Примена на аритметичка и геометриска прогресија by Teodora Saneva https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y проектна активност по математика en-us 2022-04-10 18:30:15 UTC 2022-04-10 18:58:43 UTC hello@padlet.com https://padlet.net/icons/png/1f469-1f4bb.png teodorasaneva https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138173662 Секој дел од природата е составен од голем број елементи. Најобичнте нешта што го опкружуваат , човекот ги прибира од природата и ги подредува за да му служат. Затоа најосновната математичка релација е подредувањето на елементите од едно множество во некој потребен, логичен и насочен редослед. Со подредувањето на елементите во низа тие добиваат свое место, своја посебност т.е квалитативно ниво. Притоа важно е да знаеме кој елемент од разгледуваното множество е прв, кој втор, кој е трет итн. На тој начин на секој природен број, по некое правило, му придружуваме единствен елемент од тоа множество и така добиваме низа од предмети, поими или броеви.

]]> 2022-04-10 18:31:45 UTC https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138173662 Објаснување на поимот аритметичка прогресија и изведување на формула за општ член. teodorasaneva https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138174192 Ако ги разгледаме низите на слика 2.1.1  забележуваме дека кај овие низи постои одредена законитост за нивните членови. Имено, разликата меѓу броевите, членови на низата, е еден ист број. Кај првата тоа е бројот 3, а кај втората тоа е бројот (-1). Низата со такво својство ја нарекуваме АРИТМЕТИЧКА НИЗА или АРИТМЕТИЧКА ПРОГРЕСИЈА, според латинскиот збор progression што значи движење во еден правец. За означување на разликата меѓу броевите, членови на низата, вообичаено ја употребуваме првата буква d од латинксиот збор differentia, што значи разлика. Ако како ознака за првиот член воведеме ознака а1, а за другите а2, а3 итн., и за разликата ознака d, тогаш врз основа на дефиницијата за аритметичка прогресија следува дека:

]]> 2022-04-10 18:32:41 UTC https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138174192 teodorasaneva https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138174361 а2 = а1 + d

а3 = а2 + d = а1 + 2d

а4 = а3 + d = а1 + 3d

Забележуваме дека секој член на прогресијата се добива како збир од првиот член и од производот на разликата d со претходните членови. Значи за n-тиот член на низата можеме да претпоставиме дека е од облик: 

аn = а1 + (n-1)d

Ова всушност претстваува формула за општ член на аритметичка прогресија.

]]> 2022-04-10 18:32:59 UTC https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138174361 teodorasaneva https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138174670 2022-04-10 18:33:35 UTC https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138174670 teodorasaneva https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138175259 Математиката е наука чија примена во секојдневиот живот е огромна. Кога станува збор за аритметичка низа, зголемувањето е линеарно, па постојат многу ситуации во секојдневието каде нештата линеарно се зголемуваат или намалуваат.

]]> 2022-04-10 18:34:39 UTC https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138175259 Пример.2 teodorasaneva https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138175693 Редењето на столови, или чинии една врз друга, ако се претстави како низа би имало облик 1,2,3,4... итн што може да се види на сликата.

Односно разликата d = 1, а на почетокот имало 1 стол, па општиот член е од облик:

аn = 1 + (n-1)

]]> 2022-04-10 18:35:28 UTC https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138175693 Пример.1 teodorasaneva https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138176299 Интересен пример е и обликот односно формата на стадионите и амфитеатрите кои се правеле, каде што бројот на седиштата сметајќи од долу нагоре, се зголемува. Во случајот на сликата, бројот на столови е за 4 поголем во секој ред, во однос на претходниот.
Ако во првиот ред има 22 седишта. Низата би имала облик 22,26,30,34,38,42,... Односно разликата d = 4, a општиот член е од облик: 

аn = 22+ 4(n-1)

]]> 2022-04-10 18:36:23 UTC https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138176299 Пример.3 teodorasaneva https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138176683  Се брзаш на час по математика! Се качуваш по две скали! И изодуваш 2,4,6,8,10,12..скали. Односно d =2 , а општиот член е од облик: 

аn = 2 + 2(n-1)

]]> 2022-04-10 18:37:07 UTC https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138176683 Пример.4 teodorasaneva https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138176843 Потребни ти се доволно витамини. Влегуваш во аптека и фармацевтот ти избројува по случаен зафат прво три, потоа издвојува четири, па уште четири и така до бараното количество од 35 парчиња: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35  витамини.

