[Ari2] 5. La statistica by Istituto Italiano Edizioni Atlas divisione di Zanichelli editore S.p.A.

Le origini della statistica

edizioniatlas — 2023-06-07 08:42:35 UTC

La statistica pur essendosi sviluppata in modo importante negli ultimissimi anni, ha origini antichissime; i Romani effettuavano periodicamente il censimento della popolazione che governavano e perfino la Bibbia, parlando della nascita di Cristo, descrive grandi movimenti di popolazione che si recavano a registrare le proprie generalità nel libro dei censimenti. È però a partire dall’800 che la statistica, a causa di numerosi problemi di carattere sociale e politico, ha avuto il maggiore sviluppo.

Perché studiare la statistica

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Prima di prendere una decisione, dovremmo sapere come stanno le cose. Supponiamo di trovarci in un’isoletta in cui circolano due automobili. I proprietari le noleggiano e fanno anche gli autisti. Stiamo per prenderne una in affitto e non abbiamo alcuna ragione per scegliere l’auto di Antonio piuttosto che quella di Gianni. Però veniamo a sapere che nell’ultimo anno Antonio ha avuto 10 incidenti stradali, mentre Gianni ne ha avuto solo uno e non grave. A questo punto decidiamo di affidarci a Gianni e, probabilmente, facciamo bene.
Perché probabilmente? La ragione è che non potremmo escludere, senza saperne di più, che Antonio abbia avuto tutti quegli incidenti perché Gianni e i suoi amici hanno ordito una congiura ai suoi danni mettendo pietre sulla strada, facendogli trovare segnali stradali errati …… e così via.
Queste cose, però, normalmente non succedono e, quindi, in mancanza di altre informazioni è ragionevole pensare che Gianni è un automobilista più sicuro, prudente e abile. Operando così ci siamo basati su “dati statistici”. I dati raccolti su quello che è successo in vari anni a un individuo o a un’azienda oppure quello che è successo in un certo Paese in vari settori di attività, infatti, costituiscono quelle che vengono chiamate serie statistiche.
Per saperne di più visiona l’approfondimento “perché nasce e come si sviluppa la statistica” presente nel volume di Aritmetica 2 della collana “Archimede”.

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I dati statistici che riguardano l’Italia sono pubblicati dall’Istituto nazionale di Statistica (Istat) in un volume intitolato Annuario Statistico italiano. In questa pubblicazione sono raccolti i dati relativi al censimento generale della popolazione, dei servizi,
dell’industria, dell’agricoltura, di indagini campionarie sulle famiglie e di indagini economiche generali; si svolge ogni 10 anni.
I dati raccolti in seguito a ricerche o indagini possono essere sistemati in tabelle e rappresentati graficamente mediante un foglio elettronico. Per saperne di più visiona il video “Primi passi con Excel” presente nel libretto “Laboratorio 1” e l’approfondimento “la scelta del campione” presente nel volume di Aritmetica 2 della collana del nuovo testo “Archimede”

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In statistica la media è un singolo valore numerico che viene utilizzato per descrivere in modo sintetico una serie di dati. Esistono varie tipologie di media che possono essere scelte per descrivere un fenomeno; quelle che solitamente vengono utilizzate sono le cosiddette medie pitagoriche (aritmetica, geometrica e armonica).
Quando si parla di media, ci si riferisce comunemente alla media aritmetica che rappresenta l’indice di posizione più utilizzato.
Il calcolo della media di un certo numero di valori, si ottiene semplicemente sommando tali valori e dividendo per n la somma ottenuta.
Nel secondo volume di aritmetica della collana “Archimede” ci siamo occupati in modo completo ed esaustivo dello studio della media aritmetica; vogliamo adesso approfondire gli altri due tipi di media.

