FRAZIONI: concetti base by Alessia Funari

GLI INSIEMI DEI NUMERI

alessiafunari — 2022-08-20 10:19:26 UTC

I numeri non sono tutti uguali. Ogni "gruppo" ha le sue caratteristiche ed un suo nome. Non si tratta però di gruppi separati tra loro, ma in relazione tra loro: gli INSIEMI NUMERICI.
I Numeri che hai utilizzato fino ad ora sono i numeri NATURALI (N) che come vedi rappresentano il gruppo più piccolo (pur essendo infiniti...) perché sono contenuti all'interno di insiemi più grandi. Tutti i N sono numeri INTERI POSITIVI e sono contenuti all'interno dell'insieme Z= numeri RELATIVI che comprende tutti gli INTERI sia positivi che negativi.
LE FRAZIONI invece appartengono all'insieme dei numeri RAZIONALI (Q) che comprende TUTTI i numeri che possono risultare dall'operazione di DIVISIONE, rappresentata proprio dalla linea di frazione. Dato che anche un numero naturale può essere risultato di una divisione (es. 10:2= 5), l'insieme dei N è compreso all'interno dei Q!
L'insieme degli IRRAZIONALI (I) comprende numeri NON esprimibili come risultato di una divisione e quindi NON rappresentabili tramite una frazione, come ad es. π o la √2 (cliccando sul link si accede ad un approfondimento).
Quindi, i numeri I rappresentano un insieme differente, senza intersezioni con Q. Però, sia Q che I sono all'interno dell'insieme R dei numeri REALI, comprendente quindi TUTTI i numeri che userete in questi anni. Per chi di voi proseguirà gli studi di matematica, ci saranno poi i numeri Immaginari e Complessi ad aspettarvi... 😁

alessiafunari — 2022-08-20 10:23:21 UTC

Secondo te... le 4 operazioni che normalmente fai (+, -, x, : ) ... sono tutte "contenute" in N?
Cioè... il loro risultato è SEMPRE un numero naturale N?
ARGOMENTA:....

alessiafunari — 2022-08-20 10:36:34 UTC

Secondo te... esistono frazioni NEGATIVE? ad es. -2/3?perchè?
ARGOMENTA:....

alessiafunari — 2022-08-20 10:40:21 UTC

Secondo te... quale necessità/situazione può aver portato i matematici a concepire i numeri razionali Q? (un aiutino: pensa ai risultati delle 4 operazioni)
ARGOMENTA:....

LA FRAZIONE = RAPPORTO = DIVISIONE

alessiafunari — 2022-08-20 11:43:31 UTC

Le frazioni sono rappresentazioni che esprimono i numeri sotto forma di DIVISIONI fra due quantità, rispettivamente numeratore e denominatore.

Le frazioni prendono anche il nome di RAPPORTI in quanto esprimono la relazione esistente tra due numeri interi (il numeratore ed il denominatore) di cui il secondo diverso da zero. Esprimono cioè quante volte il denominatore sta nel numeratore, come in tutte le divisioni.

La linea di frazione indica quindi l'operatore "diviso :" , ragion per cui i due modi di scrivere si equivalgono. 1:3 = 1/3 (per motivi di formattazione grafica spesso la frazione viene scritta in orizzontale usando lo /).

viene rappresentata proprio come
possono essere sempre espressi come rapporto di due numeri interi (di cui il secondo diverso da zero)

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLE FRAZIONI

alessiafunari — 2022-08-20 12:00:08 UTC

Una divisione sta ad indicare che un "qualcosa" è diviso in PARTI. Questo "qualcosa" è detto INTERO.
L'intero può essere una cosa (es. una pizza) oppure una quantità, per es. i 2 kg di gelato o i 60 € di conto della pizzeria da dividere tra 5 amici.

L'intero può essere rappresentato graficamente in moltissimi modi. La rappresentazione grafica più comune è la classica "torta" (cerchio) o il rettangolo o il segmento/retta, ma ne esistono molte altre. ESPLORA I MODELLI GRAFICI: clicca QUI.

