Esercizi in NSA by Sergio Casiraghi

Numero di Nepero

sergio_casiraghi1 — 2017-10-26 08:36:15 UTC

e come parte standard

Calcolo di un limite in NSA

sergio_casiraghi1 — 2017-10-26 09:05:29 UTC

L=st(2^((3N^2+4)/(N^2+1)))=st(2^((3+4/N^2)/(1+1/N^2)))=st(2^(3/1))=8 dove N=Inf. (Vedi QUI)

Problema con derivata e limite da calcolare

sergio_casiraghi1 — 2017-10-26 19:52:19 UTC

Pb. (La Matematica con violeta)
Data f(x)=(ax^2+bx+c)/(x-1) trovare i coefficienti a,b,c cosi che st(f(N))=4, dove N=Inf,
e il grafico in x=0 abbia retta tangente di coefficiente angolare 1 ovvero f'(0)=1. Per definizione:
essendo f'(x)=st((f(x+y)-f(x))/y), con y infinitesimo, in x=0 f(0)=-c e f'(0)=st((f(y)-f(0))/y)=
=st(((ay^2+by+c)/(y-1)+c)/y)=st((ay+b+c/y)/(y-1)+c/y)=st((ay+b)/(y-1)+c/y/(y-1)+c/y)= -b+st(c/y*(1/(y-1)+1))= -b+st(c/y*(1+y-1)/(y-1))=
-b+st(c/(y-1))=-b-c=1 da cui
c=-b-1.
Inoltre, dividendo sopra e sotto l'espressione f(N) per N Inf e 1/N infinitesimo, sia 4 = st(f(N)) = st((a*N^2+b*N+c)/(N-1)) =st((a*N+b+c/N)/(1-1/N)) =st(a*N)+b
perciò occorre che sia a=0, altrimenti st(f(N)) non è finita, quindi sarà b=4 e c=-5 e in definitiva f(x)=(4x-5)/(x-1).

Gamma

sergio_casiraghi1 — 2017-10-26 21:25:12 UTC

Costante di Eulero-Mascheroni

Pierre-Simon Laplace

sergio_casiraghi1 — 2017-10-27 09:30:05 UTC

https://it.wikipedia.org/wiki/Pierre_Simon_Laplace

Limite al bordo del dominio

sergio_casiraghi1 — 2017-11-01 12:57:30 UTC

L= lim ln(2-sin²(3x)/(sin³(ln(1+2x)))) as x->0-
Per y infinitesimo st(sin(y))=st(y) e st(log(1+y))=st(y).
Qui con y=3x st(sin²(3x))=st((3x)^2)=st(9x^2) e y=2x st(sin³(ln(1+2x)))=st(sin³(2x))=st((2x)^3)=st(8x^3).
Dunque L26=st(ln(2-sin²(3x)/(sin³(ln(1+2x)))))=st(ln(2-9x²/(8x³)))=st(ln(2-9/8/x)) dove è infinitesimo x<0
e quindi st(2-9/8/x) = +Inf. Perciò L26=st(ln(+Inf))=st(+Inf)=+Inf.
(Discussione)

Formule per il calcolo approssimato da st(.)

sergio_casiraghi1 — 2017-11-01 13:12:49 UTC

Espressioni infinitamente vicine
di numeri e funzioni iperreali

Limite con parametro

sergio_casiraghi1 — 2017-11-07 10:41:17 UTC

Da Matematica posto N=+Inf.
L=st(sqrt(N^2-1)*(sqrt(N^2-k)-N))=st(N*sqrt(1-1/N^2)*(N*sqrt(1-k/N^2)-N))=st(N^2*(1-1/2/N^2)*(1-k/2/N^2-1))=st(-k/2+k/2/N^2))=-k/2
questo perchè abbiamo
st(sqrt(1-k/N^2))=st(1-k/2/N^2) essendo 1/N^2 infinitesimo.
Quindi se 2=L=-k/2 ovvero k=-4.