(Sesión 7) Procesos de Poisson by Ángela Rionda González

Procesos de Poisson

shellymoon95 — 2017-11-28 20:55:16 UTC

Son procesos a tiempo continuo con espacio de estados discreto

{N(s)}s≥0

Número de apariciones de un suceso antes del instante s.

shellymoon95 — 2017-11-28 21:19:57 UTC

N(s) = max{n : Tn ≤ s}

Tiempo entre dos apariciones consecutivas de un suceso.

shellymoon95 — 2017-11-28 21:30:28 UTC

{tn}n es un conjunto de variables independientes con distribución exp (λ), de forma que:
Tn = t1 + · · · + tn para todo n, (T0 = 0)
Tn representa el instante de la n-ésima aparición.

Relación entre la Poisson y la exponencial

shellymoon95 — 2017-11-28 22:00:45 UTC

Si el tiempo entre dos llegadas consecutivas sigue una distribución exp (λ), el número de llegadas en un intervalo de tiempo t sigue una distribución P(λt)

Caracterización de los procesos de Poisson.

shellymoon95 — 2017-11-28 22:05:55 UTC

{N(s)}s≥0 constituye un proceso de Poisson si y solo si:

N(0) = 0.
N(t + s) − N(s) ∼ P(λt) para todo t, s ≥ 0.
N(t) posee incrementos independientes.
N(t) posee incrementos estacionarios.

λ: intensidad o tasa del proceso

Procesos de Poisson no homogéneos

shellymoon95 — 2017-11-28 22:21:35 UTC

N(0) = 0.
N(t) posee incrementos independientes.
N(t + s) − N(s) posee una distribucion de Poisson con parámetro ∫λ(r)dr.

Los tiempos entre dos llegadas consecutivas ya no siguen una distribución exponencial ni son independientes.

Procesos de Poisson compuestos

shellymoon95 — 2017-11-28 22:28:32 UTC

X(t) = Y1+...+Y_N(t)

{N(t) : t ≥ 0} es un proceso de Poisson
{Yi}i≥1 es una sucesion de variables aleatorias i.i.d. e independientes de {N(t) : t ≥ 0}.

Yi representa la recompensa/gasto asociada a la llegada i, y X(t) la recompensa acumulada hasta el instante t.

Propiedades

shellymoon95 — 2017-11-28 22:33:25 UTC

E(X) = λ · E(Yi).
Var(X) = λE(Yi²)

Transformaciones de los procesos de Poisson

shellymoon95 — 2017-11-28 22:36:45 UTC

Algunas transformaciones de un proceso de Poisson nos permiten generar nuevos procesos de Poisson

Refinamiento

shellymoon95 — 2017-11-28 22:42:59 UTC

Supongamos un proceso de Poisson N(t) con tasa λ donde cada llegada es del tipo 1 y 2 con probabilidades respectivas p, 1-p.

N(t) = N1(t) + N2(t) ∀t.

{N1(t)}t≥0 es un proceso de Poisson con tasa λp.
{N2(t)}t≥0 es un proceso de Poison con tasa λ(1 − p).

Superposición

shellymoon95 — 2017-11-28 22:50:07 UTC

Si {N1(t)}t≥0, {N2(t)}t≥0 son dos procesos de Poisson independientes con tasas λ1, λ2, respectivamente:

{N1(t) + N2(t)}t≥0 es un proceso de Poisson con parámetro λ1 + λ2.

Condicionamiento de los procesos de Poisson.

shellymoon95 — 2017-11-28 22:55:29 UTC

Si {N(t)}t≥0 es un proceso de Poisson y N(t)=n, entonces dado s

Cada llegada tiene probabilidad s/t de producirse en [0,s].
El nº de llegadas en [0,s]~B(n,s/t)

Generalizaciones

mirandaenrique — 2017-11-29 07:59:48 UTC