Los espacios vectoriales como entidades algebraicas abstractas fueron definidos por primera vez por el matemático italiano Giuseppe Peano en 1888.

Peano llamó a sus espacios vectoriales “sistemas lineales” porque vio correctamente que se puede obtener cualquier vector en el espacio a partir de una combinación lineal de un Origen del concepto de vector.

• Los elementos y las operaciones de Espacio Vectorial son:

 Las cuatros operaciones son:

1. la suma de vector- res.

2. La suma.

3. Producto de escales.

4. El producto de vectores por escalares.

 Los cuatros elementos son:

1. Unidad de medida.

2. Dirección.

3. Sentido.

4. Punto de aplicación.

• Como saber cuál es un conjunto de espacio vectorial:

Cualquier conjunto que posea unas operaciones suma y producto por escalares, cumpliendo todas las propiedades anteriores, diremos que es un espacio vectorial. Los elementos de tal conjunto se llamarán vectores (aunque pueda tratarse de objetos diferentes a los vectores de la Física.)

• La función de un vector:

Los vectores pueden representar magnitudes físicas con intensidad y dirección, como la fuerza, el desplazamiento y la velocidad. Además, suelen representarse en planos a través de coordenadas.

• Los tipos de vector que hay y cuales son:

1. Los vectores ligados son vectores equipolentes que actúan en la misma recta. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección, sentido y se encuentran en la misma recta.

2. Los vectores opuestos tienen el mismo módulo, dirección, y distinto sentido. Los vectores unitarios tienen de módulo, la unidad.

• Las 2 propiedades vectores:

Las dos características definitorias de un vector son su magnitud y su dirección.

1. La magnitud se muestra gráficamente por la longitud de la flecha.

2. la dirección se indica por el ángulo que la flecha está apuntando.

• Donde se aplica el vector:

Los vectores permiten representar las diferentes fuerzas que intervienen en un movimiento. La física usa vectores en el plano cartesiano para representar la combinación de fuerzas. Los vectores permiten representar fuerzas contrapuestas gracias a que señalan la dirección.

• La fórmula de un vector es:

v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) = v 1 i + v 2 j + v 3 k

Conclusión

Tanto la base ortonormal como el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt son herramientas poderosas que simplifican el trabajo en espacios vectoriales, mejoran la estabilidad y precisión de los cálculos, y tienen numerosas aplicaciones en campos tan variados como la estadística, la física, la ingeniería y la informática.

Dada la base “B= {U1, U2, …, Un}” y un vector “V= {α1, α2, …αn} Que reciben el nombre de coordenadas del vector V en la base B”, éste se puede escribir de la siguiente forma:

V= (α1*U1) +(α2*U2) +…+(αn*Un)

Ejemplos.

1. La base canónica (o base natural, o base estándar) de ℜ n: e1 = (1,0, . . . ,0) e2 = (0,1, . . . ,0) ……. en = (0,0, . . . ,1) – Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo. – Son sistema generador de ℜ n porque todo vector (a1, a2, . . ., an) ∈ ℜ n se puede expresar como combinación lineal de ellos: (a1, a2, . . ., an) = a1(1,0, . . . ,0) + a2 (0,1, . . . ,0) + . . . + an (0,0, . . . ,1)

2. Otra base de ℜ 3 distinta de la canónica: (1,0,0), (1,1,0), (0,2,-3).

– Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo. – Son sistema generador de ℜ 3 porque cualquier vector (a, b, c) se puede poner como combinación lineal de ellos. En efecto, dado (a, b, c), buscamos α, β γ que satisfagan

(a, b, c) = α (1,0,0) + β (1,1,0) +γ (0,2,-3)

Se obtiene un sistema:

α + β = a β +2γ =b -3γ = c

en las incógnitas α, β γ, que es compatible determinado para cualesquiera a, b, c.

3. (1,2,3), (4,5,6), (7,8,9) en ℜ 3 no forman base porque no son linealmente independientes (su determinante es nulo).