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Sappiamo bene che il valore degli Euro (e anche di altre monete) diminuisce anno per anno più o meno velocemente. Se non lo sapessimo ce lo ricorderebbero ogni tanto i mezzi di comunicazione (giornali, network televisivi, Internet ecc….) quando comunicano di quanto i prezzi sono aumentati rispetto all’anno precedente. Per non fare confronti sbagliati, allora, si esprimono le somme di denaro di un certo anno in Euro di un altro anno. Se la svalutazione (diminuzione del potere di acquisto della moneta) sarà, poniamo del 20% dal 2012 al 2021, vuol dire che gli euro del 2021 varranno 20% in meno di quelli del 2012, quindi per confrontare le due quantità bisogna dividere il valore degli euro del 2021 per 1,2 (cioè 120 : 100).
Se la svalutazione fosse stata del 15% tra il 2012 e il 2018, divideremo per 1,15 le somme del 2018 per renderle confrontabili con quelle del 2012.
Un altro metodo molto utilizzato per confrontare dati che variano nel tempo è quello dei numeri indice.
Iniziamo lo studio di questo importante indice statistico partendo dalla sua definizione.
“I numeri indice sono rapporti statistici che si realizzano tra i termini di una serie di dati quantitativi di un fenomeno e un termine della serie stessa, preso come riferimento, denominato valore standard e al quale si attribuisce il valore 100”.
Un esempio può servire a chiarire il concetto.
Supponiamo di voler analizzare l’andamento delle vendite di smartphone in un negozio di elettronica tra gli anni 2015 e 2020
Anni Smartphone
2015 1052
2016 1186
2017 1268
2018 1334
2019 1404
2020 1798
Come si può facilmente osservare analizzando i dati, le vendite sono andate molto bene, ma non si capisce di quanto sia stato l’incremento. Allora poniamo a 100 il valore dell’anno 2015, ma avremmo potuto considerare qualunque altro anno di riferimento, ed esprimiamo i valori degli anni seguenti dividendo ciascuno di essi per 2015, ovvero l’anno di riferimento.
In pratica bisogna impostare la seguente proporzione:
Valore anno : valore di riferimento = x : 100
I risultati che otteniamo si chiamano appunto numeri indice ed esprimono molto chiaramente gli incrementi delle vendite.

Prova a calcolare i valori dei numeri indice seguendo il seguente schema:
NUMERI INDICE
Anno 2015: valore di riferimento 1052 100
Anno 2016: (1186 : 1052) = ……………. …….
Anno 2017: (1268 : ……..) = …………….. …….
Anno 2018: (…….. : ……..) = ……………… …….
Anno 2019: (…….. : ……..) = ………………. …….
Anno 2020: (……. : ……..) = ………………. …….
In conclusione le vendite nell’anno 2020 sono aumentate di circa il ……% rispetto all’anno 2020.
Ma qui dobbiamo stare attenti. Dobbiamo chiederci: che cosa misurano i numeri? Se i numeri misurano le vendite in euro, cioè sono uguali alla somma di tutti gli smartphone venduti, allora dobbiamo considerare i prezzi unitari. Infatti sarebbe potuto accadere che il prezzo unitario di ogni modello di smartphone, ad esempio, sia raddoppiato tra gli anni 2015 e 2020. In questo caso gli euro incassati sarebbero il 71% di più, ma gli smartphone venduti il 15% in meno.
Conviene sempre, dunque, considerare con attenzione il significato dei dati; altrimenti le statistiche servono solo a fare confusione.

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Quando i dati relativi a un certo fenomeno sono in numero molto alto, spesso si distribuiscono in modo simmetrico rispetto al valore centrale. Questo tipo di distribuzione prende il nome di curva di Gauss dal nome del famoso matematico tedesco che per primo si dedicò allo studio dell’andamento dei dati statistici.
Per saperne di più visiona il link di approfondimento di pagina …… del testo di aritmetica 2 della collana “Archimede”.

Informazioni preliminari

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- La lezione permette di acquisire o rinforzare le conoscenze e le competenze fondamentali;
- Il percorso offre la possibilità di approcciare l’argomento attraverso diversi strumenti multimediali: audio, video, slide, esercizi interattivi in formato html, pdf scaricabili e software gratuiti online.
- La lezione si apre con una breve storia dell’origine di questa disciplina e continua sottolineando l’importanza dello studio dei dati statistici per analizzare e descrivere la realtà che ci circonda.

