في الرياضيات، الدالة متعددة التعريف هي دالة تعرف عن طريق أكثر من دالة، كلٌ تطبق لفترة معينة من مجال الدالةالرئيسة.

الترميزعدل

التمثيل البياني لدالة القيمة المطلقة, y = |x|.

الدوال متعددة التعريف يتم تعريفها باستخدام ترميز الدالة المتعارف، حيث تكتب الدالة على شكل صفوف من الدوال الجزئية كلٌ لمجالها الخاص.
على سبيل المثال، لاحظ دالة القيمة المطلقة:

{\displaystyle |x|={\begin{cases}-x,&{\mbox{if }}x<0\\x,&{\mbox{if }}x\geq 0\end{cases}}}

لكل قيم x أقل من صفر، تستخدم الدالة الأولى (x-) ، والتي تعكس إشارة المدخلة، محولة القيم السالبة إلى موجبة. لكل قيم x الموجبة، تستخدم الدالة (x) ، والتي تعطي قيمة المدخلة نفسها . 

الاتصالعدل

دالة متعددة التعريف تتكون من دالتين تربيعيتين مختلفتين في كل جانب من {\displaystyle x_{0}}.

تكون الدالة متعددة التعريف متصلة في فترة معينة من المجال في حال تحقق الشروط التالية :

الدالة التالية ، على سبيل المثال، عبارة عن دالة متعددة التعريف ، ولكنها ليست متصلة لكل مجالها، فهي تحوي قفزة عدم اتصال عند النقطة {\displaystyle x_{0}}.

حسابيا تعتبر هذه الطريقة غير فعالة جدا لذلك فهي نادرة الاستخدام سيما في التطبيقات التي تتضمن العديد من المعادلات . ولذلك يستخدم عادة في حل جمل المعادلات المتعددة طريقة غاوس.

قاعدة كرامر

تعطي القاعدة معادلة خطية .

قاعدة كرامر طريقة مناسبة لحل معادلة تحتوي على متغير واحد فقط بدون الحاجه لحل كل المعادلة .

في العادة لا تدرس قاعدة كرامر بهذه الطريقة , لكن من المفترض أن تكون هذه هي النقطة المهمه .

مثال لقاعدة كرامر :

المطلوب ايجاد قيمة متغير واحد (Z)

2x +   y +   z = 1 

  x –   y + 4z = 0 

  x + 2y – 2z = 3

لإيجاد Z فقط أولا : نوجد المعامل المحدد :

ثم نوجد Dz بإستبدال العمود الثالث بعمود الحل ( 1-0-3) :

ثم بسط المعادلة :

الحل :

z = 2

f:X→Y و g:Y→X

عكس الدالة الرياضية {\displaystyle y=f(x)} هو دالة رياضية تعكس تأثيرات التابع {\displaystyle f}. ويرمز للدالة العكسية ب :

{\displaystyle f^{-1}}.

التعبيران (y=f(x و (x=f⁻¹(y متكافئان.

دالة ƒ ودالتها العكسية ƒ^–1. لأن صورة a بالدالة f هي 3, فإن صورة 3 بالدالة العكسية ƒ^–1 هي a

المسمى العربي | عنصر محايد
المسمى اللاتيني | Neutral Element
الرمز العربي | غير معرف
الرمز اللاتيني | {\displaystyle e\,}
رياضيون | إيفاريست غالوا
نظريات ومسلمات | نظرية الزمر
كتب ومراجع


عملية ثنائيةمحايد
الأعداد الحقيقية | عملية الجمع ({\displaystyle +\,}) | الصفر
الأعداد الحقيقية | عملية الضرب ({\displaystyle \times \,}) | الواحد
الأعداد الحقيقية | عملية الأس ({\displaystyle a^{b}\,}) | الواحد (محايد يميني فقط)
مصفوفات من الدرجة {\displaystyle m\times n\,} | عملية الجمع ({\displaystyle +\,}) | مصفوفة منعدمة
مصفوفات مربعة من الدرجة {\displaystyle n\times n\,} | عملية الضرب ({\displaystyle \times \,}) | المصفوفة المحايدة
الدوال من {\displaystyle M\to M\,} | التركيب الدالي | دالة محايدة
الدوال من {\displaystyle M\to M\,} | التلفيف الدالي | دالة النبضة {\displaystyle \delta \,}
سلاسل حرفية أوقوائم | إضافة | سلسلة حرفية فارغةأو قائمة فارغة
الفئات {\displaystyle M_{i}\subset M\,} | عملية التقاطع {\displaystyle \cap \,} | {\displaystyle M\,}
الفئات | عملية الاتحاد {\displaystyle \cup \,} | الفئة الفارغة {\displaystyle \{\}\,} أو {\displaystyle \phi \,}
المنطق الثنائي | ’أو’ منطقية {\displaystyle \vee \,} | {\displaystyle \top \,}
المنطق الثنائي | ’و’ منطقية{\displaystyle \wedge \,} | {\displaystyle \bot \,}

{\displaystyle r^{n}=x\!\,}

مثلاً:

الحرف n يرمز هنا لما يسمى درجة الجذر. جذر من الدرجة الثانية يدعى الجذر التربيعي، وكذلك جذر من الدرجة الثالثة يدعى الجذر التكعيبي، وإلخ. ومن الجدير بالذكر أنه عندما لا تذكر درجة الجذر، المُراد هو الجذر التربيعي.

