[Ari1] 4. Dalle potenze ai numeri binari by Istituto Italiano Edizioni Atlas divisione di Zanichelli editore S.p.A.

Il concetto di potenza

edizioniatlas — 2022-08-23 08:00:24 UTC

Quando dobbiamo moltiplicare tante volte uno stesso numero per se stesso possiamo ricorrere all'elevamento a potenza. Quest'operazione matematica è molto utile quando abbiamo a che fare con numeri molto grandi o molto piccoli.
Guarda il video per scoprire di più sul concetto di potenza!
La potenza vista nel video, 5¹⁰, si legge “cinque alla decima”. Il fattore che si ripete, in questo caso 5, è chiamato base; il numero di volte che tale fattore si ripete, nel nostro esempio 10, viene detto esponente. Il risultato, 9765625, è il valore della potenza.

Calcola - La cagnetta Lilly partorisce 3 cuccioli, tutte femmine. Ciascuna di queste cresce e a sua volta dà alla luce 3 cuccioli, di nuovo tutte femmine. Se anche ciascuna di queste partorisce poi a sua volta 3 cuccioli, quanti saranno i pronipoti di Lilly?

I numeri 0 e 1 nell’elevamento a potenza

edizioniatlas — 2022-08-23 09:49:22 UTC

Nel calcolo dell'elevamento a potenza si ottengono risultati particolari quando la base e l’esponente sono uguali a 0 o a 1.
Osserva l'infografica in allegato per scoprire tutti i casi particolari dell'elevamento a potenza, dopodiché mettiti alla prova calcolando il valore della seguente espressione:
2¹ + 5⁰ · 0⁷+ 1⁸ · 1⁹ - (7¹ + 2⁰) · 4¹

Semplifica i calcoli, sfrutta le proprietà!

edizioniatlas — 2022-08-23 11:52:27 UTC

Spesso quando si risolvono espressioni con l’uso delle potenze è preferibile applicare le proprietà sia per evitare di utilizzare numeri molto grandi che aumenterebbero di molto il margine di errore, sia per sveltire la procedura di calcolo.

Grandezze... fuori misura!

edizioniatlas — 2022-08-23 14:18:47 UTC

Aprendo il nostro sguardo all'immensità dello spazio, ci troviamo a dover fare i conti con grandezze smisurate, difficili da immaginare. In questi casi, la notazione scientifica può aiutarci a semplificare le misure.
Consideriamo, ad esempio, le distanze dei pianeti del nostro sistema dal Sole: il più vicino alla stella è Mercurio che dista in media circa 58 000 000 chilometri dal Sole. Applicando la notazione scientifica possiamo esprimere questo dato sotto forma di prodotto di due fattori dei quali uno è 5,8 e l'altro la potenza di 10 con esponente corrispondente al numero di cifre presenti dopo la prima, cioè 7. Pertanto, la distanza di Mercurio dal Sole espressa in notazione scientifica è di 5,8 · 10⁷ km.

Prova tu - Date le seguenti distanze, esprimile in notazione scientifica.

Distanza media della Terra da Marte: circa 254 000 000 km.
Distanza media della Terra da Giove: circa 787 000 000 km.
Distanza media della Terra da Urano: circa 3011 milioni di km.

L’ordine di grandezza

edizioniatlas — 2022-08-23 14:28:28 UTC

In molte questioni di carattere scientifico è utile indicare, in modo approssimativo, grandezze di valore elevato come le distanze astronomiche o grandezze molto piccole come la lunghezza dei batteri. Di questi numeri non occorre ricordare tutte le cifre, ma l’ordine di grandezza, ovvero la potenza di dieci più vicina al numero considerato.
Per capire meglio questo concetto analizza attentamente il seguente esempio.

L'età della Terra è di circa 4 540 000 000 anni. In notazione scientifica equivale a 4,54 · 10⁹ anni.
Consideriamo le due potenze del dieci fra cui è compreso 4,54 · 10⁹ ovvero: 10⁹ < 4,54 · 10⁹ < 10¹⁰.
Tra i due estremi, 10⁹ è il valore che si avvicina di più a 4,54 · 10⁹, possiamo quindi affermare che 10⁹ è l’ordine di grandezza dell'età della Terra espressa in anni.

Caccia all'abbinamento - Metti alla prova quello che hai imparato sull'ordine di grandezza e sfida i tuoi compagni e le tue compagne con il gioco di abbinamenti in allegato a questo post. Chi di voi riuscirà a ricondurre ciascun numero al corretto ordine di grandezza nel minor tempo possibile?

