GEOMETRIA ANALITICA by maria jose foyain

PUNTO

majofoyain — 2019-11-02 14:14:36 UTC

Unidad minima de comunicación grafica , no tiene area , volumen , longitud ni dimensiones en un plano 2d solo necesitamos dos coordenadas para ubicarlo. se representa con una letra . A (x,y) K(4,5)

RECTA

majofoyain — 2019-11-02 14:58:15 UTC

Linea formada por una serie continua de puntos, no tiene ángulos ni curvas .solo se necesitan dos puntos para hacer una.

Decreciente de los cuadrantes II–IV.
Creciente de los cuadrantes I–III.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS O LONGITUD DE UNA RECTA.

majofoyain — 2019-11-02 15:04:01 UTC

Si l a recta es paralela al:

Eje x: d=(x₁-x₂) =| d |
Eje y d=(y₁-y₂) =| d |

Si la recta es inclinada :

d= √(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²

CONTENIDO

majofoyain — 2019-11-02 17:19:59 UTC

Punto
Recta
Distancia entre dos puntos.
Punto medio de una recta.
Pendiente.
Ecuaciones Cartesianas.
Cónicas , tipos , elementos , ecuaciones canónicas y generales.

PUNTO MEDIO DE UNA RECTA

majofoyain — 2019-11-02 21:45:43 UTC

sea cual sea la recta

P_m=(x₁-x₂)/2 , (y₁-y₂)/2

PENDIENTE(m)

majofoyain — 2019-11-02 22:13:22 UTC

Es la inclinación o ángulo de la recta respecto al eje positivo del eje x.

m=(y₂–y₁)/(x₂–x₁)
m=arc tan xº
m=arc tan(y₂–y₁)/(x₂–x₁)

ECUACIONES CARTESIANAS DE LA RECTA.

majofoyain — 2019-11-02 23:30:13 UTC

Punto pendiente:

tenemos pendiente (m) y el y–intersecto (b)

y=mx +b
Pendiente -punto:

tenemos la pendiente (m) y un punto

(y–y₁)=m(x–x₁)

CONICAS

majofoyain — 2019-11-02 23:45:36 UTC

son todas las curvas que se obtienen de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano , generatriz(g) del cono

No degeneradas: el plano de proyección no contiene al vertice.( en estas nos enfocaremos)
Degeneradas :cuando el plano de proyección contiene el vertice.

CONICAS NO DEGENERADAS

majofoyain — 2019-11-03 04:02:59 UTC

< se proyectan en el plano cartesiano como se ve en la figura .
excentricidad:es un parámetro que determina el grado de desviación de una sección cónica con respecto a una circunferencia. en su respectivo orden de izquierda a derecha:

circunferencia : el plano es perpendicular al eje del cono, no tiene excentricidad porque es el punto de referencia para esta.
parabola: el plano es paralelo a una generatriz y corta solo una hoja de las superficies cónicas, su excentricidad =1.
Elipse: el plano tiene un angulo mayor respecto al eje del cono que las generatrices, su excentricidad < 1 .
Hipérbola: el plano tiene un angulo menor respecto al eje del cono que las generatrices , su excentricidad > 1.

CIRCUNFERENCIA ECUACION CANONICA

majofoyain — 2019-11-03 04:10:06 UTC

Con centro en (h,k) y punto de la circunferencia p (x,y) .tambien r=√(x–h)²+ (y–k)²

si ,C(0,0) x²+y²=r²

PARABOLA ELEMENTOS

majofoyain — 2019-11-03 04:15:23 UTC

f = foco
d= directriz
eje de simetriapasa por f y es perpendicular a d
el punto de intersección de la parabola con el eje es el vertice.
la cuerda que pasa por f y es perpendicular al eje es el lado recto.
p es la distancia del foco al vertice

ELEMENTOS DE LAS CONICAS

majofoyain — 2019-11-03 04:53:17 UTC

CIRCUNFERENCIA ELEMENTOS

majofoyain — 2019-11-03 05:00:10 UTC

tenemos los necesarios en cónicas:

centro (h,k)
radio (r)
un punto sobre la circunferencia p(x,y)

ECUACION GENERAL DE LA RECTA

majofoyain — 2019-11-03 05:18:54 UTC

Ax +By+C=0

Al despejarla encontramos a la ecuación
punto-pendiente donde m=–A/B
que tambien es una ecuación lineal lista para empezar a reemplazar en x