Trattandosi di divisioni è FONDAMENTALE che le PARTI in cui viene diviso l'intero siano TUTTE UGUALI.

DENOMINATORE

alessiafunari — 2022-08-20 12:17:15 UTC

Il numero TOTALE delle parti in cui è diviso l'intero è detto DENOMINATORE e si trova sotto la linea di frazione.
Considerando l'esempio in figura:
- se il nostro intero è una pizza, la divideremo i 4 fette uguali;
- se il nostro intero è il conto da 60€ del ristorante, saranno i 60€ ad essere divisi in 4 parti (ognuna da 15€);
- se il nostro intero fosse un segmento da 20 quadretti, allora sarà tale segmento ad essere diviso in 4 parti (ognuna da 5 quadretti).

NUMERATORE

alessiafunari — 2022-08-20 12:27:43 UTC

Il numero di parti del totale (intero) che vado a considerare è detto NUMERATORE e si trova sopra la linea di frazione.

Considerando l'esempio in figura:
- se il nostro intero è una pizza divisa in 4, noi mangiamo 3 fette;
- se il nostro intero è il conto da 60€ del ristorante diviso tra 4 amici, il 3 al numeratore potrebbe indicare che solo 3 amici hanno pagato in contanti (ad esempio);
- se il nostro intero fosse un segmento da 20 quadretti diviso in 4 parti (ognuna da 5 quadretti), io andrei a colorare solo 3 parti cioè 3x5= 15 quadretti

FRAZIONI EQUIVALENTI

alessiafunari — 2022-08-20 12:47:07 UTC

Due o più frazioni, anche se scritte diversamente, possono essere EQUIVALENTI cioè AVERE LO STESSO VALORE cioè RAPPRESENTARE LA STESSA QUANTITA'.
Infatti se controllo sulla calcolatrice facendo Numeratore:Denominatore, otterrò sempre lo stesso risultato!

A partire da una frazione assegnata, posso quindi ottenere altre frazioni con lo stesso valore. In che modo? = Moltiplicando o Dividendo sia il numeratore che il denominatore per lo stesso numero (intero).
Nell'esempio in figura,
- considerando la frazione 2/3 e moltiplicando per 2 sia il N che il D, ottengo la frazione equivalente 4/6;
- considerando la frazione 2/3 e moltiplicando per 3 sia il N che il D, ottengo la frazione equivalente 6/9;
- considerando la frazione 6/9 e dividendo per 3 sia il N che il D, ottengo la frazione equivalente iniziale 2/3.

Il riuscire a creare frazioni equivalenti ci permetterà di confrontare e sommare/sottrarre frazioni con diverso denominatore!

Prova a pensare ad altre frazioni equivalenti a 2/3!😊

OTTENERE FRAZIONE EQUIVALENTE

alessiafunari — 2022-08-20 13:10:40 UTC

OTTENERE FRAZIONE EQUIVALENTE

alessiafunari — 2022-08-20 13:11:12 UTC

DOMANDA...

alessiafunari — 2022-08-20 13:15:19 UTC

quali sono le operazioni da fare per passare dalla frazione 4/6 alla frazione equivalente 6/9?

RIDUZIONE AI MINIMI TERMINI

alessiafunari — 2022-08-20 13:28:08 UTC

La riduzione ai minimi termini o "semplificazione" è il procedimento algebrico che permette di semplificare una frazione "riducendola" alla sua frazione IRRIDUCIBILE (ovviamente equivalente alla prima), che non può essere più essere divisa per un divisore comune al numeratore e al denominatore.

La riduzione si opera dividendo numeratore e denominatore per lo stesso numero intero che quindi è un divisore comune ad entrambi. Il procedimento di riduzione può essere ripetuto sulla nuova frazione se esiste ancora un divisore comune a N e D. In questo modo, ad ogni passaggio di riduzione si ottiene una frazione equivalente a quella iniziale.

