Equation polynomiale by sébastien dherissard

M.Villain Vincent

2016-09-27 15:06:15 UTC

ax^3+bx^2+cx +d = 0
Forme canonique : a*(x^3+(b/a)*x^2+(c/d)*x+(d/a)=0

Il peut exister 3 solutions. On les localise grâce à l'outil Cardan.

Anaëlle

2016-09-28 12:55:18 UTC

Certaines équations de degré trois ou quatre se ramènent facilement à des équations du second degré. Leur résolution nécessite de connaître la formule de résolution des équations du second degré et les nombres complexes.

Pour résoudre une équation du troisième degré il existe une méthode générale permettant de résoudre n'importe quelle équation du type x 3+ a x 2+ b x + c = 0

. Leonhard Euler a résolu ces équations en commençant par rendre nul le terme de degré inférieur à celui du terme dominant. En effet, en posant x

, ces équations peuvent être ramenées à la forme :

Évariste Galois et Niels Henrik Abel ont démontré, indépendamment l’un de l’autre, que d’une manière générale une équation polynomiale de degré 5 ou plus n’est pas résoluble par radicaux Des exemples d'équations non résolubles par radicaux sont donnés dans les deux articles détaillés. Certaines équations particulières le sont, comme celles associées aux polynômes cyclotomiques d'indice 5 ou 17.

Charles Hermite a en revanche démontré que les équations polynomiales de degré 5 sont résolubles à l’aide des fonctions elliptiques.

Corentin

2016-09-28 14:35:58 UTC

QUESTION 1:
-1er degrès :1 solution
-2eme degrès :2 solution
-3eme degrès: Nombre de résultats variable

QUESTION 2:
-Oui il est existe la formule de cardan étant dans la méthode de cardan
(exemple: http://www.math.u-psud.fr/~perrin/CAPES/algebre/Cardan10.pdf)

QUESTION 3:
-Évariste Galois et Niels Henrik Abel ont démontré, indépendamment l’un de l’autres, que d’une manière générale une équation polynomiale de degrés 5 ou plus n’est pas résoluble par radicaux

julien

2016-09-28 15:27:53 UTC

Combien de solutions admet une équation polynomiale ?

Cela dépend de l’exposant du x

Comment les localiser ?

Pour les localiser il faut résoudre l’équation =0

Enquête : Réaliser une recherche sur internet Combien de solutions admet une équation polynomiale de degré 1 ; de degré2 ; de degré 3 ?

Une équation de degrés 1 admet une solution, de degrés 2 admet 2 solution et de degrés 3 cela dépend

Existe-t-il des formules ?

oui il existe des formules.

Existe-t-il des équations polynomiales que l'on ne sait pas résoudre algébriquement ?

Non on peut connaitre au moins 1 solution

Jérémy

2016-09-28 16:32:46 UTC

-> 1er degré : 1 solution
2e degré : 2 solutions
3e degré : 3 solutions

-> Il existe la méthode de Cardan pour résoudre une équation du 3ème degré. http://www.galois.ihp.fr/ressources/vie-et-oeuvre-de-galois/les-mathematiques-de-galois/resolution-des-equations-algebriques-de-degre-3-et-4/

-> Il existe une ou plusieurs équations du troisième degré que l'on ne sait pas résoudre.

2016-09-28 18:59:58 UTC

Question 1

une équation du premier degré admet une solution.
une équation du second degré peut admettre deux solutions.
une équation du troisième degré admet un nombre variable de solutions.

Question 2

Pour résoudre une équation du troisième degré, on utilise la méthode de Cardan

Question 3

Les équations polynomiales supérieures au quatrième degré ne sont pas toutes résolvables. Les équations polynomiales ne pourraient vraisemblablement pas toutes être résolues par radicaux.

Julian/Augustin:

2016-09-28 21:06:31 UTC

Question 1
-Il ne peut y avoir qu'une solution dans une équation polynomiale du premier degré
-Il peut y avoir deux solutions car 2 inconnus dans l'équation du second degré
-Donc, il peut y avoir 3 solutions pour une équation polynomiale du troisième degré

Question 2
---Pour résoudre une équation du 1 degré il suffit de rassembler les inconnus et de les séparer des connus afin de déterminer les inconnus
(Ex: 2x+3=-25x+5
27x+3=5
donc x=2/27) Élementaire mon cher Watson!!!!!

---Pour résoudre une équation du second degré (de type ax²+bx+c) il suffit d'utiliser le delta (delta=b²-4ac)
-Ensuite si le delta>0 alors il admet deux solutions en x1 et x2
-si le delta = 0 alors il admet une solution x0
-si le delta<0 alors il n'y a pas de solutions en x

---Pour résoudre une équation du troisième degré ça se corse il faut utiliser la méthode de Cardan ou de Ferro et ramener la forme initiale (ax3 + bx²+ cx +d=0) à la forme réduite (X3+pX+q=0)
-Ainsi, avec cette nouvelle formule on peut soit trouver une seule solution si p=0
-Soit trouver trois solution en x1, x2 et x3 si p=0 et q=0
-soit n'en trouver que deux en revenant au formule des équations du second degré si q=0 et p différent de 0

Question 3:
Grâce à la théorie de Galois , des mathématiciens ont pu résoudre les équations polynomiales allant jusqu'au 4ème degré. Pourtant, à cette époque, personne arrive à les résoudre lorsqu’elles sont du 5ème degré (ou plus), avec la même "technique" que les 4 premières.

Il aura fallu attendre 1824 pour que des mathématiciens (Ruffini et Abel) convainquent le monde scientifique de l'époque que, en effet, ces équations du 5ème degré (ou plus) ne sont pas résolvables par factorisation des radicaux (technique utilisée pour les 4 premières).
Par exemple l'équation du 5ème degré ne peut être résolue que si a=0 ou si/et seulement si celle-ci est d'une forme particulière.