4. Base de un subespacio. En ℜ 3, consideremos el subespacio S= plano XY. Veamos que los vectores (3,2,0), (1, –1,0) forman una base de S.

– Son linealmente independientes, porque uno no es múltiplo del otro.

– Son un sistema generador de S: Dado un vector genérico de S, de la forma (a, b,0), lo podemos poner como combinación lineal de (3,2,0), (1, –1,0). Para ello, buscamos α, β que cumplan:

(a, b,0) = α (3,2,0) + β (1, –1,0)                 3α + β = a

2α – β = b

Dimenciones

-Todas las bases tienen la misma cantidad de elementos.

Los conjuntos de vectores de R2 tienen una dimensión vectorial = 2.

Los conjuntos de vectores de R3 tienen una dimensión vectorial = 3.

Las matrices M2*2 tienen una dimensión vectorial =4

Las matrices M3*3 tienen una dimensión vectorial = 9

Cambio de base

La transformación: AX = B. Pues bien, la fórmula del cambio de base en espacios vectoriales funciona igual

Aquí, en la fórmula anterior, lo que queremos calcular es X. No obstante, X toma otro nombre, ahora se llama cambio de base.

Ya hemos visto que para despejar X tenemos que multiplicar en ambos lados por la matriz inversa y, entonces, obtendremos el resultado esperado.

La matriz de cambio de base C viene definida como:

C = A^-1. . B

Esta matriz mapea un vector en la base b₁, …, b_k y lo convierte en un vector en la base a₁, …, a_n.

A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo se les conoce como

Dado un espacio vectorial V sobre un cuerpo K, se distinguen los elementos de V y los de K.

Los elementos de V suelen denotarse por

u,v,w

y son llamados vectores.

Dependiendo las fuentes que se consulten, también es común denotarlos por

u¯,v¯,w¯

y si el texto es de física entonces suelen denotarse por

u→,v→,w→

Mientras que los elementos de K se denotan como

a,b,α,β

y son llamados escalares.

Definición

Un espacio vectorial sobre un cuerpo K (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto no vacío, digamos V, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:

Suma+:V×V→V(u,v)↦u+v

operación interna tal que:

• Tenga la propiedad conmutativa:

u+v=v+u,∀u,v∈V

• Tenga la propiedad asociativa:

u+(v+w)=(u+v)+w,∀u,v,w∈V

• Exista el elemento neutro:

∃e∈V: u+e=u, ∀u∈V

• Exista el elemento opuesto:

∀u∈V,∃−u∈V: u+(−u)=e

Y tenga la operación producto por un escalar:

Producto⋅:K×V→V(a,u)↦a⋅u

operación externa tal que:

• Tenga la propiedad asociativa:

a⋅(b⋅u)=(a⋅b)⋅u, ∀a,b∈K, ∀u∈V

• Exista el elemento neutro:

∃e∈K: e⋅u=u, ∀u∈V

• Tenga la propiedad distributiva respecto de la suma vectorial:

a⋅(u+v)=a⋅u+a⋅v, ∀a∈K, ∀u,v∈V

• Tenga la propiedad distributiva respecto de la suma escalar:

(a+b)⋅u=a⋅u+b⋅u, ∀a,b∈K, ∀u∈V

La denominación de las dos operaciones no condiciona la definición de espacio vectorial por lo que es habitual encontrar traducciones de obras en las que se utiliza multiplicación para el producto y adición para la suma, usando las distinciones propias de la aritmética.

Para demostrar que un conjunto V es un espacio vectorial:

• Lo es si sus dos operaciones, por ejemplo ⊙(V,V) y ∗(V,K), admiten una redefinición del tipo +(V,V)=⊙(V,V) y ⋅(K,V)=∗(V,K) cumpliendo las 8 condiciones exigidas.

• Si supiésemos que V es un grupo conmutativo o abeliano respecto la suma ya tendríamos probados los apartados 1, 2, 3 y 4.

• Si supiésemos que el producto es una acción por la izquierda de V tendríamos probados los apartados 5 y 6.

