Números Romanos | Números Indo-arábicos
I | 1
V | 5
X | 10
L | 50
C | 100
D | 500
M | 1000

Para compor outros números com os símbolos do Sistema de Numeração Romano, devemos aplicar a repetição ou o princípio aditivo e subtrativo. É importante ressaltar que os símbolos V, L e D não podem ser repetidos, sendo assim somente os símbolos I, X, C, M podem ser repetidos de duas a três vezes. Confira a seguir alguns números escritos no Sistema de Numeração Romano com repetição de símbolos.
II | 2
III | 3
XX | 20
XXX | 30
CC | 200
CCC | 300
MM | 2000
MMM | 3000

Para uma definição da adição no âmbito dos números naturais, ver adição.

Pode também ser uma operação geométrica - a partir de dois segmentos de reta dados determinar um outro cujo comprimento seja igual à soma dos dois inicia:

Todas estas propriedades estão relacionadas às propriedades genéricas de uma operação binária.

Uma subtração é representada por:

é o minuendo,

é o subtraendo e

é a diferença ou resto

A subtração é o mesmo que a adição por um número de sinal inverso. É, portanto, a operação inversa da adição.

(lê-se "x vezes y" ou "y adicionado x vezes")

Assim, por exemplo,

Pode também ser uma operação geométrica - a partir de dois segmentos de reta dados determinar um outro cujo comprimento seja igual ao produto dos dois iniciais.

Na matemática, podemos dizer que a multiplicação é a mais simples forma de agruparmos uma quantidade finita de números. Ao efetuarmos uma multiplicação, chegamos a uma resposta que é chamada de produto. Na geometria, está relacionada também como uma operação geométrica - a partir de dois segmentos de retas dados, podemos determinar um outro cujo comprimento seja igual ao produto dos dois iniciais.

Comutatividade da multiplicação de números naturais:

Tomando

temos:

Distributividade da multiplicação de números naturais:

No anel dos números inteiros a hipótese da bijetividade não é satisfeita para o zero, assim, não se define divisão por zero.

As propriedades da divisão são herdadas, via inversão, da multiplicação. Não existe, entretanto, a propriedade de fechamento no conjunto dos números reais, uma vez que a divisão por zero não produz como resultado um número real.

Os números inteiros não formam um corpo, portanto a divisão (como foi definido) só faz sentido quando o número que vai ser dividido (dividendo) é um múltiplo inteiro do número pelo qual se vai dividir (divisor). Para tratar dos casos em que o dividendo não é um múltiplo do divisor é necessário definir quociente e resto.

Se a e b são dois números inteiros positivos

o quociente da divisão de a por b é o maior número inteiro q tal que

. O resto da divisão de a por b com quociente q é o número inteiro r tal que

A noção de resto no anel dos números inteiros está intimamente conectada com a noção de congruência.

Por se tratarem de corpos, a divisão nesse caso fica reduzida a multiplicação pelo inverso.

Por um exemplo, para dividirmos um número racional

por

(com as hipóteses de que a,b,c e d sejam inteiros e que b,c e d sejam diferentes de zero) devemos prosseguir da seguinte forma

Em

(grupo multiplicativo dos inteiros módulo 13), que também é um corpo, a divisão de 7 por 5 se daria da seguinte forma:

Pode-se definir a operação de divisão para polinômios. Então, como no caso dos inteiros, tem-se um resto. Veja divisão polinomial.

A divisão é possível em estruturas que não são dotadas dos axiomas de corpo. Em analogia ao caso dos números inteiros, tenta-se encontrar um quociente e um resto. Isso nem sempre pode ser feito com o auxílio da relação de ordem, pois a mesma nem sempre está presente. Quando pode-se definir uma função conveniente, trabalhamos com domínios euclidianos.

da mesma forma que a multiplicação de n por a pode ser vista como uma soma de n parcelas iguais a a, ou seja,

O expoente geralmente é indicado à direita da base, aparecendo sobrescrito ou separado da base por um circunflexo. Pode-se ler aⁿ como a elevado à n-ésima potência, ou simplesmente a elevado a n. Alguns expoentes possuem nomes específicos, por exemplo, a² costuma ser lido como a elevado ao quadrado , a³ como a elevado ao cubo e a⁴ como a elevado a quarta potência. Assim sucessivamente.

A potência aⁿ também pode ser definida quando n é um inteiro negativo, desde que a seja diferente de zero. Não existe uma extensão natural para todos os valores reais de a e n, apesar de que quando a base é um número real positivo é possível definir aⁿ para todo número real n, e até mesmo para números complexos através da função exponencial e^z. As funções trigonométricas podem ser representadas em termos da exponenciação complexa.

Na resolução de sistemas de equações diferenciais lineares utiliza-se um tipo de exponenciação em que os expoentes são matrizes.

A potenciação também é usada em várias outras áreas, incluindo economia, biologia, física e ciência da computação, com aplicações tais quais juros compostos, crescimento populacional, cinética química, comportamento de ondas e criptografia de chave pública.

Como mostrado por Arquimedes, uma esfera tem 2/3 do volume de seu cilindro circunscrito.

A geometria esférica é um exemplo de geometria não-euclidiana. Ela tem aplicações práticas em navegação e astronomia.

A partir da experiência, ou, eventualmente, intuitivamente, as pessoas caracterizam o espaço por certas qualidades fundamentais, que são denominadas axiomas de geometria (como, por exemplo, os axiomas de Hilbert). Esses axiomas não são provados, mas podem ser usados em conjunto com os conceitos matemáticos de ponto, linha reta, linha curva, superfície e sólido para chegar a conclusões lógicas, chamadas de teoremas.

A influência da geometria sobre as ciências físicas foi enorme. Como exemplo, quando o astrônomo Kepler mostrou que as relações entre as velocidades máximas e mínimas dos planetas, propriedades intrínsecas das órbitas, estavam em razões que eram harmônicas — relações musicais —, ele afirmou que essa era uma música que só podia ser percebida com os ouvidos da alma — a mente do geômetra.

Com a introdução do plano cartesiano, muitos problemas de outras áreas da matemática, como álgebra, puderam ser transformados em problemas de geometria (e vice-versa), muitas vezes conduzindo à simplificação das soluções. (ver geometria analítica)