magnitudes mediante las proporciones. En este sentido, las proporciones representaban la razón numérica que se puede establecer entre dos cantidades de una misma magnitud. Ruíz Higueras (1998) brinda algunos ejemplos: “(…) las áreas de los círculos o los volúmenes de las esferas son proporcionales al cuadrado y al cubo, respectivamente, de sus radios; no admitían que esta proporción pudiese ser válida para los radios simplemente, pues pertenecían a una magnitud diferente, la longitud”. Esta forma de razonamiento resultaba un impedimento en la observación de las relaciones de dependencia entre magnitudes diferentes que, en cierto modo, los hubiese aproximado a considerar relaciones funcionales.

Tiempo después, surge el problema de la inconmensurabilidad, que mostraba la existencia de casos donde es imposible encontrar una medida común para dos cantidades. René de Cotret (1985) sostiene que “la inconmensurabilidad y las paradojas – refiriéndose a Zenón – son obstáculos a la noción de función”. La separación entre números y magnitudes se evidencian, fundamentalmente, en los Elementos de Euclides, al tratar en diferentes libros las propiedades de las proporciones, ya sean numéricas, o formadas por magnitudes. Los números se consideran enteros y discretos, pero las magnitudes continuas. El hecho de que no se considere la noción de número continuo, resulta ser un obstáculo en la construcción de la noción de función.

Ejemplo de aplicación

Los griegos fueron los primeros en establecer la noción de dependencia entre cantidades. Como ejemplo tomaremos el caso particular de Arquímedes y la primera ley de la hidrostática.

“Cualquier cuerpo sólido que se encuentre sumergido total o parcialmente en un fluido será empujado dirección ascendente por una fuerza igual al peso del volumen del líquido desplazado por el cuerpo sólido”.

Con poco esfuerzo es posible establecer en el enunciado anterior, no sólo la dependencia entre cantidades –o magnitudes asociadas a objetos–, sino el concepto de función utilizado en la actualidad:

“Si A es el conjunto de todos los cuerpos sólidos y B es el conjunto de todos los vectores verticales que apuntan hacia arriba entonces, para todo x en A existe un único F(x) en B tal que dicha función sea igual al volumen(x)”.

Resulta interesante ejemplificar las evidencias de dos concepciones primitivas del concepto de función: las tablas de valores y la fórmula. La siguiente construcción usada por los artesanos árabes en sus cerámicas.

“Sobre una recta AG se sitúa un punto arbitrario B y se traza la recta BE, perpendicular a AG. En el segmento BG se marcan puntos arbitrarios H, D, Z, ... Las semi circunferencias de diámetros AH, AD, AZ, ... determinan, respectivamente, los puntos T, I, F, ... de la recta BE. Los puntos K, L, M, ... de la figura pertenecen a la parábola de vértice B, eje AG y parámetro AB”.

La parábola anterior tiene por recta directriz una recta paralela a la recta BE situada a un cuarto de la distancia entre B y A, y por foco un punto situado sobre el rayo BG, también a un cuarto de la distancia entre B y A.

Ver imagen de la construcción de la parábola:
https://drive.google.com/file/d/1lc8uiMe4_Fa9bnsoZyKoAfZjpuxn8Fvq/view?usp=sharing

A partir del siglo XIII, la Matemática tiende a ocupar un lugar cada vez más preponderante en las ciencias naturales. Crombie (1979) explica que la historia de las ciencias europeas, en este período, puede ser considerada como “una penetración progresiva de las matemáticas, junto con el método experimental, en el dominio que se creía pertenecía exclusivamente a las ciencias físicas".

Los aportes de Grosseteste y Bacon sustentan a las matemáticas como el principal instrumento para estudiar los fenómenos naturales, contribuyendo al desarrollo de la noción de función. Es entonces, cuando al considerar fenómenos sujetos al cambio (calor, densidad, luz, distancia, velocidad) son estudiados planteándose no solo por qué suceden los cambios sino fundamentalmente cómo suceden.

Los nuevos métodos de la física matemática fueron desarrollándose en conexión con la idea de relación funcional.

Se desarrollaron métodos como los de la Mecánica de Bradwardino de Oxford (algebra de palabras) y la representación por medio de gráficas.