• Si no, se dice lo contrario:

av≠va.

de manera mas simple posible hable del subespacio, ahora veamos ejemplos prácticos del subespacio:

Un subespacio vectorial es un conjunto de vectores que cumple con dos propiedades clave:

1. Cerradura de la suma vectorial: Si tomas dos vectores (u) y (v) del subespacio, su suma (u + v) también debe estar en el subespacio.

2. Cerradura de la multiplicación por escalar: Si tienes un vector (u) en el subespacio y un número real (c), entonces el vector (cu) también debe pertenecer al subespacio.

Ahora, veamos ejemplos con números específicos:

1. Subespacio en ℝ²: Consideremos el conjunto de vectores en el plano cartesiano (ℝ²) cuya segunda componente siempre es cero. Por ejemplo:

   • El vector ((3, 0)) está en este subespacio, ya que su segunda componente es cero.

   • Si sumamos dos vectores de este subespacio, como ((2, 0)) y ((-1, 0)), obtenemos ((1, 0)), que también está en el subespacio.

   • Si multiplicamos ((3, 0)) por cualquier escalar (digamos, 2), el resultado sigue estando en el subespacio: (3,0 se multiplica por el escalar 2) = (6, 0)).

2. Subespacio en ℝ³: Tomemos el conjunto de vectores en el espacio tridimensional (ℝ³) que satisfacen la ecuación (x_1 + 2x_2 = 0). Por ejemplo:

   • El vector ((1, -0.5, 2)) está en este subespacio, ya que cumple la ecuación.

   • Si sumamos dos vectores de este subespacio, como ((2, -1, 3)) y ((-1, 0.5, -1)), obtenemos ((1, -0.5, 2)), que también está en el subespacio.

   • La multiplicación por escalar también se cumple aquí: (3 se multiplica por el escalar (1, -0.5, 2)) = (3, -1.5, 6)).

     
     

     Los subespacios vectoriales no solo son conceptos matemáticos, sino también herramientas poderosas con aplicaciones prácticas en diversas disciplinas:

     Aplicaciones Prácticas:

     • Física e Ingeniería: Los subespacios vectoriales se utilizan para modelar y resolver problemas físicos e ingenieriles. Por ejemplo, en mecánica, los espacios generados por las fuerzas o las velocidades son subespacios vectoriales. Las leyes de Newton se expresan en términos de vectores, y los subespacios ayudan a analizar sistemas de fuerzas y momentos.

     • Informática y Gráficos por Computadora: En informática, los espacios vectoriales son esenciales para representar imágenes, gráficos y animaciones. Las imágenes digitales se almacenan como vectores de píxeles, y las transformaciones (rotaciones, escalas, etc.) se realizan mediante operaciones en subespacios.

     • Estadística y Análisis de Datos: En estadística, los subespacios vectoriales se aplican en análisis de regresión lineal, estimación de parámetros y predicción de tendencias. Por ejemplo, los modelos de regresión se basan en subespacios generados por variables predictoras.

     • Geometría y Diseño Gráfico: Los espacios vectoriales también se utilizan en geometría proyectiva, diseño gráfico y animación. Las transformaciones geométricas (traslaciones, reflexiones, etc.) se expresan mediante operaciones en subespacios.

     • Criptografía y Comunicaciones: En criptografía, los subespacios vectoriales se aplican en sistemas de codificación y descodificación. Además, en comunicaciones, los espacios generados por señales y ondas electromagnéticas son subespacios vectoriales.

   • Ejemplos Concretos:

     • El conjunto de soluciones de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales sobre un cuerpo (K) es un subespacio vectorial de (K^n).

     • El espacio generado por los colores RGB en gráficos por computadora es un subespacio vectorial.

     • Los subespacios de funciones (como los espacios de polinomios) se utilizan en análisis funcional y teoría de aproximación.

   
   

• Base de un Espacio Vectorial

• Una base de un espacio vectorial es un conjunto de vectores linealmente independientes que generan todo el espacio. Es decir, cualquier vector en el espacio puede expresarse como una combinación lineal de los vectores de la base. Los vectores de la base deben cumplir dos condiciones:

  Independencia lineal.

