[Alg] 5. La probabilità by Istituto Italiano Edizioni Atlas divisione di Zanichelli editore S.p.A.

La probabilità in classe

edizioniatlas — 2023-08-01 08:59:07 UTC

Oggi… interroghiamo! Ogni volta che sentiamo questa frase ci chiediamo se toccherà proprio a noi: questione di fortuna? In un certo senso, sì; ma se esistesse un modo per calcolare la probabilità che l’insegnante ci interroghi? Guarda il video per scoprire come il calcolo probabilistico può venire in nostro aiuto nelle interrogazioni.

Sotto a chi tocca!

edizioniatlas — 2023-08-01 08:59:07 UTC

Oggi l’insegnante di matematica ha deciso di interrogare la tua classe: per farlo estrarrà a sorte un biglietto da un sacchetto contenente il nome di ogni studente; mettendo in pratica quanto hai appreso nel video, calcola:

la probabilità che tu venga interrogato/a oggi
la probabilità che venga interrogata una persona di sesso femminile.

Nell’esercizio appena proposto essere estratti per l’interrogazione è un evento equiprobabile: ogni persona della classe, cioè, ha la medesima probabilità di essere interrogata. Ma siamo proprio sicuri che tutti i metodi per scegliere chi interrogare siano altrettanto equi?

Si va in onda!

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Nella tua città è stato organizzato un talent show musicale; i partecipanti che si esibiranno sul palco sono 18, così suddivisi in tre categorie:

8 gruppi
3 cantanti under 20
7 cantanti over 20

Tutti gli abitanti sono chiamati a votare il loro interprete preferito: il vincitore si aggiudicherà la possibilità di incidere un album con una famosa casa discografica. Il concorso prevede inoltre un premio della critica, che verrà attribuito a uno dei partecipanti da una giuria selezionata di esperti musicali.

Facciamo qualche calcolo.
1. Che probabilità c’è che un cantante under 20 vinca la competizione?

2. Che probabilità c’è che il gruppo Rolling Tomatoes vinca sia la competizione sia il premio della critica? Fai attenzione: ricorda che stiamo calcolando una probabilità composta, perché bisogna prima individuare le chances di vittoria per ogni tipo di premio (competizione e critica), poi combinarle.

3. E c’è qualche probabilità che un cantante over 20 non vinca né la competizione né il premio della critica? Qual è? Si tratta sempre di un calcolo di probabilità composta.

Il calcolo probabilistico

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Nel mondo che ci circonda troviamo una quantità innumerevole di situazioni probabilistiche. Per questo motivo, possiamo considerare la probabilità non solo come un ramo della matematica, ma come un vero e proprio modo di leggere il mondo reale. Un esempio? Quando inizia una partita di calcio, l’arbitro lancia in aria una moneta per decidere da quale parte del campo le squadre debbano giocare il primo tempo. Allo stesso modo, quando lanciamo un dado non sappiamo quale numero otterremo. L’esito di queste azioni è puramente casuale, impossibile da prevedere con assoluta certezza.

Rifletti e rispondi - Michele e Agata sono con la famiglia alle giostre. Agata si è fermata all’attrazione della pesca
del cigno. Dopo essere riuscita a pescare un cigno ha un’unica possibilità, girando la ruota
della fortuna, di vincere un orsetto di peluche, una macchinina o una bambola. Quante probabilità ci sono che Agata vinca l’orsetto?
Per rispondere devi calcolare il rapporto tra il numero di spicchi favorevoli (quelli verdi) e il numero totale degli
spicchi, cioè 12. Quante probabilità ci sono di vincere ciascun premio?

Obiettivi di apprendimento

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Conoscenze: il significato di eventi impossibili, certi, incerti; distinguere eventi dipendenti e indipendenti; la probabilità di un evento composto; la definizione frequentista e soggettiva di probabilità; rappresentare la probabilità mediante diagrammi ad albero o con tabelle a doppia entrata

Abilità: calcolare la probabilità matematica di eventi semplici e composti; applicare la probabilità alle leggi di Mendel
Competenze disciplinari: orientarsi nelle situazioni di incertezza (vita quotidiana, giochi, ecc.) con valutazioni di probabilità
Competenze digitali: uso dei fogli di calcolo per l’organizzazione dei dati e la risoluzione di problemi matematici; utilizzare i mezzi informatici per cercare ed elaborare informazioni; lavorare in gruppo condividendo materiali ed elaborati

Verifiche in Google Moduli

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Per usare i Moduli Google nelle proprie Google Classroom e, quindi, ricevere in modo automatico i risultati degli studenti, i moduli vanno copiati nel proprio spazio Google Drive e condivisi da lì mediante link. Il modulo nel vostro Drive sarà anche completamente modificabile. Per copiare i moduli vai ai seguenti link:
1. Si va in onda! - Test
2. La probabilità classica - Test

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Il Padlet è abbinato ai corsi MAT 360° e Archimede di Bruno Artuso e Roberto Vacca. La matematica chiara, rigorosa e calata nella realtà.

Coordinamento: Silvia Gadda

Redazione: Mario Scalvini, Federico Rossi, Giulia Baccanelli.

Il Padlet e tutti i suoi contenuti sono di proprietà dell’Istituto Italiano Edizioni Atlas e pubblicati sotto licenza CC BY-NC-SA (uso con obbligo di citazione, fini didattici non commerciali, condividi allo stesso modo).