ELIPSE ELEMENTOS

majofoyain — 2019-11-03 05:31:40 UTC

1. Focos: Son los puntos fijos F y F'.
2. Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
3. Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.
4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
5. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.
6. Distancia focal: Es la distancia entre los dos focos, c es el valor de la semidistancia focal.
7. Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.
8. Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse

HIPERBOLA ELEMENTOS

majofoyain — 2019-11-03 14:54:34 UTC

Focos: Son los puntos F y F’
Distancia focal: Es el segmento FF’, cuya longitud es 2c
Radio vectores: Son los segmentos PF’ y PF
Centro de la hipérbola: Punto O donde se cortan los eje

Vértices: Son los puntos A, A’, B y B’. A y A’

A y A’ son los puntos de corte del eje real con la hipérbola. Sus coordenadas son (a,0) y (-a,0) respectivamente.
B y B’ son los puntos de corte del eje secundario con la circunferencia de centro en el punto A y radio «c». Sus coordenadas son (b,0 ) y (-b,0) respectivamente.
Eje real: Es el segmento AA’, cuya longitud es 2a
Eje imaginario: Es el segmento BB’, cuya longitud es 2b
Semieje real: Es la longitud «a»
Semieje imaginario: Es la longitud «b»
Semidistancia focal: Es la longitud «c»
Eje focal: Es la recta que pasa por los focos y por el eje real
Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF’

PARABOLA ECUACION CANONICA

majofoyain — 2019-11-03 17:28:37 UTC

f =(h,p+k)
directriz de la parabola paralela a y, y=k-p y en x ,x =h-p
eje de simetria paralelo al eje x , x=h ,paralelo al eje y, y=k
en la imagen que se son ecuaciones cuando el vertice es (h,k) y la primera ecuación es para eje de simetria paralelo al eje y, y la segunda al x. ambos hacia el lado positivo. tiene que en estos dos casos cuando p es negativo se cambia respectivamente el signo –4p...
cuando el vertice es (0,0) y el foco esta en y , x²=4py , cuando es en x , y²=4px.
es importante decir que en las anteriores ecuaciones el valor de los positivos o negativos depende de la orientación de la parabola.

ELIPSE ECUACION CANONICA

majofoyain — 2019-11-03 18:54:44 UTC

viendo los elementos arribas presentes y teniendo :
a>b>0 , a²=b²+c²

Centro en (0,0) :

eje focal paralelo a eje y: x²/b²+y²/a²=1
eje focal paralelo al eje x:
x²/a²+y²/b²=1

Centro en (h,k):

eje focal paralelo a eje y:
(x-h)²/b²+(y-k)²/a²=1
eje focal paralelo al eje x:
(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1

HIPERBOLA ECUACION CANONICA

majofoyain — 2019-11-03 20:46:07 UTC

Centro (h,k) y eje real:

Paralelo al eje x: (x-h)²/a²-(y-k)²/b²=1
Paralelo al eje y: (y-h)²/a²-(x-k)²/b²=1
a,b,c>0 , a y c²=a²+b²

Con centro en (0,0):

ECUACION GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA

majofoyain — 2019-11-03 23:04:38 UTC

Tenemos que factorizar la ecuación canonica por producto notable o bien si c= (0,0)

r=√(x–h)²+ (y–k)²

x²-2xh+h²+y²-2yk+k²=r²

x²-2xh+h²+y²-2yk+k^2`-r² =0
x²+y²-2xh-2yk+h² +k²-r²=0 organizándola

reemplazando en la ecuación:
D=-2h , E=-2K , F=h+k –r²

x²+Dx+y²+Ey+F=0
x²+y²+ Dx+ Ey+F=0 , el orden de los factores no altera el producto.

Los resultados de esta ecuación

D²/4+E²/4-F>0,circunferencia
r=0 , punto
D²/4+E²/4-F<0 , circunferencia imaginaria

ECUACION GENERAL PARABOLA

majofoyain — 2019-11-04 00:10:56 UTC

Factorizamos con trinomio cuadrado perfecto y producto común, luego se organizan en factor de x , y sesustituyen las letras .En la ecuación general como en la canonica tambien se tiene en cuenta si su eje es paralelo al eje x o y.
vertice (h,k)

eje de simetria paralelo al eje y positivo:

(x-h)²=4p(y-k)

x²-2xh+h²=4py-4pk factorizado

x²-2xh-4py+h²+4pk=0

Al sustituir :
D=-2h , E=-4p , F=h²+4pk
nos queda la ecuacion general:

