https://padlet.com/16janit/44pufstu46ys Ejemplo en-us 2016-11-27 17:27:30 UTC 2025-10-20 14:38:22 UTC hello@padlet.com 16janit https://padlet.com/16janit/44pufstu46ys/wish/140034405 Dada la ecuación de la parábola
y 2 + 8y – 6x + 4 = 0,
encuentre las coordenadas del vértice y del foco, así como la ecuación de su directriz.

Una forma de obtener los elementos solicitados consiste en reducir la ecuación general anterior llevándola a la forma ordinaria o canónica.
Como primer paso, se separan a diferentes miembros la variable al cuadrado (y 2 ) y la variable lineal (6x) junto con el término independiente (–4)

y 2 + 8y = 6x – 4

Con la intención de factorizar se procede a la adición (en ambos miembros de la ecuación) de un término adecuado para que se complete el trinomio cuadrado perfecto :

En este caso ese número es 16, que se obtiene dividiendo a la mitad el valor numérico  del factor lineal (el 8 de 8y) y el resultado elevado al cuadrado:
8/2 = 4 y 4 2 = 16 (8 dividido 2 es igual a 4 y 4 al cuadrado es 16)
Y 16 lo sumamos a ambos lados de la ecuación:

y 2 + 8y + 16 = 6x – 4 + 16

Simplificando:
y 2 + 8y + 16 = 6x + 12

Factorizando resulta:

El trinomio cuadrado y 2 + 8y + 16 que se convierte en cuadrado de binomio  (y + 4) 2

y 2 + 8y + 16  =  (y + 4) 2

Y el segundo miembro queda

6x + 12 = 6(x + 2)

Entonces, la ecuación queda así:

(y + 4) 2 = 6(x + 2)
Que es la ecuación ordinaria de una parábola con vértice fuera del origen, horizontal, y que se abre hacia la derecha, en el sentido positivo del eje de las abscisas, según lo visto anteriormente.

(y – k) 2 = 4p(x – h)

Con lo cual se puede determinar que:

k = – 4
h = – 2

Por lo tanto, el vértice tiene las coordenadas V (–2, –4)
Además:

Si 4p = 6

Entonces

p = 6/4  = 3/2

Considerando la orientación ya señalada de la parábola y el valor de p , es posible determinar la posición del foco, ya que éste estará alineado a la derecha del vértice a una distancia p desde h , y con la misma ordenada k , resultando:

F(h + p, k)
F(–2 + 3/2,  –4)
F(–1/2, –4)

La ecuación de la directriz se obtiene de x – h + p = 0
Resultando:

x – (– 2) + (3/2) = 0
x + 4/2 + 3/2 = 0
x + 7/2 = 0
x = –7/2]]> 2016-11-27 17:29:25 UTC https://padlet.com/16janit/44pufstu46ys/wish/140034405