Mettiti alla prova - Le proprietà delle potenze

edizioniatlas — 2022-08-23 14:51:58 UTC

Verifica quello che hai imparato sulle proprietà delle potenze con questo breve test.

La scissione cellulare

edizioniatlas — 2022-08-24 06:56:11 UTC

I batteri sono microscopici organismi unicellulari. La loro riproduzione avviene mediante un processo di divisione cellulare detto scissione binaria: una cellula madre, al termine del proprio ciclo vitale, si divide e dà origine a due cellule figlie identiche, che ereditano il patrimonio genetico e tutti gli altri componenti dalla cellula madre. La riproduzione dei batteri può quindi essere espressa dalla seguente formula:
nr. cellule = 2ⁿ
dove n è il numero di generazioni.

Se, per esempio, una cellula batterica si divide ogni 60 minuti, per sapere quante cellule si generano dopo 24 ore (cioè dopo 24 divisioni) basterà calcolare:
nr. cellule = 2²⁴ = 16777216 cellule figlie.

Nota bene! - Le cellule batteriche non si riproducono all’infinito, ma continuano a scindersi in generazioni successive fino a quando hanno a disposizione i nutrienti necessari.

Prova tu - Ora che conosci il processo di riproduttivo degli organismi unicellulari, mettiti alla prova svolgendo quanto richiesto.

Esprimi in notazione scientifica il numero di cellule figlie ottenute nell’esempio. Qual è l’ordine di grandezza?
Quante cellule figlie si generano in un’ora nel caso in cui il tempo di scissione sia di 120 secondi? Esprimi il risultato in notazione scientifica e calcolane l’ordine di grandezza.

Internet: una vera potenza!

edizioniatlas — 2022-08-24 08:05:18 UTC

Grazie ai dispositivi sempre connessi a Internet, come computer, tablet e smartphone, possiamo accedere in qualsiasi luogo e momento a un'enorme quantità di contenuti multimediali. Con la diffusione dei social network, inoltre, lo scambio di informazioni e messaggi è sempre più facile e veloce.
Tuttavia, quando comunichiamo o condividiamo contenuti per mezzo di Internet, dobbiamo sempre farlo nel rispetto degli altri utenti della Rete. Un uso poco accorto di questi strumenti, infatti, può dare origine a comportamenti offensivi e dannosi per qualcuno (cyberbullismo).

Guarda il video della miniserie SuperErrori del Web per scoprire di più sulle dinamiche del cyberbullismo. I video sono parte del progetto Generazioni Connesse – Safe
Internet Centre promosso dal MIUR per aiutare le scuole a favorire un utilizzo efficace e sicuro delle tecnologie.

Calcola - Per comprendere come un contenuto offensivo può rapidamente diffondersi tramite la Rete, prova a calcolare come un messaggio può raggiungere in pochi passi moltissime persone. Se, per esempio, mandi un messaggio a 4 contatti e a loro volta ciascuno dei 4 contatti manda il messaggio ad altri 4 contatti, il tuo messaggio avrà già raggiunto 16 persone. Se queste 16 persone inoltrano il messaggio ad altri 4 contatti ciascuno, quanti lo ricevono? E quante persone avranno ricevuto il messaggio dopo 6 passaggi di questa catena?

Informazioni preliminari

edizioniatlas — 2022-08-24 08:13:25 UTC

- La lezione permette di acquisire e rinforzare conoscenze e competenze fondamentali sull'elevamento a potenza e sulle sue applicazioni in campo scientifico.
- Il percorso offre la possibilità di approcciare attraverso strumenti multimediali: audio, video, slide, esercizi interattivi in formato Google Moduli, pdf scaricabili e software gratuiti online.
- La lezione segue il metodo induttivo: a partire da una situazione reale, lo studente impara a operare con le potenze.

Obiettivi di apprendimento

edizioniatlas — 2022-08-24 08:13:29 UTC

Conoscenze: conoscere il concetto e le proprietà delle potenze; conoscere la notazione scientifica dei numeri e le sue applicazioni
Abilità: calcolare una potenza; applicare le proprietà delle potenze; scrivere i numeri in notazione scientifica
Competenze: muoversi con sicurezza nel calcolo con le potenze e risolvere problemi in contesti diversi valutando le informazioni e la loro coerenza
Competenze digitali: lavorare in gruppo, anche a distanza, condividendo materiali ed elaborati; comprendere e produrre elaborati digitali

Verifiche in Google Moduli

edizioniatlas — 2022-08-24 08:13:35 UTC

Per usare i Moduli Google nelle proprie Google Classroom e, quindi, ricevere in modo automatico i risultati degli studenti, i moduli vanno copiati nel proprio spazio Google Drive e condivisi da lì mediante link. Il modulo nel vostro Drive sarà anche completamente modificabile. Per copiare i moduli vai ai seguenti link:

Mettiti alla prova - L'elevamento a potenza

edizioniatlas — 2022-08-24 09:40:45 UTC

Verifica quello che hai imparato sull'elevamento a potenza con questo breve test.