Il vantaggio di ridurre una frazione ai minimi termini è soprattutto quello di semplificare i calcoli operati con le frazioni, che altrimenti diventano presto ingestibili.

DOMANDA...

alessiafunari — 2022-08-20 13:33:12 UTC

Sapendo che queste due frazioni sono equivalenti (c'è il segno =)... sapresti dire qual è il numeratore della seconda frazione? Spiega il tuo procedimento.

Cascata di equivalenze ...(livello avanzato)

alessiafunari — 2022-08-20 13:40:52 UTC

ragiona e spiega nei commenti!

Cascata di equivalenze (Livello avanzato!)

alessiafunari — 2022-08-20 13:42:08 UTC

ragiona e spiega nei commenti!

TIPI DI FRAZIONI

alessiafunari — 2022-08-20 13:51:53 UTC

LEGGI LA MAPPA!

Secondo te (scrivi nei commenti):
1. Quale tra le seguenti frazioni è SEMPRE <1 ?
2. Quale tra le seguenti frazioni è SEMPRE >1 ?
3. Quale tra le seguenti frazioni è = 1 o a suoi multipli interi ?

FRAZIONE COMPLEMENTARE

alessiafunari — 2022-08-20 14:01:09 UTC

Come fa intuire il nome, la frazione complementare (ad una frazione assegnata) è quella frazione che completa l'intero!

Quindi... la somma della frazione assegnata e della sua frazione complementare ha sempre risultato = 1!

Considerando la figura soprastante, se la frazione della pizza da me mangiata è 5/8, allora .... la frazione complementare che rappresenta la pizza rimanente è 3/8.

In pratica per trovare la frazione complementare mi basta sottrarre al denominatore (8) il numeratore della frazione iniziale (5): 8-5= 3 cioè restano 3 parti di 8, quindi 3/8.

CONFRONTO DI FRAZIONI (Caso 1 e 2)

alessiafunari — 2022-08-20 15:54:28 UTC

Quando utilizzo una rappresentazione grafica per confrontare due o più frazioni, è facile capire quale sia minore, maggiore o se esse siano uguali.

Se non possiamo (o è difficile) rappresentarle graficamente, è di grande aiuto suddividere il problema in 3 casi:

- CASO 1: le frazioni hanno STESSO DENOMINATORE. Allora è maggiore la frazione con il numeratore maggiore.

- CASO 2: le frazioni hanno lo STESSO NUMERATORE. Allora è maggiore la frazione con il denominatore minore.

CONFRONTO DI FRAZIONI (Caso 3)

alessiafunari — 2022-08-20 15:54:44 UTC

- CASO 3: una frazione PROPRIA è SEMPRE MINORE di una frazione IMPROPRIA!
questo perchè la frazione propria è sempre <1, mentre quella impropria è sempre > (o =) ad 1.

CONFRONTO DI FRAZIONI (Caso 4)

alessiafunari — 2022-08-20 16:15:15 UTC

- CASO 4: CONFRONTO DI FRAZIONI CON DIVERSO NUMERATORE E DENOMINATORE.

Occorre rendere "confrontabili" queste frazioni, trasformandole in frazioni equivalenti che abbiano però STESSO denominatore, in modo da ritrovarci nel caso 1.

1. La prima cosa da fare è individuare l' mcd (minimo comun denominatore) tra i due denominatori. Nell'esempio, tra 7 ed 8 il mcd è 56.

2. Il secondo passo è quello di trasformare ognuna delle frazioni originarie in frazioni equivalenti alle originarie e con denominatore comune. Nell'esempio, la prima frazione era 3/7 = .../56 cioè diventerà 24/56; la seconda frazione era 5/8= .../56 cioè diventerà 35/56.

3. Il terzo passo confronta le due nuove frazioni come nel caso 1: avendo stesso denominatore, è maggiore quella con denominatore maggiore, cioè nell'esempio 35/56 > 24/56.