. Un nombre très recherché  ** 

A l’aide d’une calculette, effectuez les opérations suivantes et donnez vos réponses en nombres décimaux arrondis au centième près. 

h) En continuant indéfiniment ce même type d’opérations dont la suite est facile à déduire, on obtient un nombre qui a été recherché pendant très longtemps. Quel est ce nombre illustre ?                                            

 

 

25. Coincez la reine !  ***    ****
 
 Anne et Berthe ont dessiné un quadrillage contenant 196 cases carrées (en plus de celles contenant les coordonnées) comme indiqué ci-dessous. Chaque case peut être repérée par ses coordonnées, le premier nombre indiquant sa position horizontale et le second sa position verticale. Par exemple, la case x est repérée par (13, 10).
 
 Anne et Berthe jouent au jeu suivant : elles posent une reine sur une des 196 cases. Ensuite, elles la déplacent à tour de rôle. La reine peut se déplacer soit horizontalement vers la gauche, soit verticalement vers le bas, soit diagonalement vers le bas à gauche, et ce, d’autant de cases voulues. La première joueuse qui atteint la case (0, 0) gagne. Autrement dit, la première qui ne peut plus jouer a perdu. 

 | 13 |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |  169
 | 12 |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |  
 | 11 |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   | 
 | 10 |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   | 
 | 9 |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |  
 | 8 |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |  
 | 7 |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |  
 | 6 |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |  
 | 5 |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |  
 | 4 |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |  
 | 3 |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |  
 | 2 |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |  
 | 1 |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |  
 | 0 |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |  
 |  X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13

Dans les parties suivantes (a à e), c’est toujours Anne qui commence. 

a. Dans cette première partie, au départ, la reine est à la case (1, 3). Comment Anne doit-elle jouer son premier coup pour être sûre de gagner ?
 
 b. Dans la deuxième partie, au départ, la reine est à la case (6, 4). Comment Anne doit-elle jouer son premier coup pour être sûre de gagner ?
 
 c. Dans la troisième partie, au départ, la reine est à la case (7, 9). Comment Anne doit-elle jouer son premier coup pour être sûre de gagner ?
 
 d. Dans la quatrième partie, au départ, la reine est à la case (6, 10). Comment Anne doit-elle jouer son premier coup pour être sûre de gagner ?
 
 e. Dans ce jeu, il existe ce que l’on appelle des mauvaises cases. Une mauvaise case est une case qui ne permettra jamais de gagner à celle qui doit jouer alors que la reine est sur cette case, à condition que son adversaire joue correctement les coups suivants. Ce jeu fait partie des jeux de Nim auxquels j’ai consacré un chapitre dans mon livre « Les Clefs des Enigmes Mathématiques ». Ces mauvaises cases, appelons-les positions perdantes.
 
 Par convention, on parlera de positions perdantes ou gagnantes, par rapport à la personne à qui c’est le tour de jouer, alors que la reine est dans cette position. L’étude des jeux de Nim montre que celui qui a mis son adversaire dans une position perdante est assuré de gagner s’il joue correctement par la suite. Une position perdante ne peut conduire qu’à une position gagnante. Une position gagnante peut toujours conduire à une position perdante et peut parfois conduire à une position gagnante. 

Dans ce jeu, quelles sont les positions perdantes parmi les 196 cases ? Si vous deviez jouer à « Coincez la reine » sur un quadrillage infini, vous serait-il possible de trouver toutes les positions perdantes ? 

f. Il existe un lien entre les positions perdantes de ce jeu et le nombre d’or vu dans l’exercice 24 de cette même rubrique. Pour rappel, le nombre d'or est un nombre illimité non périodique valant approximativement 1,61803398. Quel est ce lien ?