Matematica con Scratch

edizioniatlas — 2022-08-24 09:57:42 UTC

Se pensi che fare coding sia un'attività solo per chi lavora con l'informatica, ti sbagli: oggi esistono infatti numerosi strumenti per imparare le basi della programmazione, sperimentare e allenare il pensiero computazionale. Tra questi, uno dei più utilizzati al mondo è Scratch, un software gratuito e di facile utilizzo.
Per iniziare a utilizzare Scratch vai sul sito https://scratch.mit.edu/ e iscriviti cliccando sul pulsante "Unisciti alla comunità di Scratch".
Guarda il video per scoprire tutte le caratteristiche di Scratch.

Un programma per il calcolo delle potenze

edizioniatlas — 2022-08-24 09:59:22 UTC

Con il software Scratch è possibile calcolare il valore di una potenza dati in ingresso base e esponente.
Per realizzare il programma per il calcolo delle potenze innanzitutto crea, con l'apposito pulsante nella sezione Variabili, le variabili per il tuo calcolo.
Ricorda che per richiedere il valore di base ed esponente in input dovrai utilizzare il blocco "chiedi" presente nel gruppo Sensori, mentre per far comparire il risultato sullo schermo dovrai utilizzare il blocco "dire" del gruppo Aspetto.
Una volta realizzato il tuo programma prova ad eseguirlo per verificarne la correttezza.

Collegati al seguente link per visionare lo sviluppo del programma: https://scratch.mit.edu/projects/724497903/

Staffetta di potenze

edizioniatlas — 2022-08-24 12:20:53 UTC

Le proprietà delle potenze consentono, nei casi sopra descritti, di sveltire i calcoli. Ma quanto saprete essere veloci?
A gruppi - Mettete alla prova la vostra velocità nel calcolo delle potenze con una gara a squadre. Dividete la classe in gruppi da 4; ciascuna squadra assegna ai propri componenti un numero da 1 a 4, per stabilire l'ordine di partenza: iniziano gli studenti e le studentesse di ciascuna squadra a cui è stato assegnato il numero 1.
Come in una vera staffetta, il primo concorrente della squadra deve risolvere la prima espressione con le potenze; solo quando la prima espressione è stata risolta, il "testimone" passa al compagno o alla compagna con il numero 2, che dovrà risolvere la seconda espressione. La gara prosegue così fino a che anche il quarto componente della squadra ha risolto la sua espressione. Vince la squadra che risolve correttamente tutte e quattro le espressioni nel minor tempo.
Pronti? Ai blocchi di partenza... Via!

La notazione scientifica

edizioniatlas — 2022-08-24 13:30:08 UTC

Quando abbiamo a che fare con numeri molto grandi o molto piccoli, leggerli e interpretare i dati che rappresentano può risultare difficoltoso. Ma niente paura, esiste infatti un "trucco" che ci consente di semplificare la scrittura di tali numeri: la notazione scientifica (detta anche notazione esponenziale).
Un numero è scritto in notazione scientifica quando è espresso come prodotto di due fattori di cui il primo è maggiore o uguale a 1 e minore di 10 e il secondo è una potenza di 10.
Guarda il video per scoprire di più sulla notazione scientifica!

edizioniatlas — 2022-08-25 10:11:40 UTC

Risparmiare sul consumo di acqua, fare la raccolta differenziata, acquistare prodotti ecosostenibili: quando mettiamo in atto comportamenti per la salvaguardia dell'ambiente, spesso ci domandiamo quale sia il reale impatto delle nostre azioni.
Da soli siamo una goccia nel mare, ma insieme siamo... una vera potenza! Con l’aiuto di tante persone il numero di buone azioni ecologiche aumenta in modo esponenziale.
Per esprimere numeri via via sempre più grandi si utilizza il linguaggio abbreviato delle potenze.