En 1361, Oresme propone una idea que hoy nos lleva a la denominada representación gráfica de funciones. Oresme distingue tres tipos e configuraciones diferentes: uniformemente uniformes, uniformemente deformes y deformemente deformes. Al respecto René de Cotret (1985) afirma: “podemos decir que Oresme ha tallado el árbol del bosque que permitiría más tarde a Descartes y a Galileo confeccionar la rueda”.

Ejemplo de aplicación 

Para esta etapa consideraremos el caso de Thomas Bradwardine (Bradwardino) quien utilizó el “álgebra de palabras” para expresar relaciones de tipo funcional. Su idea era utilizar letras del alfabeto en lugar de números para sustituir cantidades variables, y representar con palabras, las operaciones suma resta, etc. En su obra "del tractatu de proportionibus velocitatum" establece que:

“Cuando la fuerza es mayor que la resistencia, la velocidad depende de los cocientes de ambas magnitudes, y cuando es igual o menor no se produce movimiento”.

Klein sostiene que en concreto Bradwardine consideraba que “elevando al cuadrado el cociente de la fuerza y la resistencia, se produce una duplicación de la velocidad, y a la inversa”.

Los adelantos respecto de la notación contribuyeron en el desarrollo del concepto de función debido a la formulación y la expresión que actualmente consideramos “variable” en una función o “incógnita”  en una ecuación.

En esta época se destaca Galileo debido a su contribución a la evolución del concepto de función ya que en sus trabajos se evidencia la búsqueda de resultados y relaciones que provienen de la experiencia más que las que solo de la abstracción. Su principal campo de estudio ha sido el movimiento y en consecuencia, la velocidad, la aceleración y la distancia recorrida.

La noción de logaritmo surge a finales del siglo XVI de la mano de Stiefel sobre trabajos realizados por Chuquet y de Neper. La idea de Neper de introducir los logaritmos mediante la comparación de movimientos demuestra un sentido de la continuidad y la estrecha relación entre número y magnitud.

Ejemplo de aplicación

Un problema al que se debió enfrentar Galileo es el siguiente:

¿Cómo expresar de manera funcional la relación entre las causas y sus efectos?

Tomamos este ejemplo para considerar los aportes de Galileo en su empeño por buscar resultados y relaciones en la experiencia más que en la abstracción. La experiencia para él estaba favorecida por nuevos instrumentos de medida que introdujeron aspectos cuantitativos donde antes no existían. René de Cotret (1988) afirma que “es en este contexto que, el desarrollo de la concepción de variable dependiente (gracias a los trabajos de Galileo), vital en el establecimiento de relaciones causa-efecto de manera cuantitativa, contribuyó enormemente a la evolución de la noción de función”.

El uso de Galileo de fórmulas para relacionar ciertas cantidades, en particular, para representar las relaciones que se generan entre determinadas variables, al estudiar algún fenómeno. Galileo sugería:

1. A partir de los datos recolectados al observar un fenómeno, crear un modelo ideal al desechar variables que no influyen en forma determinante en los resultados.

2. A partir de reiteradas repeticiones del experimento, se obtiene el promedio de las mediciones, tomando en cuenta correcciones resultantes de factores perturbadores.

3. A partir de las mediciones obtenidas en los experimentos, se formulan hipótesis matemáticas, con el objetivo de obtener conclusiones basadas en razonamientos lógicos.

4. Nuevamente, mediante experimentación, se verifican las conclusiones con el fin de verificar las hipótesis planteadas.

El instrumento algebraico generó el descubrimiento del mundo de la “representación analítica” de la mano de Fermat y Descartes, dando lugar a la geometría analítica como un método de expresión de las relaciones numéricas de las dimensiones, formas y propiedades de los objetos geométricos, utilizando el método de coordenadas.

Sierpinska (1989) menciona que “el desarrollo de la notación simbólica y de la resolución de ecuaciones fue tan significativo que, por medio de él, se fue superando el obstáculo epistemológico de la diferenciación existente entre números y magnitudes”. Así también, el mismo Sierpinska, considera que el encantamiento con el Álgebra podría resultar en un obstáculo para el desarrollo del pensamiento funcional debido a que se llegó a pensar que las únicas relaciones dignas de estudio eran aquellas que pueden ser descriptas por medio de expresiones algebraicas y ecuaciones.

El surgimiento de la Geometría Analítica contribuyó a la formación del análisis infinitesimal convirtiéndose en un elemento imprescindible para la construcción de la Mecánica de Newton, Lagrange y Euler.  La primera etapa en la existencia del análisis fue la formación del cálculo diferencial e integral abordado por Newton y Leibniz.