Разликата d=4 витамини, а најпрво ти дал 3 односно а1=3, општиот член е преставен со формулата:

аn = 3 + 4(n-1)

]]> 2022-04-10 18:37:21 UTC https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138176843 Пример.5 teodorasaneva https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138177008 Замисли дека си во ресторант, каде што има квадратни маси за четворица. Кога две квадратни маси ќе се спојат, 6 луѓе ќе можат заедно да седнат. Ако се додаде уште една маса, би можеле група од 8 луѓе да седнат заедно. Па се добива следнава низа 4,6,8,10,12... Односно d =2 , а општиот член е од облик: 

аn = 4 + 2(n-1)

]]> 2022-04-10 18:37:38 UTC https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138177008 Пример. 6 teodorasaneva https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138177191  Во националниот парк Yellowstone постојат природни гејзери кој прават долги ерупции, кои можат да се предвидат, но никој не може да ги контролира. Времето меѓу ерупциите се заснова на должината на претходната ерупција. Ако ерупцијата трае една минута, тогаш следната ерупција ќе се случи за приближно 46минути. Ако ерупцијата трае 2 минути, тогаш следната ерупција ќе се случи за 58 минути. Така ерупциите се случуваат во низа од 46,58,70,82,94... со разлика d=12минути. Општиот член на оваа низа би бил:

аn = 46 + 12(n-1)

]]> 2022-04-10 18:37:56 UTC https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138177191 Пример.7 teodorasaneva https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138177482 Доколку се возиш во такси, цената која ќе ја платиш кога ќе стигнеш на посакуваната дестинација исто претставува аритметичка низа. Најпрво се наплаќа почетната цена од 70денари, а со секој следен километар оваа цена се зголемува за 50. Односно оваа низа покажува дека секој километар се наплаќа со некоја константна величина плус почетната цена. Се добива низата: 70, 120, 170, 220, 270... Каде што, константната величина за секој поминат километар изнесува d=50 денари. А општиот член е:

аn = 70 + 50(n-1)

]]> 2022-04-10 18:38:28 UTC https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138177482 Пример.8 teodorasaneva https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138177582 Се во животот е во директна зависнот од времето. Ние сме суштества кои не можат да си ја замислат било која ситуација без временската зависнот. Во реалноста, времето напредува во совршена аритметичка прогресија, секунда по секунда,минута по минута,час по час. 1,2,3,4,5,...12.

Слично на ова нашата возраст се зголемува секој ден.

d=1,  аn = 1 + (n-1)

]]> 2022-04-10 18:38:42 UTC https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138177582 Пример.9 teodorasaneva https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138177711 Кога станува збор за аритметичка прогресија од негативни броеви, потешко е да се најдат примери во секојдневниот живот, но веднаш потсетува на температура или надморска висина. Постојат места кои се под нивото на морето. Па професионалните нуркачи постепено се симнуваат во тие длабочини.

]]> 2022-04-10 18:38:57 UTC https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138177711 Објаснување на поимот геометриска прогресија и изведување на формула за општ член. teodorasaneva https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138182147 Слично како кај аритметичката прогресија на сликата 3.1.1 можеме да видеме дека меѓу соседните членови постои некоја законитост или константна разлика. Имено количникот меѓу кои било два последователни броја, членови, на низата е еден ист број. Кај првата низа тоа е бројот 2, кај втората броjот . Низата со вакво својство се нарекува геометриска прогресија. За означување на количникот меѓу броевите , членови на низата, ја употребуваме првата буква q од латинскиот збор quotiens за количник. 