Rifletti e rispondi - Quest’estate, mentre era in vacanza al mare, Nicola ha conosciuto Sun, una ragazza appassionata di scienze e molto sensibile alle tematiche ambientali. Osserva la vignetta: riesci a calcolare quanti sacchetti di spazzatura verrebbero raccolti in tutto grazie al passaparola di Sun?

edizioniatlas — 2022-10-31 07:05:24 UTC

Il Padlet è abbinato ai corsi MAT 360° e Archimede di Bruno Artuso e Roberto Vacca. La matematica chiara, rigorosa e calata nella realtà.

Coordinamento: Silvia Gadda

Redazione: Giulia Baccanelli, Mario Scalvini

Il Padlet e tutti i suoi contenuti sono di proprietà dell'Istituto Italiano Edizioni Atlas e pubblicati sotto licenza CC BY-NC-SA (uso con obbligo di citazione, fini didattici non commerciali, condividi allo stesso modo).

edizioniatlas — 2023-07-19 12:15:02 UTC

Lo sviluppo dell’elettronica ha reso possibile e necessario l’uso di un sistema di numerazione con due soli simboli (i numeri 0 e 1). Proprio per questa ragione, tale sistema si chiama sistema di numerazione binario, ovvero sistema di numerazione in base due.
Per indicare che un numero è scritto in base due e non confonderlo con lo stesso numero scritto in base dieci, stabiliamo di indicare la base 2 a pedice racchiusa tra due parentesi tonde. In questo modo, quindi:

1011 si intende “in base dieci”;
1001₍₂₎ si intende “in base due”.

Trasformare un numero dalla base due alla base dieci

edizioniatlas — 2023-07-19 12:36:00 UTC

Per trasformare il numero 1011₍₂₎ dalla base due alla base dieci basta utilizzare la scrittura polinomiale del numero mediante le potenze di due.
1011₍₂₎ = 1 x 2⁰+ 1 x 2¹+ 0 x 2²+ 1 x 2³= 1 x 1 + 1 x 2 + 0 x 4 + 1 x 8 = 1 + 2 + 8 = 11.
Possiamo quindi dire che 1011₍₂₎ è uguale al numero 11 in base dieci.
ESEMPI
a. 10011₍₂₎ = 1 x 2⁰+ 1 x 2¹+ 0 x 2 + 0 x 2 + 1 x 2 = 1 + 2 + 0 + 0 + 16 = 19.
b. 100011₍₂₎ = 1 x 2⁰+ 1 x 2¹+ 0 x 2²+ 0 x 2³+ 0 x 2⁴+ 1 x 2⁵= 1 + 2 + 0 + 0 + 0 + 32 = 35.

Adesso prova tu.

Trasformare un numero dalla base dieci alla base due

edizioniatlas — 2023-07-19 12:59:33 UTC

Il procedimento inverso che permette di trasformare un numero dalla base 10 alla base 2 è un po' più complesso; per questa trasformazione dobbiamo usare un procedimento detto delle divisioni successive. Si divide il numero dato per 2, il quoziente ancora per 2 e così via fino a quando l’ultimo quoziente ottenuto è zero. I resti delle divisioni, scritti in senso inverso sono le cifre che costituiscono il numero dato nella notazione binaria.
Per capire meglio la procedura, guarda l’esempio nella figura allegata.

edizioniatlas — 2023-07-19 13:01:56 UTC

Il sistema binario e l’informatica

edizioniatlas — 2023-07-19 13:20:15 UTC

Il sistema binario non offre vantaggi nella scrittura corrente dei numeri, in quanto richiede molte più cifre del sistema decimale per rappresentarli. Esso ha tuttavia una grande utilità rispetto al sistema di numerazione decimale; può essere impiegato nel funzionamento dei computer, ed infatti, sta alla base dell’informatica moderna.
Come è possibile tutto ciò? Semplice. Abbiamo visto che nel sistema binario si possono rappresentare tutti i numeri per mezzo di due sole cifre, 0 e 1. A queste cifre possiamo far corrispondere il passaggio o il non passaggio di corrente in un circuito elettrico. Il computer, che è una macchina elettrica, opererà “leggendo” il passaggio o il non passaggio di corrente. Per capire meglio il principio esamina, nella figura allegata, il circuito elettrico che alimenta le lampadine.
Quando l’interruttore è aperto non passa corrente e la lampadina è spenta; quando l’interruttore è chiuso, passa corrente, e la lampadina è accesa.
Se associamo alla lampadina spenta il valore 0 e alla lampadina accesa il valore 1, potremo rappresentare i numeri per mezzo di sequenze di lampadine spente e accese.