  Generar el espacio: Cualquier vector en el espacio puede ser expresado como combinación lineal de los vectores de la base.

• Dimensión de un Espacio Vectorial

  La dimensión de un espacio vectorial es el número de vectores en una base de dicho espacio. Por ejemplo, el espacio R3R3 tiene dimensión 3 porque cualquier conjunto de tres vectores linealmente independientes en este espacio forma una base.

• Cambio de Base

  El cambio de base es el proceso de transformar las coordenadas de un vector desde una base a otra. Esto se hace multiplicando el vector por una matriz de cambio de base que convierte las coordenadas de la base original a la nueva base.

1. Vectores: Los elementos del conjunto.

2. Escalares: Números reales o complejos que multiplican a los vectores.

Las operaciones en un espacio vectorial son:

Suma de vectores: La suma de dos vectores da como resultado otro vector en el mismo espacio.

Multiplicación por un escalar: Multiplicar un vector por un escalar también produce otro vector en el espacio.

Propiedades que deben cumplirse:

1. Cerradura: La suma y la multiplicación por un escalar dan resultados en el mismo espacio.

2. Asociatividad y conmutatividad: La suma de vectores es asociativa y conmutativa.

3. Elemento neutro: Existe un vector nulo que no cambia el resultado al sumarse a cualquier vector.

4. Inverso aditivo: Todo vector tiene un inverso que al sumarse da el vector nulo.

5. Distribución: Se cumple la distributividad con respecto a los escalares y la suma de vectores.

Un espacio vectorial es una estructura matemática formada por un conjunto de elementos llamados vectores, que pueden sumarse entre sí y multiplicarse por números (llamados escalantes o escalars). Estos vectores deben cumplir ciertas propiedades, como la conmutatividad, asociatividad y la existencia de un vector cero. Un ejemplo típico de espacio vectorial es el conjunto de vectores en el plano o en el espacio tridimensional.

Independencia lineal: Un conjunto de vectores el independiente cuando se cumple lo siguiente.

x1v1+x2v2+⋯+xkvk=0

se dice que un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito como combinación lineal de los restantes.

Una base ortonormal es simplemente un conjunto de vectores que son perpendiculares entre sí y tienen una longitud de uno. ¿Por qué esto es importante? Porque estos vectores nos ayudan a entender el espacio de forma precisa, algo esencial cuando trabajamos con gráficos tridimensionales, animaciones o modelos. Aquí entra en juego el proceso de Gram-Schmidt, que nos permite transformar cualquier conjunto de vectores en una base ortonormal. Esto facilita mucho las transformaciones geométricas, como rotaciones y escalas, en programas de diseño.

Aplicaciones en el diseño gráfico:

En el diseño gráfico, sobre todo cuando trabajamos con animación 3D o gráficos vectoriales, usamos estos conceptos sin darnos cuenta. Al manipular objetos en el espacio, necesitamos tener control total sobre sus movimientos y posiciones. Las bases ortonormales nos permiten realizar estos cálculos con precisión, manteniendo la coherencia en los desplazamientos y rotaciones.

Ejemplos en la vida real:

Si has visto animaciones de películas, usado videojuegos 3D o trabajado con programas como Blender o Maya, has interactuado con vectores ortonormales. Incluso tecnologías como el escaneo facial de los teléfonos o el modelado arquitectónico dependen de estos principios matemáticos para funcionar de manera exacta.

Conclusión:

Aunque pueda parecer complejo, el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt tiene aplicaciones directas en el diseño gráfico, permitiéndonos trabajar con precisión en entornos 3D y mejorar nuestras creaciones digitales. Entender estos conceptos nos ayuda a ser más eficientes en el uso de herramientas que dependen de la matemática para funcionar correctamente.

¿Qué es un subespacio vectorial?

