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• 나는 오늘 연수를 통해 학생의 상담일지 작성과 과세특을 '관찰 가능한 구체적 사실'에 근거하여 훨씬 수월하고 작성할 수 있음을 새롭게 보게 되었다.

출처 : 숨마쿰라우데

출처 : EBS 수학의 답

출처 : EBS 수학의 답

정답 119

출처 : EBS 수학의 답

• 핵심 개념: 함수의 극한의 존재 조건, 다항함수의 인수정리, 판별식

• 풀이 단계:

  1. 주어진 극한 lim(x→α) f(2x+1)/f(x)가 모든 실수 α에 대해 존재할 조건을 분석합니다. 만약 분모 f(α)가 0이 되면, 극한값이 존재하기 위해서는 분자 f(2α+1)도 반드시 0이 되어야 합니다. (0/0 꼴)

  2. 따라서 'f(x)의 실근 α가 존재한다면, 2α+1 또한 반드시 f(x)의 실근이어야 한다'는 결론을 도출합니다.

  3. 3차 함수 f(x)는 적어도 하나의 실근을 가지므로, 이 실근들의 집합은 유한해야 합니다. α → 2α+1 변환을 반복했을 때 근의 개수가 무한히 늘어나지 않으려면, 이 수열이 특정 값으로 수렴하거나 순환해야 합니다. 이를 만족하는 경우는 실근이 α = 2α+1의 해인 α = -1 하나뿐일 때입니다.

  4. 즉, f(x)는 x=-1을 유일한 실근으로 가집니다. 따라서 f(x)는 (x+1)을 인수로 가지며, f(x) = (x+1)(x²+px+q) 형태로 표현할 수 있습니다. 이때, x²+px+q=0은 실근을 갖지 않아야 하므로 판별식 D = p²-4q < 0 이어야 합니다.

  5. f(x) = x³+ax²+bx+4와 계수를 비교하여 a와 b를 p에 대한 식으로 표현합니다. (q=4, a=p+1, b=p+4)

  6. p²-16 < 0 이라는 p의 범위와 a, b가 정수라는 조건으로부터 정수 p의 범위를 구합니다. (-4 < p < 4)

  7. f(1)의 값을 p에 대한 식으로 정리한 후, 위에서 구한 p의 범위 내에서 f(1)의 최댓값을 찾습니다.

• 난이도: 중상. 극한의 존재 조건에서부터 근의 관계를 추론하고, 이를 다시 다항함수의 인수와 판별식 조건으로 연결하는 다단계의 논리적 사고를 요구하여 난이도가 높은 편입니다.

• 함정 요소:

  • f(α)=0 이면 f(2α+1)=0 이라는 관계를 파악하고도, 근의 집합이 유한해야 한다는 점을 이용해 유일한 실근이 -1임을 밝혀내지 못하는 경우.

  • x=-1 이 근이라는 것을 알아냈지만, 이것이 '유일한' 실근이어야 한다는 조건을 생각하지 못하고 판별식 D<0을 적용하지 않는 실수.

  • 정수 a, b 조건으로부터 p 역시 정수임을 파악하지 못하고 p의 범위를 실수 전체로 착각하는 경우.

(수정된 최종본)

신규 동형 문제

[문항]
함수 f(x) = x³ + ax² + bx - 8이 다음 조건을 만족시키도록 하는 두 정수 a, b에 대하여 f(3)의 최솟값을 구하시오. [4점]

<br>
<div style="border: 1px solid #ccc; padding: 10px;">
모든 실수 α에 대하여 lim_x→α `f(2x-2) / f(x)`의 값이 존재한다.
</div>
<br>

[정답]
4

[해설]
정답 풀이:

1. 극한 존재 조건 분석: 주어진 극한값이 모든 실수 α에 대하여 존재해야 합니다. 만약 f(α) = 0이라면, 분모가 0이 되므로 극한값이 존재하기 위해서는 분자 f(2α-2)도 0이 되어야 합니다. 따라서 'f(x)=0의 실근이 α이면, 2α-2도 f(x)=0의 실근이다'라는 명제가 성립합니다.

2. 유일한 실근 추론: f(x)는 3차 함수이므로 적어도 하나의 실근을 가집니다. 근의 집합이 유한해야 하므로, 실근 α는 변환 x → 2x-2의 고정점(fixed point)이어야 합니다. α = 2α - 2를 풀면 α = 2를 얻습니다. 따라서 f(x)는 x=2를 유일한 실근으로 가집니다.

3. 함수식 설정 및 계수 비교: f(x)는 (x-2)를 인수로 가지므로, f(x) = (x-2)(x² + px + q) 형태로 놓을 수 있습니다. 이때, x² + px + q = 0은 실근을 갖지 않아야 하므로 판별식 D = p² - 4q < 0 입니다. 함수를 전개하면 x³ + (p-2)x² + (q-2p)x - 2q가 되고, f(x) = x³ + ax² + bx - 8와 계수를 비교하면 q=4, a=p-2, b=4-2p를 얻습니다.

4. 미지수 범위 및 최솟값 계산: q=4를 판별식에 대입하면 p² - 16 < 0, 즉 -4 < p < 4 입니다. a, b가 정수이므로 p도 정수입니다. p의 범위는 {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} 입니다. 구하고자 하는 f(3)을 p로 표현합니다.
   f(3) = 3³ + a(3²) + b(3) - 8 = 27 + 9a + 3b - 8 = 19 + 9a + 3b
   a=p-2, b=4-2p를 대입하면,
   f(3) = 19 + 9(p-2) + 3(4-2p) = 19 + 9p - 18 + 12 - 6p = 3p + 13
   f(3)을 최소로 하려면 p가 최소여야 하므로, 정수 p의 최솟값인 -3을 대입합니다.
   최솟값 = 3(-3) + 13 = 4.

오답 분석:

• 오답 예시 1 (22): f(3)의 '최댓값'을 구하는 경우. p의 최댓값인 3을 3p+13에 대입하여 3(3)+13=22로 계산하는 실수.

• 오답 예시 2 (-24): f(-1)의 최솟값을 구한 경우. f(-1) = 3p-15가 되며 p=-3일 때 최솟값 -24를 얻음. 문제에서 요구하는 함숫값을 잘못 계산한 경우.

• 오답 예시 3 (13): f(3) = 3p+13을 구한 후, p=0을 대입하거나 p 항을 무시하여 13으로 답하는 경우.

• 오답 예시 4 (오류): 판별식 조건(p의 범위)을 고려하지 않고 a, b의 관계식 a+b/2 = 0 등 다른 관계식만으로 풀려고 시도하면 특정 값으로 결론을 내릴 수 없음.

(Draw this intricate pattern: A Penrose tiling made of only two types of rhombuses (kites and darts), filling a plane non-periodically without any gaps.)

create a digital image of an intaglio print artwork that reflects the fractal structure of Escher's work.

나는 오늘 연수를 통해 학생의 발표나 과제물 등 '관찰 가능한 구체적 사실'에 근거하여 생활기록부의 세부능력 및 특기사항을 훨씬 수월하고 객관적으로 작성할 수 있음을 새롭게 보게 되었다.

내가 오늘 배운 생성형 AI를 활용해서 학기말 과세특 작성과 수업자료 제작에 당장 적용하고 싶다