بشكل عام، الجذر من الدرجة n يُدعى الجذر النوني. عادة ما تُكتب الجذور باستعمال رمز الجذر {\displaystyle {\sqrt {\,\,}}}، فإن الرمز {\displaystyle {\sqrt {x}}\!\,}يرمز للجذر التربيعي للعدد، أما الرمز {\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}\!\,} فيدل على الجذر التكعيبي للعدد، أما الرمز {\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}} فيدل على الجذر الرابع، وإلخ.

في الحساب، تعتبر الجذور حالة خاصة من الرفع للقوة، حيث يكون بها الأس كسرًا:

{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}\,=\,x^{1/n}}

أي عدد حقيقي موجب له جذران حقيقيان أحدهما موجب والآخر سالب، ويرمز للجذر الموجب للعدد {\displaystyle x} بالرمز {\displaystyle {\sqrt {x}}}وللجذر السالب بالرمز {\displaystyle -{\sqrt {x}}}.

ضرب المصفوفات العاديعدل

عملية الضرب العادية المذكورة هنا هي الأكثر شيوعًا لدى استخدام المصفوفات وأكثرها أهميّة. عملية الضرب هذه تكون معرّفة بين المصفوفتين {\displaystyle A} و{\displaystyle B} فقط إذا كان عدد أعمدة الأولى مساويًا لعدد الأسطر في الثانية. أي أنّ العملية معرّفة إذا كانت {\displaystyle A} من درجة {\displaystyle m\times n}، و{\displaystyle B} من درجة {\displaystyle n\times p}، وتكون مصفوفة حاصل الضرب {\displaystyle C=A\cdot B}من درجة {\displaystyle m\times p}. ووفق نفس المنطق، فإذا تمّ ضرب سلسلة من المصفوفات ذات درجات {\displaystyle n_{1}\times n_{2}}، {\displaystyle n_{2}\times n_{3}} و{\displaystyle n_{k-1}\times n_{k}}، فإنّ مصفوفة حاصل الضرب ستكون من درجة {\displaystyle n_{1}\times n_{k}}. من هنا، فإنّ ضرب المصفوفات ليست عملية تبديلية على الأطلاق، إذ قد لا يكون الضرب معرفًا أصلاً إذا ما استبدلت المصفوفتان.

في العملية {\displaystyle C_{m\times q}=A_{m\times n}\cdot B_{n\times q}} يتم حساب كل عنصر في مصفوفة حاصل الضرب، بالطريقة الآتية:

{\displaystyle c_{i,j}=\sum _{k=1}^{n}a_{i,k}\cdot b_{k,j}}.

أي أنّه لحساب العنصر الواقع في السطر i والعمود j من مصفوفة حاصل الضرب ، يجب حساب الجداء الداخليللمتجهين المكوّنين من السطر i من المصفوفة الأولى والعمود j من المصفوفة الثانية. ويوضح الرسم التالي تلك العملية :

{\displaystyle \overbrace {\begin{bmatrix}\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\\color {Blue}a_{3,1}&\color {Blue}a_{3,2}&\color {Blue}a_{3,3}&\color {Blue}a_{3,4}\\\end{bmatrix}} ^{A_{3\times 4}}\overbrace {\begin{bmatrix}\cdot &\cdot &\cdot &\color {Red}b_{1,4}&\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\color {Red}b_{2,4}&\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\color {Red}b_{3,4}&\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\color {Red}b_{4,4}&\cdot \\\end{bmatrix}} ^{B_{4\times 5}}=\overbrace {\begin{bmatrix}\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &c_{3,4}&\cdot \\\end{bmatrix}} ^{C_{3\times 5}}}

إذ يتحقّق:

{\displaystyle c_{{\color {Blue}3},\color {Red}4}={\color {Blue}a_{3,1}}\cdot {\color {Red}b_{1,4}}+{\color {Blue}a_{3,2}}\cdot {\color {Red}b_{2,4}}+{\color {Blue}a_{3,3}}\cdot {\color {Red}b_{3,4}}+{\color {Blue}a_{3,4}}\cdot {\color {Red}b_{4,4}}}

{\displaystyle \mathbf {AB} \neq \mathbf {BA} }.

{\displaystyle {\mbox{det}}\left(\mathbf {AB} \right)={\mbox{det}}\left(\mathbf {BA} \right)}

أي أنّ عمليّة حساب محدّد حاصل الضرب هي عملية تبديلية.

{\displaystyle \left(\mathbf {AB} \right)\mathbf {C} =\mathbf {A} \left(\mathbf {BC} \right)}.

{\displaystyle \mathbf {A} \left(\mathbf {B} +\mathbf {C} \right)=\mathbf {AB} +\mathbf {AC} }،

{\displaystyle \left(\mathbf {A} +\mathbf {B} \right)\mathbf {C} =\mathbf {AC} +\mathbf {BC} }

{\displaystyle c\left(\mathbf {AB} \right)=\left(c\mathbf {A} \right)\mathbf {B} =\left(\mathbf {A} c\right)\mathbf {B} =\mathbf {A} \left(c\mathbf {B} \right)=\mathbf {A} \left(\mathbf {B} c\right)=\left(\mathbf {AB} \right)c}.