Primero, pensemos en un espacio vectorial como un "mundo" que contiene todos los vectores posibles bajo ciertas reglas. Un subespacio vectorial es un "submundo" dentro de ese espacio vectorial más grande. Formalmente, un subespacio vectorial es un conjunto de vectores dentro de un espacio vectorial que también cumple con las reglas de un espacio vectorial.

Es decir, un subespacio vectorial no es más que un espacio vectorial más pequeño dentro del espacio original, y para ser considerado como tal, debe cumplir con ciertos criterios.

Definición formal de subespacio vectorial

Un conjunto WWW de vectores es un subespacio vectorial de un espacio vectorial VVV si:

1. Cierre bajo la suma de vectores: Para cualesquiera dos vectores u,v∈W\mathbf{u}, \mathbf{v} \in Wu,v∈W, la suma u+v\mathbf{u} + \mathbf{v}u+v también está en WWW.

2. Cierre bajo la multiplicación escalar: Para cualquier vector v∈W\mathbf{v} \in Wv∈W y cualquier escalar ccc, el producto cvc \mathbf{v}cv también está en WWW.

3. Contiene el vector cero: El subespacio debe contener al vector cero 0\mathbf{0}0, ya que este es el elemento neutro en la suma de vectores.

Si un conjunto de vectores cumple con estas tres condiciones, entonces decimos que es un subespacio vectorial de VVV.

Ejemplos para aclarar la idea

Veamos algunos ejemplos para ilustrar la idea:

1. El espacio trivial: El conjunto que solo contiene el vector cero, W={0}W = \{ \mathbf{0} \}W={0}, es un subespacio vectorial de cualquier espacio VVV. Aunque parece pequeño, cumple con todas las condiciones, porque el cero más cero es cero, y cualquier escalar multiplicado por cero es cero.

2. El plano en R3\mathbb{R}^3R3: En el espacio tridimensional R3\mathbb{R}^3R3, imaginemos el conjunto de todos los vectores que se encuentran en un plano a través del origen. Este conjunto es un subespacio vectorial de R3\mathbb{R}^3R3 porque cumple con las condiciones: si sumamos dos vectores en ese plano, el resultado sigue estando en el plano, y si multiplicamos cualquier vector del plano por un escalar, también sigue en el plano. Además, el vector cero está en el origen, que pertenece al plano.

3. Líneas a través del origen en R2\mathbb{R}^2R2: Cualquier línea que pase por el origen en el espacio bidimensional R2\mathbb{R}^2R2 es un subespacio vectorial. De nuevo, cumple con las tres propiedades.

Propiedades importantes de los subespacios vectoriales

Ahora que entendemos qué es un subespacio, revisemos algunas propiedades clave:

1. Cerrado bajo operaciones:

Como hemos dicho antes, si tomamos dos vectores de un subespacio y los sumamos, el resultado sigue siendo un vector en el subespacio. Esto se debe a la clausura bajo la suma. Lo mismo ocurre si multiplicamos un vector por un escalar; permanece dentro del subespacio.

2. El subespacio siempre contiene el vector cero:

El vector cero es especial, ya que es el único vector que, al sumarse con cualquier otro, no cambia el resultado. Este vector debe estar presente en cualquier subespacio. Si el conjunto no contiene al vector cero, no puede ser un subespacio.

3. El subespacio es siempre más pequeño o igual en tamaño que el espacio original:

Si bien puede haber muchos subespacios dentro de un espacio vectorial, su tamaño o dimensión siempre será menor o igual que el espacio original. El espacio completo VVV es también considerado un subespacio de sí mismo, pero no puede haber un subespacio de dimensión mayor que VVV.

4. Intersección de subespacios:

La intersección de dos o más subespacios también es un subespacio vectorial. Es decir, si tenemos dos subespacios W1W_1W1​ y W2W_2W2​, los vectores que pertenecen tanto a W1W_1W1​ como a W2W_2W2​ forman un nuevo subespacio. Este nuevo subespacio cumple las mismas propiedades que los originales.