Leibniz, en 1675, expresó la idea general de dependencia funcional, introduciendo el término “función”. En sus últimos manuscritos, la noción de función se identifica con ciertas longitudes tales como abscisas, ordenadas, tangentes, normales, etc., asociadas con la posición de un punto en una curva, que también fue considerada por Bernoulli (1694).

La eficacia de los cálculos formales se constituyó en un obstáculo epistemológico para el desarrollo de la noción de función debido al pragmatismo filosófico de las matemáticas.

Los planteamientos que surgen en el siglo XIX a los trabajos de Descartes, Newton, Leibniz y Bernoulli, darán paso al desarrollo del concepto de número real y la elaboración de la Teoría de Funciones.

Ejemplo de aplicación

Las problemáticas de este período giran en torno a las siguientes cuestiones:

Para la geometría sólo existían aquellas curvas que pudieran trazarse con regla y compás. Esta situación restringía al álgebra en su campo de aplicación y a la geometría en el espectro de curvas conocidas, puesto que algunas construcciones geométricas eran casi imposibles. Las dos empiezan a tornarse insuficientes frente a las necesidades que la humanidad le planteaba a la ciencia que consideraba modelo de racionalidad. Descartes busca resolver problemas de construcciones geométricas mediante el álgebra dándole sentido a esta desde la geometría. Establece que una curva se puede construir con sólo su expresión algebraica superando el criterio –griego– que exigía la constructibilidad de la línea para aceptar la existencia de una curva, ampliando el espectro de curvas conocidas distinguiendo, incluso, entre curvas geométricas y curvas mecánicas. De esta manera, afirma Youschkevitch (1976) es a Descartes a quien se le debe la idea de presentar una función en forma analítica al determinar que una ecuación en x y y muestra la dependencia entre dos cantidades variables. 

 

Por su parte, Lagrange, en su definición de función propone identificarla como “toda expresión de cálculo”.

En cuanto al concepto de continuidad se consideran los aportes de Bolzano y Cauchy que actualmente son admitidas en el estudio de funciones.

Los trabajos de Euler dieron lugar a la resolución del problema físico-matemático de las vibraciones infinitamente pequeñas de una cuerda finita, homogénea y fija en sus dos extremidades. Para la resolución de este problema, Euler tuvo que considerar funciones más generales que las funciones analíticas recurriendo a las funciones compuestas por trozos.

A fines del siglo XVIII la noción de continuidad fue el eje de las críticas que surgieron en torno al concepto de función “mixta” o discontinua por parte de Charles y Cauchy. En 1822, Fourier afirma que la serie trigonométrica puede ser utilizada para representar toda función “mixta”.

Ejemplo de aplicación

Entre 1750 y 1801, el concepto de función, según Euler generó polémica. El debate se centraba en “si una función debía o no ser expresada mediante una sola fórmula”. Al estudiar el problema de las cuerdas vibrantes, Bernoulli quien obtuvo la solución por medio de una única fórmula expresada por medio de una serie trigonométrica y, por su parte  D’alambert, que arriba a una solución que podía ser dada por fórmulas diferentes para diferentes valores del argumento; se tenía entonces un mismo problema, con dos soluciones diferentes.

En 1801, Fourier demostró que la suma de una serie infinita de funciones trigonométricas puede expresarse en intervalos diferentes mediante fórmulas diferentes. Este hecho puso fin a la discusión, y se manifestó que lo más importante es cómo se expresan los valores que toma la función, y que si dichos valores se pueden expresar de una o de varias maneras no era lo esencial. En la práctica, no había diferencia alguna entre las soluciones de Bernoulli y D’alambert (Ugalde, 2014).

Cauchy (1827) brindaba la siguiente definición: “Cuando unas cantidades variables están ligadas entre ellas de tal manera que, dando el valor de una de ellas, se puede deducir el valor de las otras (…)”.

Lobachevsky (1834), afirmó: “El concepto general exige llamar función de x a un número, el cual se da para cada x y paulatinamente varia junto con x (…)”.

En 1837, Dirichlet propone la siguiente definición: “Si una variable y está relacionada con otra variable x de tal manera que siempre que se atribuya un valor numérico a x hay una regla según la cual queda determinado un único valor de y, entonces se dice que y es una función de la variable independiente x”.