X²+Dx+Ey+F=0

2.El eje de simetria es paralelo al eje x:

(y-k)²=4p(x-h)

y²-2yk+k²=4px-4ph ,factorizado

y²-4px-2yk+k²+4ph=0

Al sustituir
D=-4p , E=-2k , F =k²+4ph
ecuación general:

y²+Dx+Ey+F=0

ECUACION GENERAL DE LA ELIPSE

majofoyain — 2019-11-04 04:42:47 UTC

procederemos con el eje focal paralelo a x:
(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1
multiplicamos por a²b²b² (x-h)²+ a²(y-k)²=a²b²

realizamos los productos notables
b²(x²-2xh+h²)+a²(y²-2yk+k²)=a²b²

b²x²-2b²xh+b²h²+a²y²-2 a²yk+a²k²-a²b²=0 , al efectuar las operaciones .

Al sustituir
A=b²C=a² , D=-2b²h , E=-2a²k ,
F =b²h²+a²k²-a²b²(a,b,h y k son constantes)

la ecuación general de la elipse con el eje focal paralelo al eje x es:

Ax²+Cy²+Dx+Ey+F=0 , A ≠C y ambas del mismo signo.
con la elipse de eje focal paralelo al eje y ,se procedera de igual manera procedimental. teniendo en cuenta los cambios de letra y eje.

ECUACION GENERAL HIPERBOLA

majofoyain — 2019-11-04 05:35:31 UTC

procederemos con centro(h,k) y eje real paralelo al eje x: (x-h)²/a²-(y-k)²/b²=1
multiplicamos por a²b²

b²(x-h)²-a²(y-k)²=a²b²

realizamos los productos notables y las multiplicaciones
b²(x^2_2xh+h²)-a²(y²-2yk+k²)=a²b²b²x²-2b²xh+b²h²-a²y²+2a²k-a²k²-a²b²=0
al sustituir A=b² , C=a² , D=-2b²h , E= 2 a²k , F=b²h²-a²k-a²b²(a,b,h y k son constantes)

con A y A,C≠0 nos queda:

Ax²-Cy²+Dx+Ey+F=0
Con centro (h,k) y eje real paralelo a y , se realiza el mismo procedimiento y quedaria:
Cy²- Ax²+Dx+Ey+F=0

majofoyain — 2019-11-04 13:00:24 UTC

majofoyain — 2019-11-04 13:04:46 UTC

APLICACION 1

majofoyain — 2019-11-04 13:05:49 UTC

Hallar el perimetro del poligono:
P₁(2,2) , P₂(7,5) , P₃(7,2) . utilizando las ecuaciones de distancia entre dos puntos.

d(P_1,P₃)=(x₁-x₂) =| d |
d=(2-7)=| 5 |
d(P_{2 ,}P₃)= d=(y₁-y₂) =| d |
d=(5-2)=| 3 |
d(P_1,P₂)=d= √(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²d=√(2-7)²+(2-5)²d=√25+9
d=√34 =5.83

P= 5+3+5.83= 18.83u

APLICACION 2

majofoyain — 2019-11-04 13:43:39 UTC

Hallar la ecuación general de la recta que tiene dos puntos P (5,-3) y Q (7,8)
Primero hallaremos la pendiente
m=(y₂–y₁)/(x₂–x₁)
m=(8-(-3)/(7-5) =11/2=5.5
ahora hallaremos el y- intersecto que necesitaremos para la ecuación general de la recta.
y=mx +b
al despejarla nos queda :y es cualquiera de las dos coordenadas y que nos dan los puntos

b=-mx+y b=-11/2x+8
b=5/2=2.5
8=-5.5x+2.5 ahora reemplazaremos y despejaremos en la ecuación general: Ax+By+C=0
5.5x+8-2.5=0

majofoyain — 2019-11-04 13:54:06 UTC

COLEGIO TECNICO SUPERIOR DE NEIVA Profesora:Maria Cristina Andrade Alumna: Maria Jose Foyain Son Grado: 1001 j.m Area :Matemáticas 2019

APLICACION 3

majofoyain — 2019-11-04 15:32:27 UTC

identificar el radio , el centro y el punto de la circunferencia de la siguiente ecuación canonica de la circunferencia.
r=√(x–h)²+ (y–k)²√(2+3)²+(8-5)²=r

√25+9=r

r=5.83 C(-3,5) P (2,8)

majofoyain — 2019-11-04 15:45:25 UTC