Ejemplo práctico: Subespacio de soluciones homogéneas

Un caso muy común es el de las soluciones homogéneas de sistemas de ecuaciones lineales. Si tenemos un sistema de ecuaciones lineales Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0, el conjunto de todas las soluciones a esta ecuación forma un subespacio vectorial, llamado espacio nulo o núcleo de la matriz AAA. Esto es un subespacio porque:

• La suma de dos soluciones es otra solución.

• Cualquier múltiplo escalar de una solución es también una solución.

• El vector cero es una solución trivial.

Resumen

En resumen, hemos visto que los subespacios vectoriales son subconjuntos de espacios vectoriales que cumplen con tres propiedades fundamentales: cerradura bajo suma, cerradura bajo multiplicación escalar, y que contienen al vector cero. Estos subespacios son muy útiles para descomponer problemas complejos en piezas más pequeñas y manejables, y son esenciales en áreas como la resolución de ecuaciones lineales y la representación geométrica de transformaciones.

Los subespacios vectoriales nos permiten entender mejor las estructuras dentro de un espacio vectorial más amplio y facilitan el análisis de problemas matemáticos complejos de una manera más organizada.

El tema que vengo a presentar es el de combinación lineal, y de independencia lineal, hice unos ejemplos en word pero a la hora de pasarlos aqui no se entendia muy bien asi que dejare el link para que puedan ver los ejemplos, muchas gracias

https://drive.google.com/file/d/1QKIrr2QRqbe56OhbOPNej26aLALCtq_W/view?usp=sharing

El proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt es un método que permite convertir un conjunto de vectores linealmente independientes en una base ortonormal.

El procedimiento de Gram-Schmidt permite transformar un conjunto de vectores linealmente independientes en un conjunto ortonormal, facilitando así el trabajo con espacios vectoriales.

En resumen, una base ortonormal es una base en la que los vectores son ortogonales entre sí y tienen una longitud unitaria, lo que facilita los cálculos y simplifica la representación de vectores en el espacio.

Un subespacio vectorial es un subconjunto de un espacio vectorial que, al aplicar las operaciones de suma de vectores y multiplicación por escalares, sigue siendo un espacio vectorial. Es decir, hereda las propiedades del espacio vectorial mayor al que pertenece.

Definición formal:

Mar V un espacio vectorial sobre un campo K (que puede ser el conjunto de los números reales, complejos, etc.), un subconjunto Yo ⊆ V es un subespacio vectorial de V si:

1. Yo Incluye al vector cero del espacio V :0 ∈ Yo.

2. Yo es cerrado bajo la suma de vectores: si tú ∈ Yo yen ∈ Yo, entonces tú + en ∈ Yo.

3. Yo es cerrado bajo la multiplicación por escalares: si tú ∈ Yo yal fa ∈ K, entonces al fa ⋅ tú ∈ Yo.

Propiedades clave:

·         Si un conjunto es un subespacio vectorial, automáticamente cumple con todas las propiedades de un espacio vectorial, tales como la asociatividad, conmutatividad de la suma, existencia del inverso aditivo, y compatibilidad con la multiplicación escalar.

·         Cualquier combinación lineal de vectores en un subespacio permanece en dicho subespacio.

·         Un subespacio vectorial es "cerrado" bajo las operaciones definidas, lo que significa que no se puede salir de Yo aplicando dichas operaciones.

Es común verificar estas tres condiciones al demostrar que un conjunto es un subespacio.

Propiedades:

·         Cierre aditivo: La suma de cualquier par de vectores en Yo También está en Yo.

·         Cierre multiplicativo (por escalares): Al multiplicar un vector en Yo por un escalador al fa, el resultado también estará en Yo.

·         Inherencia del vector cero: Todo subespacio contiene al vector cero, que actúa como el elemento neutro de la suma de vectores.

·         Combinación lineal: Cualquier combinación lineal de vectores en Yo También pertenece a Yo. Esto significa que para cualquier conjunto de vectores. en 1, en 2, …, en norte ∈ Yo y escalares alfa 1, alfa 2, …, alfa norte ∈ 𝐾, el vectorial fa1 en 1 +al fa 2 en 2 + ⋯ + al fa norte en norte ∈ Yo.