En este período se produce una situación crítica debido a la disociación entre la definición y la intuición geométrica. Por lo tanto, el análisis debe fundar sus propios principios y delimitar por sus propios medios sus dominios.

El desarrollo de la teoría de funciones de Weierstrass y la teoría de conjuntos de Cantor ejercieron una influencia significativa en el desarrollo de las matemáticas, más allá de las críticas surgidas en ese tiempo. En el caso de la teoría de conjuntos, sirvió como base de la actual teoría de funciones de variable real,  la topología, el álgebra y el análisis funcional.

Ejemplo de aplicación

"El dominio de una función"

Para abordar la determinación del dominio de una función analizaremos la definición siguiente definición de Cauchy:

“Cuando unas cantidades variables están ligadas entre ellas de tal manera que, dando el valor de una de ellas, se puede deducir el valor de las otras, concebimos de ordinario estas diversas cantidades expresadas por medio de una que toma el nombre de variable independiente y las otras cantidades expresadas por medio de la variable independiente son las que llamamos funciones de esta variable”.

Ante esta definición, Lobachevsky escribió:

“El concepto general exige llamar función de x a un número, el cual se da para cada x y paulatinamente junto con x. El valor de la función puede estar dado por una expresión analítica, o por una condición, es decir, la dependencia puede existir y quedarse desconocida”.

Se establece por primera vez la condición de que la función debe asignar un valor a todo “número” en su dominio. Lobachevsky se desliga la necesidad de conocer en forma expresamente analítica el criterio de asignación de valores.

En textos de nivel universitario, algunos autores en su intento de dar una mayor formalización y precisión definen a la función como una terna en relación a conjuntos que verifican ciertas condiciones.

Tanto Russell como Hausdorff  expresan la importancia de la idea de función y la conveniencia de identificar la función y la relación sin olvidar que la idea de “funcionalidad es más importante que la de relación” (Russell, 1967).

Ejemplo de aplicación

Para abordar esta situación que tomamos como ejemplo, recurrimos a los pasos que el mismo Cantor propuso. El empieza a constituir la teoría de conjuntos lineales de puntos y a introducir los números transfinitos, necesarios para su teoría general de conjuntos infinitos.

En 1903, Rusell demuestra inconsistencias en la definición intuitiva de conjunto propuesta por Cantor: “Por un conjunto entendemos una colección cualquiera M de objetos definidos y distintos de nuestra percepción o de nuestro pensamiento (a los cuales llamaremos los elementos de M) en un todo”, a través de la famosa paradoja que plantea por carta a su amigo Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848 - 1925); en ella pregunta si el conjunto de los conjuntos que no se contienen a sí mismos forma parte de sí mismo (conocido también como la paradoja del barbero); la paradoja consiste en que si ese conjunto no se contiene a sí mismo entonces hace parte de él mismo por la definición del conjunto (contradicción), y si se contiene a sí mismo entonces no puede estar en él mismo (de nuevo, contradicción). Queda en evidencia que la definición de Cantor es ingenua por su carácter circular y debe reelaborarse, lo que da inicio al proceso de reconstrucción de la ya famosa teoría. (Porras Torres, 2018).

Porras Torres (2018) explica: “Rusell da solución radical a la cuestión con su “teoría de tipos” en la que propone diferentes niveles de conceptos con la condición de que ningún concepto puede aplicarse a conceptos de nivel igual o superior. En 1908 Ernst Zermelo construyó, por primera vez en la historia, la axiomatización de la teoría de conjuntos mediante siete axiomas otorgándole precisión, pero restringiéndola para evitar las paradojas ya identificadas”.

Godement, miembro del grupo Bourbaki, presenta en 1971 una definición de función como terna, es decir, una definición aún más estructural (Ruiz, 1998):

FCT: Función como terna: “se llama función a la terna f=(G,X,Y), en donde G,X,Y son conjuntos que verifican las condiciones siguientes:

1. G ⊂ XxY

2. Para todo x ∈ X, existe un y sólo un y ∈ Y, tal que, (x,y)∈G, G es la gráfica de la función f.

El único elemento y de Y tal que (x,y)∈G se llama valor de la función f en x, y se utiliza para designarlo y=f(x). Es evidente entonces que la gráfica G es el conjunto de pares de la forma (x,f(x)) donde x ∈ X, lo que está de acuerdo con la idea intuitiva de función.

A ⊂ X se le denomina conjunto de partida de f y a Y conjunto de llegada de f.”