ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ by Виолетта Николенко

Рівняння називається тригонометричним, якщо невідома величина знаходиться під знаком тригонометричних функцій.

violanikolenko04 — 2021-10-02 06:56:11 UTC

Найпростішими тригонометричними рівняннями називаються рівняння sin𝑥=𝑎, cos𝑥=𝑎, tg𝑥=𝑎, ctg𝑥=𝑎.

Розв’язати найпростіше тригонометричне рівняння — означає знайти множину всіх кутів, що мають дане значення тригонометричної функції. Якщо тригонометричне рівняння не є найпростішим, то за допомогою тотожних перетворень його треба звести до одного або кількох найпростіших, розв’язання яких визначається стандартними формулами.

1. Розв’язання рівняння sin𝑥=𝑎

violanikolenko04 — 2021-10-02 07:04:45 UTC

Всі розв’язки рівняння sin𝑥=𝑎, |𝑎|≤1 записуються у вигляді 
𝑥=(−1)𝑘arcsin𝑎+𝜋𝑘,𝑘∈𝑍.
Окремі випадки:
sin𝑥=0 ⇒ 𝑥=𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
sin𝑥=±1 ⇒ 𝑥=±𝜋/2+2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.

2. Розв’язання рівняння cos𝑥=𝑎

violanikolenko04 — 2021-10-02 07:14:56 UTC

Всі розв’язки рівняння cos𝑥=𝑎, |𝑎|≤1 записуються у вигляді𝑥=±arccos𝑎+2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
Окремі випадки:
cos𝑥=0 ⇒ 𝑥=𝜋/2+𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
cos𝑥=1 ⇒ 𝑥=2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
cos𝑥=−1 ⇒ 𝑥=𝜋+2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.х

3. Розв’язання рівняння tg𝑥=𝑎 ctg𝑥=𝑎

violanikolenko04 — 2021-10-02 07:18:55 UTC

Всі розв’язки рівняння
tg𝑥=𝑎
записуються у вигляді
𝑥=arctg𝑎+𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
Окремий випадок:
tg𝑥=0⇒𝑥=𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
Всі розв’язки рівняння
ctg𝑥=𝑎
записуються у вигляді
𝑥=arcctg𝑎+𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
Окремий випадок:
ctg𝑥=0⇒𝑥=𝜋/2+𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.

Методи розв’язування тригонометричних рівнянь

violanikolenko04 — 2021-10-02 07:48:06 UTC

Зведення тригонометричних рівнянь до алгебрагічних

     Деякі тригонометричні рівняння можна привести шляхом тотожних перетворень до рівнянь з однією тригонометричною функцією, потім зробити заміну і привести рівняння до алгебрагічного.

Розглянемо приклади.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння
sin2x+4cosx=2,75

Розв’язування

Замінивши sin2x на 1−cos2x, маємо:

1−cos2x+4cosx−2,75=0,

-cos2x+4cosx−1,75=0;
cos2x−4cosx+1,75=0

Нехай cos x=t, тоді t²−4t+1,75=0. Звідси
t₁=1/2, t₂=7/2>1

Оскільки t₂>1, то cosx=7/2 - розв’язків немає.
Оскільки t₁=1/2, то cosx=1/2, x=±π/3+2πn,n∈Z

Відповідь: ±π/3+2πn,n∈Z.

Зведення тригонометричних рівнянь до рівнянь виду f(x)g(x)=0

     Багато тригонометричних рівнянь, права частина яких дорівнює 0, розв’язуються розкладанням їхньої лівої частини на множники.

Розглянемо приклади.

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння
1+cosx−2cosx/2=0.

Розв’язання

Урахувавши, що 1+cosx=2cos²x/2, маємо

2cos²x/2−2cosx/2=0; 2cosx/2(cosx/2−1)=0;

Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один з множників дорівнює нулю. Тому:

1) cosx/2=0; x/2=π/2+πn,n∈Z; x=π+2πn,n∈Z

2) cosx/2=1; x/2=2πn,n∈Z; x=4πn,n∈Z

Відповідь: π+2πn,4πn,n∈Z.

violanikolenko04 — 2021-10-02 07:51:33 UTC

violanikolenko04 — 2021-10-02 07:52:13 UTC

violanikolenko04 — 2021-10-02 07:53:33 UTC

violanikolenko04 — 2021-10-02 07:54:16 UTC

violanikolenko04 — 2021-10-02 07:54:52 UTC

violanikolenko04 — 2021-10-02 07:55:34 UTC

violanikolenko04 — 2021-10-02 07:56:22 UTC