Estas propiedades aseguran que el subespacio Yo cumplo con las mismas reglas algebraicas que el espacio vectorial completo 𝑉, pero con un subconjunto específico de vectores.

Un subespacio vectorial es un grupo de vectores que cumplen ciertas reglas. Debe contener el vector cero, ser cerrado bajo la suma y la multiplicación por un número.

COMO SE APLICA AL DISEÑO GRAFICO

En la programación es aplicado para expresar en 3d y nos permite crea este tipo de animaciones. Es muy importante en el uso de cualquier animación nos permite ver movimientos desde cualquier punto de vista en un movimiento continuo

PROPIEDADES

CONTENER EL VECTOR CERO siempre incluye el vector (0,0,0) en el espacio

CERRADO BAJO SUMA si la suma de dos vectores en el subespacio, el resultado también es subespacio

VERRADO BAJO MULTIPLICACION ESCALAR si multiplicas un vector del subespacio por un número, el resultado también es subespacio

Una combinación lineal de un conjunto de vectores es una expresión formada por la suma de esos vectores multiplicados por ciertos coeficientes (que pueden ser números reales o complejos). Formalmente, si tienes un conjunto de vectores \( \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n \) en un espacio vectorial \( V \), una combinación lineal de estos vectores es cualquier vector de la forma:

\[ \mathbf{w} = c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + c_n \mathbf{v}_n \]

donde \( c_1, c_2, \ldots, c_n \) son coeficientes escalares.

Por ejemplo, si tienes los vectores \( \mathbf{v}_1 = (1, 0) \) y \( \mathbf{v}_2 = (0, 1) \) en \( \mathbb{R}^2 \), una combinación lineal de estos vectores sería:

\[ \mathbf{w} = c_1 (1, 0) + c_2 (0, 1) = (c_1, c_2) \]

Esto significa que cualquier vector en \( \mathbb{R}^2 \) puede ser expresado como una combinación lineal de \( \mathbf{v}_1 \) y \( \mathbf{v}_2 \).

Independencia Lineal:

Un conjunto de vectores \( \{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n \} \) en un espacio vectorial \( V \) se dice que es linealmente independiente si la única combinación lineal de estos vectores que da como resultado el vector cero es aquella en la que todos los coeficientes son cero. Es decir, si:

\[ c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + c_n \mathbf{v}_n = \mathbf{0} \]

implica que \( c_1 = c_2 = \cdots = c_n = 0 \).

Si existe una combinación lineal no trivial (es decir, al menos uno de los coeficientes \( c_i \) no es cero) que resulta en el vector cero, entonces los vectores son linealmente dependientes.

Por ejemplo, considera los vectores \( \mathbf{v}_1 = (1, 0) \) y \( \mathbf{v}_2 = (2, 0) \) en \( \mathbb{R}^2 \). Estos vectores son linealmente dependientes porque puedes encontrar coeficientes \( c_1 \) y \( c_2 \) no ambos cero, tales que:

\[ c_1 (1, 0) + c_2 (2, 0) = (0, 0) \]

De hecho, \( 2 \mathbf{v}_1 - 1 \mathbf{v}_2 = (0, 0) \), lo que muestra que \( \mathbf{v}_1 \) y \( \mathbf{v}_2 \) son dependientes linealmente.

En contraste, los vectores \( \mathbf{v}_1 = (1, 0) \) y \( \mathbf{v}_2 = (0, 1) \) son linealmente independientes porque no existen coeficientes \( c_1 \) y \( c_2 \) distintos de cero que satisfagan:

\[ c_1 (1, 0) + c_2 (0, 1) = (0, 0) \]

La única solución es \( c_1 = 0 \) y \( c_2 = 0 \).

En este espacio expondré el tema de la Base Ortonormal y proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.

• Base ortonormal

Una base ortonormal es un espacio vectorial con producto interno (producto escalar) en el que los elementos son mutuamente ortogonales y normales, es decir, de magnitud unitaria.