Obiettivi di apprendimento

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Conoscenze:
- Saper raccogliere i dati di una serie statistica
- Conoscere il significato di frequenza assoluta, relativa e percentuale di una serie di dati
- Conoscere il significato di media, moda e mediana di una serie statistica
- Saper distinguere le indagini di tipo qualitativo da quelle di tipo quantitativo
Abilità:
- Saper rappresentare i dati in tabelle (semplici e doppie)
- Determinare la frequenza assoluta, relativa e percentuale di una serie statitistica
- Calcolare i valori significativi (media, moda e mediana) di una serie statistica
- Saper rappresentare i dati di tipo qualitativo e quelli di tipo quantitativo
Competenze disciplinari:
- Analizzare ed interpretare i dati di una serie statistica per ricavarne misure di variabilità e prendere decisioni
Competenze digitali:
- Lavoro a distanza, comprendere e produrre elaborati digitali

Metodologia didattica

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- Didattica capovolta (flipped classroom)
- Studio attivo autonomo
- Didattica digitale integrata

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Un altro importante valore significativo è la media geometrica.
Vediamo che cos’è e quando è opportuno calcolarla. Il caso tipico é la descrizione di un fenomeno di crescita.
Consideriamo una pianta acquatica che ogni giorno raddoppi l’estensione della sue foglie sull’acqua di un lago. Se in dato giorno copriva una superficie S e quattro giorni dopo copriva una superficie 16 volte maggiore (ovvero 16 S), che superficie avrà coperto due giorni dopo quello iniziale?
Saremmo tentati di rispondere calcolando la media aritmetica:
media = (S + 16 S) : 2
La risposta però è sbagliata. In questo caso va usata la media geometrica. In generale possiamo affermare che:
“la media geometrica tra n valori si calcola estraendo la radice ennesima del prodotto degli n numeri x1, x2, x3 …….xn”
Tornando al nostro esempio, consideriamo la tabella della crescita che avviene con un raddoppio ogni giorno:

1 giorno: superficie 1 S x1
2 giorno: superficie 2 S x2
3 giorno: superficie 4 S x3
4 giorno: superficie 8 S x4
5 giorno: superficie 16 S x5

In base alla formula avremo:
1S • 2S • 4S • 8S • 16S = 1024S = 4S

(Per grafico: inserire la radice quinta tranne in 4S)

Informazioni preliminari

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La possibilità di avere informazioni corrette e in modo rapido in una società moderna come la nostra in cui è indispensabile analizzare grandi quantità di dati è diventata una delle esigenze fondamentali. In tutti i campi, dall’economia alla medicina, dalle scienze alla produzione di beni, i mezzi di comunicazione più diffusi, da Internet ai social media, dalle televisioni e ai giornali, ci propongono quotidianamente varie sintesi di questi dati sotto forma di sondaggi, classifiche e grafici. Pensiamo alle pagine economiche dei quotidiani o dei numerosi siti online, o alle ricerche che vengono effettuate in campo medico per esempio sull’incidenza del fumo nei casi di tumore ai polmoni o ancora all’aumento dei prezzi della spesa che le famiglie sostengono. Potremmo fare un lungo elenco di situazioni collegate all’analisi dei dati, ma il problema fondamentale è sempre lo stesso: in che modo e in quale misura bisogna tenere conto di questi dati per potere poi prendere decisioni corrette in relazione al problema analizzato.
Se in alcune situazioni ci possiamo fidare del nostro intuito e della nostra esperienza, nella maggior parte dei casi è più conveniente affidarsi a un’analisi statistica dei dati.
La statistica infatti si occupa di studiare i fenomeni con l’obiettivo di mettere in evidenza gli aspetti essenziali e di guidarci, mediante le leggi che lo regolano, a una scelta corretta e consapevole, riducendo così il margine di errore e di incertezza.
Oggi l’aumento esponenziale della popolazione ha comportato un enorme aumento dei consumi di una grande quantità di beni e, per questo motivo, nasce la necessità di gestire le risorse disponibili. La statistica è di grande utilità in quanto ha un’attenzione particolare all’evoluzione delle abitudini dei cittadini in relazione ai consumi. Per esempio lo studio della vita media nella popolazione di una Nazione, può portare il Governo a prendere decisioni importanti in relazione al futuro pensionistico; uno studio accurato della produzione industriale può far decidere future scelte in materia di programmazione e di occupazione.
In conclusione possiamo affermare che la statistica si occupa dello studio dei fenomeni collettivi ovvero dei fenomeni che riguardano una grande quantità di persone raccogliendo su di essi informazioni relative ad una o più caratteristiche, traducendole poi in un modello numerico che possa essere facilmente analizzato.