]]> 2022-04-10 18:46:26 UTC https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138182147 teodorasaneva https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138182733 Ако како ознака за првиот член воведеме ознака b1, а за другите b2, b3 итн., и за разликата ознака q, тогаш врз основа на дефиницијата за геометриска прогресија следува дека:

b2 = b1 q

b3 = b2 q= b1

b4 = b3 q= b1 

Забележуваме дека секој член на прогресијата се добива како производ од првиот член и од количникот q степенуван со бројот на претходните членови. Значи за n-тиот член на низата можеме да претпоставиме дека е од облик: 

bn= b1 q^(n-1)

Ова всушност претстваува формиула за општ член на геометриска прогресија.


]]> 2022-04-10 18:47:24 UTC https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138182733 Слика 3.1.1 teodorasaneva https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138184353 2022-04-10 18:50:13 UTC https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138184353 teodorasaneva https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138184740 Kaко и аритметичката, слично и геометриската има многу примени во секојдневието кои може да се видат преку следниве примери.

]]> 2022-04-10 18:50:52 UTC https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138184740 Пример.1 teodorasaneva https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138185042 Отскокнувањето на топка претставува конечна геометриска низа. Секој пат кога топката ќе отскокне од земјата нејзината висина се намалува за половина. Ако на почетокот нејзината висина била 1м, следниот пат кога ќе отскокне висината ќе се намали на м, па на  м, итн. Се додека не престане со отскокнувањето. Низата би изгледала: 1,1/2 , 1/4 ,...

]]> 2022-04-10 18:51:25 UTC https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138185042 Пример.2 teodorasaneva https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138185969 Интензитетот на некој радиоактивен метал после неколку години се намалува геометриски. 

]]> 2022-04-10 18:52:55 UTC https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138185969 Пример.4 teodorasaneva https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138186361 Следен пример за примената на геометриска прогресија е репродукцијата на бактериите и вирусите. Знаете ли колку бактерии би се развиле во идеални услови, ако секој час секоја од нив се згоелмува тројно. Да претпоставиме дека на почетокот имало 40 бактерии, низата би изгледала вака: 40, 120, 360, 1080... Во n-тиот час нивниот број би изнесувал:

bn = 40*3‘(n-1)

]]> 2022-04-10 18:53:39 UTC https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138186361 Пример.3 teodorasaneva https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138186661 Со помош на геометриски прогресии и правило за општ член лесно може да се пресмета зголемувањето или намалувањето на цената на некој производ, ако забележеме дека неговата цена процентуално се намалува/зголемува од година во година.

]]> 2022-04-10 18:54:12 UTC https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138186661 Пример.5 teodorasaneva https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138186858 Во музиката постојат октави, групации од 8 тонови, ако на пијаното ја слушнеме фреквенцијата на тонот А(ла) ќе забележеме дека фреквенциите на тонот А се зголемува 2 пати во секоја наредна октава. И тоа започнува од: 27.5 ,55, 110, 220, 440, 880 Hz.

]]> 2022-04-10 18:54:32 UTC https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138186858 Пример.6 teodorasaneva https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138187121 Гладен си!Па можеби добро би ти дошло една пита бурек, но и половина е многу, а четвртина е токму, затоа што осминка е некако малку. Притоа ги имаме следните броеви: 1,1/2 ,1/4  , 1/8, 1/16, ....

]]> 2022-04-10 18:55:02 UTC https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138187121 teodorasaneva https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138187431 Како што се гледа од горенаведените примери, низите и прогресиите играат важна улога во различни аспекти од нашите животи. Тие ни помагаат да го предвидиме, процениме и следиме исходот на ситуацијата или настанот, и особено многу ни помагаат во донесувањето одлуки. Мислам дека постојат и стотици други примери за овие прогресии, а имајќи познавање за практичната примена на овие низи, некако ни дава поинаква перспектива за тоа како работите се случуваат во нашите животи.

]]> 2022-04-10 18:55:20 UTC https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138187431 teodorasaneva https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138189385 2022-04-10 18:58:25 UTC https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138189385 teodorasaneva https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138189583 2022-04-10 18:58:43 UTC https://padlet.com/teodorasaneva/4hakhg8hcj27x70y/wish/2138189583