Las bases ortonormales están formadas por vectores ortogonales y unitarios.

-  Base ortonormal del plano euclídeo

-  Base ortonormal de funciones trigonométricas

-  Base Ortogonal

Una base ortogonal satisface las mismas condiciones, salvo la de magnitud unitaria; es muy sencillo transformar una base ortogonal en una base ortonormal mediante el producto por un escalar apropiado y de hecho, esta es la forma habitual en la que se obtiene una base ortonormal: por medio de una base ortogonal.

Así, una base ortonormal es una base ortogonal, en la cual la norma de cada elemento que la compone es unitaria.

• Conjuntos

-  Conjunto ortogonal

-  Conjunto ortonormal

Un conjunto de vectores es llamado ortogonal, si cada uno de sus elementos son vectores ortogonales, es decir, que son perpendiculares entre sí o que su producto interno es igual a 0.

Un conjunto de vectores es ortonormal si es a la vez un conjunto ortogonal y la norma de cada uno de sus vectores es igual a 1.

• Ortonormalización

Dada una base ortogonal de un espacio, es trivial hallar una base ortonormal a partir de la primera dividiendo cada vector de la base ortogonal original por el valor de su norma.

• Proceso de Gram-Schmidt.

En álgebra lineal, el proceso de ortonormalización de Gram–Schmidt es un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores linealmente independientes de un espacio prehilbertiano (usualmente, el espacio euclídeo Rn), otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio vectorial.

• Pasos para la realización

El método consiste de dos proyecciones.  La base ortogonal de R3 compuesta por u1, u2, u3, se calcula de la siguiente manera.

-  u3 es la diferencia entre v3 y el vector que resulta de proyectar a v3 sobre el plano generado por u1 y u2.   La diferencia de vectores tiene como resultado otro vector que es perpendicular al plano.

- u2 se calcula como la diferencia entre v2 y el vector que resulta de proyectar a v2 sobre u1. Dicha diferencia es perpendicular a u1. Es equivalente afirmar que u2 es la diferencia entre v2 y el vector que resulta de proyectar a v2 sobre la recta que genera u1.

Se escoge arbitrariamente uno de los vectores dados, por ejemplo u1 = v1.

el espacio vectorial complejo V se denomina espacio con producto interno si para cada par ordenado de vectores u y v en V,existe un numero complejo unico(u,v), denominado producto interno de u y v,tal que si u,v y w estan en V y aeC, entonces.

las propiedades

i.(v,v)≥0 Propiedad modular

ii (v,v)=0si y solo si v=0

iii (u,v+w)=(u,v)+(u,w)

iv.(u+v,w=(u,w)+(v,w)

v.(u,v=(v,u)

vi.(u,v)=(u,v)

vii.(u,v) =(u,v)

La barra en las condiciones (v) y (vii) de nota el conjugado complejo.

Nota Si(u,v) es real ,entonces (u,v)=(u,v) y se puede eliminar la barra en v .

¿Que es Producto interno?

Algunos nociones geométricas en R2 y en R3 pueden definirse a partir del producto escalar . La definición que sigue es una generalización de, producto escalar a otros espacios vectoriales .

Sea V un espacio vectorial sobre R(respectivamente C). Un producto interno sobre V es una función C:V£ V!R(respectivamente C) que cumple.

Ejemplos:

Producto interno de dos vectores en C3 En C3sean

X=1+i,-3,4-3i) y y=(2-i,-i,2+i)entonces

(x,y)=(1+i(2-i) + (-3)(-i) +(4-3i)(2+i)

=(1+i)(2+i)+(-3)(i)+(4-3i)(2-i)

=(1+3i)-3i+(5-10i)=6-10i

Sea V un espacio con producto interno y suponga que u y v están en V entonces

i. u y v son ortogonales si (u,v)=0

ii. La norma de u, denotada por ∥u∥ ,esta dada por

∥u∥=√(u,u)

En ccnclusion son importantes ya que son conjunto de vectores que se utilizan en la multiplicacion y suma

gracias.