edizioniatlas — 2023-06-07 08:42:35 UTC

Per capire quando è necessario e opportuno utilizzare la media armonica, consideriamo il seguente esempio.
Un ciclista percorre 25 km alla velocità di 10 km/h, poi altri 25 km alla velocità di 20 km/h, poi ancora 30 km/h e, infine, 25 km alla velocità di 40 km/h.
Saremmo tentati ancora di calcolare la media aritmetica delle quattro velocità, dato che ciascuna di esse è stata mantenuta per la stessa distanza. Il valore sarebbe:
(10+20+30+40)/ 4 = 100/4 = 25 km/h

Ma ci accorgiamo subito che questo valore è sbagliato. Infatti:
- per percorrere 25 km alla velocità di 10 km/h ci vogliono
2,5 ore.
-per percorrere 25 km alla velocità di 20 km/h ci vogliono
1,25 ore.
-per percorrere 25 km alla velocità di 30 km/h ci vogliono
0,833 ore.
-per percorrere 25 km alla velocità di 40 km/h ci vogliono
0,625 ore.
Dunque il tempo totale è: (2,5 + 1,25 + 0,833 + 0,625)
= 5,208 ore.
Perciò il valore esatto della velocità media è: 100 km/5,208 h =
19,2 km/h.
Questo valore si può ottenere direttamente calcolando la media armonica dei quattro valori di velocità. (Attenti! La formula si può applicare solo se i tratti percorsi a velocità diverse hanno la stessa lunghezza). Possiamo pertanto dare la seguente definizione. “ la media armonica di n numeri si definisce come il rapporto tra n e la somma degli inversi dei valori dati; in simboli:

Media armonica = N : (1/x + 1/x1 + 1/x2 + 1/x3 + ..1/xn)

Nel caso del nostro esempio:
x1 = 10 km/h; x2 = 20 km/h; x3 = 30 km/h; x4 = 40km/h.

Media armonica = 4 : (1/10 + 1/20 + 1/30 + 1/40) =
4 : ((12 + 6 + 4 + 3)/120) = 4 : (25/120) =
4 x 120/25 = 480/25 = 19,2

Se invece di percorrere a 4 diverse velocità di uguale lunghezza, il ciclista avesse viaggiato per tempi uguali alle stesse velocità (ad esempio, per 1 h a 10 km/h, per 1 h a 20 km/h, per 1 h a 30 km/h e infine per 1 h a 30 km/h), allora sarebbe stato giusto calcolare la media aritmetica delle quattro velocità. Infatti, la distanza percorsa sarebbe stata sempre di 100 km, ma il tempo impiegato per percorrerla sarebbe stato di 4 ore e quindi ad una velocità media di 25 km/h.

edizioniatlas — 2023-06-15 10:39:34 UTC

Il Padlet è abbinato ai corsi MAT 360° e Archimede di Bruno Artuso e Roberto Vacca. La matematica chiara, rigorosa e calata nella realtà.

Coordinamento: Silvia Gadda

Contenuti e attività: Bruno Artuso

Redazione: Giulia Baccanelli

Il Padlet e tutti i suoi contenuti sono di proprietà dell'Istituto Italiano Edizioni Atlas e pubblicati sotto licenza CC BY-NC-SA (uso con obbligo di citazione, fini didattici non commerciali, condividi allo stesso modo).

edizioniatlas — 2023-06-15 10:41:24 UTC

La statistica è spesso associata a lunghi studi sulla popolazione, grafici sull'andamento dell'economia o ai sondaggi d'opinione.
Ma nella realtà di tutti i giorni, tutti noi abbiamo un approccio statistico ai dati che riceviamo: pensa a quando fai la media dei tuoi voti scolastici, o quando controlli quanto tempo hai usato il tuo smartphone in questa settimana.
La statistica ci aiuta ad elaborare i dati e a fare una sintesi che ci permette di comprendere meglio il mondo circostante.

Karima e Andrea, per esempio, hanno svolto un sondaggio per conoscere l'altezza delle loro compagne e compagni di classe. Raccolti i dati, vorrebbero conoscere l'altezza media nella loro classe, ed estrarre il dato che ricorre con più frequenza nelle risposte. Riesci ad aiutarli?