Hay un «emparejamiento» entre una colección determinada y otra, cuando a cualquier elemento de una de ellas le corresponde un elemento único de la otra y a la inversa. 

Uno, dos y... muchos, constituyen las únicas magnitudes numéricas de tales

indígenas que todavía viven en la edad de piedra. 

Para enumerar los atributos de Alá o también para recitar las eulogías obligatorias después de la oración, los musulmanes acostumbran utilizar un rosario en el que cada «cuenta» corresponde a un atributo divino o a una eulogía. Este objeto de devoción consiste en un collar de cien perlas ensartadas, que se van pasando entre los dedos a medida que se recitan las eulogías o se enumeran los atributos de Alá.

Gracias al principio de la correspondencia unidad por unidad, dichas religiones han elaborado ese sistema para evitar a los fieles perderse en las letanías de los nombres divinos o en las frecuentes repeticiones de sus invocaciones sagradas.

Así procedían todavía a principios de siglo los Elema y los Papúes de Nueva Guinea, los Bosquimanos de África del sur, los Lengua del Chaco (Paraguay), así como otros muchos aborígenes de Oceanía, África y América. Siempre, y dentro de un orden previamente establecido, se referían a los dedos de la mano y de los pies, a las articulaciones de brazos y piernas, a los ojos, a las orejas, a la nariz, a la boca, al tórax, a los pechos, a las caderas, al esternón, incluso a las partes genitales. Y así, según las tribus, se conseguía «contar visualmente», por así decirlo, hasta 17, 29, 33 o incluso más.

Contar no es una aptitud natural. Contar, en efecto, es un atributo exclusivamente humano: tiene que ver con un fenómeno mental muy complejo, íntimamente ligado al desarrollo de la inteligencia.

«Contar» los objetos de una colección, es atribuir a cada uno de ellos un símbolo (una palabra, un gesto o un signo gráfico por ejemplo) que corresponde a un número sacado de la «serie de los números naturales»

Cualquiera que sea el elemento por el que se inicie la enumeración, este proceso siempre conducirá al mismo resultado: el número de elementos de una colección es totalmente independiente del orden de la «numeración» de sus elementos.

La noción de número reviste dos aspectos complementarios: uno, llamado cardinal que sólo se basa en el principio del emparejamiento, y el otro, llamado ordinal, que exige a la vez el procedimiento del acopiamiento y de la sucesión.

mientras que en la práctica el número cardinal es el que 

realmente nos interesa, dicho número es incapaz de servir de base a una aritmética pues las operaciones aritméticas están fundadas en la hipótesis tácita. Nuestro sistema numérico está íntimamente impregnado de estos dos principios, el de la correspondencia y la sucesión, que constituyen el tejido de todas las matemáticas y de todos los ámbitos de ¡las ciencias «exactas»

Durante esta época se adquirió el uso de la base diez, por ejemplo, se acogieron guijarros de dimensiones variadas y según su tamaño se les atribuyen distintos órdenes de unidad: una piedrecilla para la unidad, un guijarro algo mayor para la decena, otro mucho mayor para la centena, y un guijarro aún mayor para el millar, y así sucesivamente.

Durante esta etapa se dieron diversos cambios en cuanto a la forma en que se representaban los signos simbólicos y numéricos, pues de formas grabadas en la parte externa de cada bola se pasó a sustituirlas por tablillas de arcilla y los calculi se suprimieron.

Fue hecha para permitir una notación perfectamente coherente de todos los números, y para que cualquiera (incluso las mentes menos dotadas para la aritmética) pueda efectuar todo tipo de cálculos sin recurrir a auxiliares como la mano, el marcador o la tabla de calcular. 

Gracias a esos descubrimientos se han podido realizar algunos cálculos que durante milenios fueron irrealizables y desde ese momento quedó abierto el camino para el desarrollo de las matemáticas, de las técnicas y de todas las demás ciencias

Los sumerios inventan la factura

Empleo de imágenes-signos por su valor ideográfico o pictórico.

Utilización de las imágenes-signos por su valor fonético relacionado con la lengua sumeria.

Nace la escritura por primera vez en la Historia.

El método consiste en hacer intervenir esferas perforadas, esferas, conos, conos perforados, etc. y juntar cada vez cualquier agrupación de fichas menor al divisor.

En la cual se nos da las características de la división aritmética

Su invención fue en la edad cristiana, se trataba de una calculadora totalmente análoga a los famosos marcadores con bolas, ayudaba a qué las representaciones numéricas se hacían con bastante facilidad.

Durante esta época se adquirió el uso del ábaco para representar números y operaciones.

Los ábacos son tablas o tablillas dónde están trazados varias líneas o columnas paralelas, que separaban los diferentes órdenes de numeración.

Durante esta época fue inventado el suan pan (nombre chino del marcador con bolas) que se utilizaba para hacer diversos cálculos matemáticos donde se tenía la necesidad de contar.