Definiamo la probabilità

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Un evento si dice casuale quando il suo verificarsi dipende unicamente da caso e non è possibile prevederne con certezza l'esito.
La probabilità matematica di un evento casuale è data dal rapporto fra il numero di casi favorevoli all'evento e il numero complessivo dei casi possibili.
La probabilità di un evento avrà sempre un valore compreso tra 0 e 1; all'interno di questo intervallo possiamo identificare tre casi:

evento incerto
evento certo
evento impossibile

Guarda questo breve video per saperne di più!

Mettiti alla prova!

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Verifica quello che hai imparato finora con questo test: apri il modulo e rispondi alle domande!

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Quando abbiamo a che fare con più di un evento ci viene in soccorso la probabilità composta. Per esempio se lancio una moneta due volte di fila, che probabilità ho che esca sempre testa?
Per prima cosa dovremo capire se si tratta di due o più eventi indipendenti o dipendenti.

La probabilità composta di un evento costituito da due eventi indipendenti si ottiene effettuando il prodotto delle probabilità di ciascun evento.
La probabilità composta di un evento costituito da due eventi indipendenti si ottiene moltiplicando la probabilità del primo evento per la probabilità condizionata del secondo (nell'ipotesi che il primo evento si sia verificato)

Guarda la seguente presentazione multimediale per la definizione della probabilità composta in simboli e alcuni esempi.

Probabilità e genetica

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Uno dei campi in cui la teoria della probabilità è molto utile è la genetica, la scienza che studia come si trasmettono i caratteri ereditari dai genitori ai figli. Le origini di questa scienza si devono all'abate Gregor Mendel (1822-1884) e ai suoi esperimenti botanici.
Per scoprire in che modo gli esperimenti di Mendel sulle piante di piselli hanno contribuito alla definizione delle leggi fondamentali della genetica guarda il video dell’organizzazione non-profit TED. Il video è in inglese con sottotitoli in italiano e disponibili anche in altre 24 lingue.

La manifestazione dei caratteri ereditari

edizioniatlas — 2023-08-01 08:59:07 UTC

Come hai appreso nel video, ogni carattere di un individuo è determinato dalla presenza di due alleli, ognuno proveniente da un genitore diverso.
Ora tocca a te: vesti i panni del genetista! Proseguiamo gli esperimenti di Mendel sulle piante di piselli e prendiamo in considerazione le coppie di caratteristiche giallo/verde, liscio/rugoso: il carattere seme giallo (indicato con la lettera G) è dominante su quello seme verde (g); allo stesso modo, il carattere seme liscio (indicato con la lettera L) è dominante sul carattere seme rugoso (l).
Proviamo a incrociare tra loro due piante ibride di piselli con semi gialli e lisci; per i due aspetti considerati queste piante presentano caratteri misti, cioè coppie di alleli diversi: Gg per il colore del seme e Ll per la rugosità.
Ricorda: quando ci troviamo di fronte a caratteri misti si manifesta il fattore dominante, perciò il seme con alleli Gg e Ll appare giallo e liscio.
Osserva ora le tabelle a doppia entrata risultanti e calcola la probabilità che la pianta figlia risultante dall'incrocio di due genitori ibridi presenti le caratteristiche di:

seme giallo liscio
seme verde liscio
seme giallo rugoso
seme verde rugoso

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Supponiamo di dover calcolare la probabilità che un arciere centri un bersaglio conoscendo le statistiche dei suoi tiri precedenti.
In situazioni come questa viene in aiuto la probabilità frequentista, data dal rapporto tra il numero di volte in cui un evento si è verificato e il numero complessivo di prove effettuate.
La probabilità che al prossimo tiro il nostro arciere centri il bersaglio è quindi data dal rapporto tra i tiri già andati a segno e il numero totale di tentativi effettuati.

Inoltre, secondo la legge dei grandi numeri, all'aumentare del numero di prove il valore della probabilità frequentista tende ad essere uguale a quello che otterremo calcolando la probabilità in maniera classica.

Il foglio di calcolo

edizioniatlas — 2023-08-01 08:59:07 UTC

Apri un programma per la gestione di fogli di calcolo, ad esempio Excel del pacchetto Office, Fogli di calcolo di Google o Calc di LibreOffice.

Leggi l’esercitazione di Informatica qui proposta, quindi:

crea un foglio di calcolo che permetta di simulare il lancio di una moneta per 5 volte contando quante volte esce testa e quante croce. Aumenta poi il numero di esperimenti portando a 1000 il numero complessivo di lanci;
in un altro foglio di calcolo simula il lancio di un dado ripetuto prima 30 volte e poi 2000 volte. Verifica quanto enunciato dalla legge dei grandi numeri.

edizioniatlas — 2023-08-01 08:59:07 UTC

Per completare il quadro, un tipo di calcolo sulla probabilità complesso ma frequente è il calcolo della probabilità soggettiva, che entra in gioco tipicamente nel mondo delle scommesse e dei mercati finanziari.
Nella sua definizione matematica, la probabilità soggettiva di un evento è il rapporto tra il prezzo che un individuo è disposto a pagare e la somma che vuole ricevere in caso si verifichi l'evento.

Attenzione: se hai capito bene la probabilità soggettiva, ti sarai accorto che vincere è allettante, ma in realtà è molto raro e un classico è perdere complessivamente molto di quello che si vince.

Informazioni preliminari

edizioniatlas — 2023-08-01 08:59:50 UTC

- La lezione permette di acquisire o rinforzare le conoscenze, abilità e competenze fondamentali sulle probabilità
- Il percorso offre la possibilità di approcciare l'argomento attraverso diversi strumenti multimediali: audio, video, slide, esercizi interattivi in formato Google Moduli, pdf scaricabili e software gratuiti online.
- La lezione segue il metodo induttivo: a partire da una situazione reale, lo studente impara a calcolare la probabilità di uno o più eventi.